02：方程（组）与不等式（组）–备战2023年中考数学之易错题集训（原卷+解析卷）

02：方程（组）与不等式（组）--备战2023年中考数学之易错题集训
1．方程是关于的一元二次方程，则的值为(　　)
A．m＝±1 B．m＝－1 C．m＝1 D．m≠1
2．若方程（m-1）x2+x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠1 B．m≠0
C．m≥0且m≠1 D．m为任意实数
3．若方程(m-1)x2+5x+m=0是关于x的一元二次方程,则m的取值不可能的是（ ）
A．m>1 B．m<1 C．m=1 D．m=0
4．将方程2x2＝5x－1化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为2，则一次项系数、常数项分别是（ ）
A．－5、1 B．5、1 C．5、－1 D．－5、－1
5．把方程化为一元二次方程的一般形式后为（ ）
A． B． C． D．
6．分式方程的解为（ ）
A． B．
C． D．是增根，此方程无解
7．下列四个命题中真命题的个数是（ ）
①两直线平行，同旁内角相等
②点到轴的距离是2
③立方根等于本身的数是0和1
④若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．意思就是说，有一群乌鸦要到树林休息，如果每棵树上落坐有三只乌鸦，则有五个落在地上；如果每棵树上落坐有五只乌鸦，则有一棵树没有乌鸦落坐，请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（ ）
A． B． C． D．
10．若(m-1) +2mx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是______．
11．一元二次方程的根是_____.
12．方程的解是___________．
13．若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是______．
14．关于x、y的方程组，则x+y的值为________
15．今年“五一”劳动节期间，某手机专卖店上架了甲、乙两款手机．前三天售出的甲款手机的数量比乙款手机的数量多50%，后两天售出的甲款手机的数量比前三天售出的甲款手机的数量少40%，结果后两天售出的甲乙两款手机的总数量比前三天售出的甲乙两款手机的总数量多12%，若后两天甲、乙两款手机的销售总额比前三天甲、乙两款手机的销售总额多24%，在整个销售期间甲乙两款手机的单价不变，则甲款手机的单价与乙款手机的单价的比值为______．
16．随着夏天的到来，西瓜越来越受大家欢迎．6月某水果店购进一批西瓜，第一周销售麒麟瓜的利润率是30%，销售爆炸瓜的利润率是40%，麒麟瓜销量是爆炸瓜销量的2倍，结果第一周这两种西瓜的总利润率是35%，受本地西瓜的冲击，第四周销售麒麟瓜的利润率比第一周下降了，销售爆炸瓜的利润率比第一周下降了，结果第四周这两种西瓜的总利润率达到27%．则第四周麒麟瓜、爆炸瓜的销量之比是___________．（）
17．某商场购进商品后，加价40%作为销售价．五一期间，商场搞优惠促销，决定由顾客抽签确定折扣．某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款448元．两种商品原销售价之和为560元．则两种商品进价分别为________元．
18．“赤日满天地，火云成山岳，草木尽焦卷，川泽皆竭涸．”炎炎复日，甲、乙两水果店老板决定一起去批发市场同一家店进购顾客夏季最喜欢的A、B、C三种品种的水果．两位老板一共购进A、B、C三种水果数量之比为5：6：6，其中甲店老板购进A、B、C三种水果数量之比为3：7：4，并且乙老板购进B、C两种水果数量之比为5：8．他们决定A、B、C三种水果的每千克售价分别比其成本高50%，40%，30%，则甲店老板销售完A和C两种水果的利润与乙店老板销售完A和C两种水果的利润之比为 _____．
19．母亲节来临之际，某花店购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别是“心之眷恋”、 “佳人如兰”、“守候”．已知销售每束“心之眷恋”的利润率为10%，每束“佳人如兰”的利润率为20%，每束“守候”的利润率为30%，当售出的三种花束数量之比为2：3：4时，商人得到的总利润率为25%：当售出的三种花束数量之比为3：2：1时，商人得到的总利润率为20%，那么当售出的三种花束数量之比为1：3：1时，这个商人得到的总利润率为______．
20．为落实习总书记“绿水青山就是金山银山”的发展理念，我区政府部门决定由甲、乙、丙三个工程队负责完成一条总工作量为a的公园改造的施工任务．经过一段时间，甲、乙、丙三个工程队完成的工程量之比是为更合理的分任务，经测算，将剩余工程量的交给了丙队，其余工程量由甲、乙两个工程队共同完成，乙工程队再工作一段时间后因另有任务先离开．工程结束时发现，丙队完成的工程量占总工程量的，甲、乙两队完成其余工程的工程量之比为．则乙队完成的工程量与总工程量之比是：______．
21．解一元一次方程：
22．解一元一次方程：
23．解一元一次方程：
24．解一元一次方程：
25．解一元一次方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
26．解方程：3x（x﹣1）=2﹣2x．
27．将下列方程转换成一元二次方程一般形式，并用求根公式求解：
(1)；
(2)．
28．把关于的方程化成一元二次方程的一般形式，并写出方程中各项与各项的系数.
29．
30．解方程：．
31．若关于的分式方程无解但有增根，求的值．
32．已知关于x的方程：有一个增根为b，另一根为c．二次函数与x轴交于P和Q两点（点P在点Q左边）．在此二次函数的图象上求一点M，使得面积最大．
33．（1）解方程：
（2）已知关于的方程无解，方程的一个根是．
①求和的值；
②求方程的另一个根．
34．解不等式：
(1)
(2)
(3)
35．解不等式：，并求最小整数解．
36．现场学习：我们学习了由两个一元一次不等式组成的不等式组的解法，知道可以借助数轴准确找到不等式组的解集，即两个不等式的解集的公共部分．
(1)解决问题：解不等式组，并利用数轴确定它的解集；
(2)拓展探究：由三个一元一次不等式组成的不等式组的解集是这三个不等式解集的公共部分．
①直接写出的解集为_________．
②已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是_________．
37．数学方法：
解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
(1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ．
(2)知识迁移：请用这种方法解方程组．
(3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，
求关于x，y的方程组的解．
38．【例】解方程．
解：设，则原方程可化为．解得，．
当时，即，解得；当时，即，解得．
所以原方程的解为，．上述解法称为“整体换元法” ．
（1）请运用“整体换元法”解方程：；
（2）已知．求的值．
39．列方程组解应用题：
(1)有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队有10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球、排球队各有多少支参赛？
(2)小方、小程两人相距6km，两人同时出发相向而行，1h相遇；同时出发同向而行，小方3h可追上小程．两人的平均速度各是多少？
40．随着旅游业的多元化发展，自驾游呈现蓬勃发展的态势，相距50千米的A、B两家人相约开车自驾游，若两车同时出发相向面行，先会合后再一同前往旅游地，则出发20分钟相遇；若两车同时出发同向而行，沿同一线路前往旅游地，则出发5小时A车可追上B车．
(1)求A、B两车的平均速度分别为多少千米/时；
(2)两家人决定同时出发同向而行，沿同一线路前往旅游地，A车要想在出发后2小时内追上B车，求A车的平均速度要在原速上至少提高多少千米/时？
41．甲、乙二人在一环形场地上从A点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的倍，4分钟两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长列方程组求解
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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02：方程（组）与不等式（组）--备战2023年中考数学之易错题集训
1．方程是关于的一元二次方程，则的值为(　　)
A．m＝±1 B．m＝－1 C．m＝1 D．m≠1
【答案】B
【详解】根据题意可得 ，解得：m=-1，
故选：B
2．若方程（m-1）x2+x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠1 B．m≠0
C．m≥0且m≠1 D．m为任意实数
【答案】C
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．结合二次根式有意义的条件，被开方数是非负数即可求得．
【详解】解：根据题意得：
解得：m≥0且m≠1．
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义和二次根式有意义的条件，特别要注意二次项系数a≠0这一条件，当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了．
3．若方程(m-1)x2+5x+m=0是关于x的一元二次方程,则m的取值不可能的是（ ）
A．m>1 B．m<1 C．m=1 D．m=0
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义列式求出m的值，即可进行选择．
【详解】∵（m 1）x2＋5x＋m＝0是关于x的一元二次方程，
∴m 1≠0，
解得m≠1，
∴说法m＞1、m＜1、m＝0都是可以的，
说法m＝1错误．
故选C．
【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2＋bx＋c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．
4．将方程2x2＝5x－1化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为2，则一次项系数、常数项分别是（ ）
A．－5、1 B．5、1 C．5、－1 D．－5、－1
【答案】A
【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
【详解】解：2x2＝5x－1化为一元二次方程的一般形式2x2-5x+1=0，
一次项系数、常数项分别是-5，1，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
5．把方程化为一元二次方程的一般形式后为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）．
【详解】解：将等号左边根据多项式乘以多项式法则展开，再移项合并同类项,方程整理得：3x2+x-12=0， 故选D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c=（a≠0），解决本题的关键是要熟练掌握整式乘法和一元二次方程的一般形式.
6．分式方程的解为（ ）
A． B．
C． D．是增根，此方程无解
【答案】D
【分析】先等式两边同时乘以x -x去分母，再解方程，解出的结果放入分母检验看是否为增根．
【详解】解：
当x=1时，分母x-1=0
故x=1是原方程的增根，故此方程无解
故选：D
【点睛】本题考查分式方程的求解，解出解后一定放入分母检验是否使得分母为零，掌握这些是本题关键．
7．下列四个命题中真命题的个数是（ ）
①两直线平行，同旁内角相等
②点到轴的距离是2
③立方根等于本身的数是0和1
④若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】依次分析各命题即可；
【详解】两直线平行，同旁内角互补，故①错误；
点到轴的距离是3，故②错误；
立方根等于本身的数是0和1、-1，故③错误；
当，此时与没有公共部分，则关于的一元一次不等式组无解，故D正确；
故选：B
【点睛】本题考查了平行线的性质、坐标中的点到坐标轴的距离、立方根与解一元一次不等式组，掌握相关性质和运算规律是解答本题的关键.
8．关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先解不等式组，再根据“大大小小找不到”，即可判断无解时m的取值范围．
【详解】解不等式组，得
∵不等式组无解
∴
解得，
故选B．
【点睛】本题考查根据不等式组的无解问题，熟练掌握“大大小小找不到”是解题的关键，需要注意能否取等号可以令，看是否符合题意即可判断．
9．古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．意思就是说，有一群乌鸦要到树林休息，如果每棵树上落坐有三只乌鸦，则有五个落在地上；如果每棵树上落坐有五只乌鸦，则有一棵树没有乌鸦落坐，请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设诗句中谈到的鸦为x只，树为y棵，利用“三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树”分别得出方程，进而求出即可．
【详解】解：设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组，
，
故选B．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组，根据题意找到等量关系是解题的关键．
10．若(m-1) +2mx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是______．
【答案】-3
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】解：由题意，得
m（m+2）-1=2且m-1≠0，
解得m=-3，
故答案为-3．
【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．
11．一元二次方程的根是_____.
【答案】x1=1, x2=2.
【分析】整体移项后，利用因式分解法进行求解即可得.
【详解】x(x-2)-(x-2)=0，
，
x-1=0或x-2=0，
所以x1=1， x2=2，
故答案为x1=1， x2=2.
【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，根据方程的特点熟练选择恰当的方法进行求解是关键.
12．方程的解是___________．
【答案】，
【分析】首先把方程左边分解因式可得，进而得到，，再解即可．
【详解】解：，
，
则，，
，．
故答案为：，．
【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
13．若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是______．
【答案】
【分析】先把a当作已知条件表示出不等式的解集，再由不等式组无解即可得出结论．
【详解】解：
由①得：，
由②得：，
∵不等式组无解，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
14．关于x、y的方程组，则x+y的值为________
【答案】
【分析】根据加减消元法求解即可.
【详解】解:，
①-②，得，
∴，
故答案为：.
【点睛】本题考查了解二元一次方程，常见的解法有：代入消元法和加减消元法，运用整体思想求解是解题的关键.
15．今年“五一”劳动节期间，某手机专卖店上架了甲、乙两款手机．前三天售出的甲款手机的数量比乙款手机的数量多50%，后两天售出的甲款手机的数量比前三天售出的甲款手机的数量少40%，结果后两天售出的甲乙两款手机的总数量比前三天售出的甲乙两款手机的总数量多12%，若后两天甲、乙两款手机的销售总额比前三天甲、乙两款手机的销售总额多24%，在整个销售期间甲乙两款手机的单价不变，则甲款手机的单价与乙款手机的单价的比值为______．
【答案】17：32
【分析】设前三天售出的乙款手机的数量是x，则前三天售出的甲款手机的数量为1.5x，则后两天售出的甲款手机的数量是0.6x，后两天售出的乙款手机的数量是2.2x，设甲款手机的单价为a，乙款手机的单价为b，根据题意列出方程解答即可．
【详解】设前三天售出的乙款手机的数量是x，则前三天售出的甲款手机的数量为1.5x，则后两天售出的甲款手机的数量是0.6x，后两天售出的乙款手机的数量是2.2x，设甲款手机的单价为a，乙款手机的单价为b，
依题意有0.6xa + 2.2xb= (1 + 24%) (xa + 1.5xb)，
化简得0.64a = 0.34b，
则a：b=17：32，
故甲款手机的单价与乙款手机的单价的比值为17：32，
故答案为17 ：32．
【点睛】此题考查了二元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
16．随着夏天的到来，西瓜越来越受大家欢迎．6月某水果店购进一批西瓜，第一周销售麒麟瓜的利润率是30%，销售爆炸瓜的利润率是40%，麒麟瓜销量是爆炸瓜销量的2倍，结果第一周这两种西瓜的总利润率是35%，受本地西瓜的冲击，第四周销售麒麟瓜的利润率比第一周下降了，销售爆炸瓜的利润率比第一周下降了，结果第四周这两种西瓜的总利润率达到27%．则第四周麒麟瓜、爆炸瓜的销量之比是___________．（）
【答案】
【分析】设麒麟瓜的成本价为元/千克，爆炸瓜的成本价为元/千克，第一周爆炸瓜的销量为千克，则第一周麒麟瓜的销量为千克，麒麟瓜的利润为元，爆炸瓜的利润为，根据第一周这两种西瓜的总利润率是建立方程可得，再设第四周麒麟瓜的销量为千克，爆炸瓜的销量为千克，则第四周麒麟瓜的利润为元，爆炸瓜的利润为元，根据第四周这两种西瓜的总利润率达到建立方程，由此即可得．
【详解】解：设麒麟瓜的成本价为元/千克，爆炸瓜的成本价为元/千克，第一周爆炸瓜的销量为千克，
则第一周麒麟瓜的销量为千克，麒麟瓜的利润为元，爆炸瓜的利润为，
，
整理得：，
设第四周麒麟瓜的销量为千克，爆炸瓜的销量为千克，
则第四周麒麟瓜的利润为元，爆炸瓜的利润为元，
，
整理得：，
则，
即第四周麒麟瓜、爆炸瓜的销量之比是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、二元一次方程的应用，正确设未知数，建立方程是解题关键．
17．某商场购进商品后，加价40%作为销售价．五一期间，商场搞优惠促销，决定由顾客抽签确定折扣．某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款448元．两种商品原销售价之和为560元．则两种商品进价分别为________元．
【答案】200，200
【分析】设甲、乙两种商品的进价分别为x元、y元，然后根据“某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款448元．两种商品原销售价之和为560元”列方程组求解即可．
【详解】解：设甲、乙两种商品的进价分别为x元、y元．
由题意可得：
,解得 ．
故答案为200、200．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，明确题意、找准等量关系、列出相应的方程组成为解答本题的关键．
18．“赤日满天地，火云成山岳，草木尽焦卷，川泽皆竭涸．”炎炎复日，甲、乙两水果店老板决定一起去批发市场同一家店进购顾客夏季最喜欢的A、B、C三种品种的水果．两位老板一共购进A、B、C三种水果数量之比为5：6：6，其中甲店老板购进A、B、C三种水果数量之比为3：7：4，并且乙老板购进B、C两种水果数量之比为5：8．他们决定A、B、C三种水果的每千克售价分别比其成本高50%，40%，30%，则甲店老板销售完A和C两种水果的利润与乙店老板销售完A和C两种水果的利润之比为 _____．
【答案】27：59
【分析】设甲店老板购进A、B、C三种水果的数量分别为3x、7x、4x，乙老板购进B、C两种水果的数量分别为5y、8y，根据两位老板一共购进A、B、C三种水果数量之比为5：6：6，可得7x+5y＝4x+8y，即x＝y，可得乙老板购进A种水果的数量为7x，再根据A、C两种水果的每千克售价分别比其成本高50%，30%即可求解．
【详解】解：设甲店老板购进A、B、C三种水果的数量分别为3x、7x、4x，乙老板购进B、C两种水果的数量分别为5y、8y，
∵两位老板一共购进A、B、C三种水果数量之比为5：6：6，
∴7x+5y＝4x+8y，即x＝y，
∴乙老板购进A种水果的数量为7x，
∵A、C两种水果的每千克售价分别比其成本高50%，30%，
∴甲店老板销售完A和C两种水果的利润为3x×50%+4x×30%＝2.7x，
乙店老板销售完A和C两种水果的利润为7x×50%+8x×30%＝5.9x，
∴甲店老板销售完A和C两种水果的利润与乙店老板销售完A和C两种水果的利润之比为2.7x：5.9x＝27：59．
故答案为：27：59．
【点睛】本题主要考查了应用类问题，列代数式，关键是根据题意正确表示出乙老板购进A种水果的数量．
19．母亲节来临之际，某花店购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别是“心之眷恋”、 “佳人如兰”、“守候”．已知销售每束“心之眷恋”的利润率为10%，每束“佳人如兰”的利润率为20%，每束“守候”的利润率为30%，当售出的三种花束数量之比为2：3：4时，商人得到的总利润率为25%：当售出的三种花束数量之比为3：2：1时，商人得到的总利润率为20%，那么当售出的三种花束数量之比为1：3：1时，这个商人得到的总利润率为______．
【答案】22%
【分析】先根据三种花束的利润之和除以三种花束的进价之和列方程组，，解方程组得出，
然后根据三种花束的利润之和除以进价之和即可求解
【详解】解：设某花店购进的康乃馨、百合、玫瑰进价分别为a，b，c，则三种花束的售价分别为a(1+10%)，b(1+20%)，c(1+30%)，当售出的三种花束数量之比为2：3：4时，三种花束的数量分别为2m，3m，4m， 当售出的三种花束数量之比为1：3：1时，三种花束的数量分别为n，2n，n，
根据题意：，
解得：，
∴．
故答案为22%．
【点睛】本题考查利润、进价与利率关系，三元方程组的解法，掌握利润、进价与利润率关系，三元方程组解法是解题关键．
20．为落实习总书记“绿水青山就是金山银山”的发展理念，我区政府部门决定由甲、乙、丙三个工程队负责完成一条总工作量为a的公园改造的施工任务．经过一段时间，甲、乙、丙三个工程队完成的工程量之比是为更合理的分任务，经测算，将剩余工程量的交给了丙队，其余工程量由甲、乙两个工程队共同完成，乙工程队再工作一段时间后因另有任务先离开．工程结束时发现，丙队完成的工程量占总工程量的，甲、乙两队完成其余工程的工程量之比为．则乙队完成的工程量与总工程量之比是：______．
【答案】．
【分析】设一开始甲、乙、丙三个工程队完成的工程量为b，则剩余工程量为a-b，然后表示出丙队完成的工程量，根据丙队完成的工程量占总工程量的列出等式，从而得到a与b的数量关系，再表示出乙队完成的工程量，把a与b的数量关系代入计算即可．
【详解】解：设一开始甲、乙、丙三个工程队完成的工程量为b，则剩余工程量为a-b，
∴丙队完成的工程量为，
∴，
解得，，
乙队一开始完成的工程量为，后来完成的工程量为，
∴乙队完成的工程量为，
∴乙队完成的工程量与总工程量之比是．
故答案是：．
【点睛】本题考查工程问题，考查学生分析解决问题的能力，正确求出一开始完成的工程量与总工程量的数量关系是关键．
21．解一元一次方程：
【答案】
【分析】方程去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可．
【详解】解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
22．解一元一次方程：
【答案】．
【分析】方程去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可．
【详解】解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
23．解一元一次方程：
【答案】．
【分析】方程去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可．
【详解】解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
24．解一元一次方程：
【答案】．
【分析】方程去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可．
【详解】解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
25．解一元一次方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（4）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．
【详解】（1）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（3）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（4）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键．
26．解方程：3x（x﹣1）=2﹣2x．
【答案】x1=1，x2=﹣．
【分析】把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解求出方程的根．
【详解】解：3x（x﹣1）+2（x﹣1）=0，
（x﹣1）（3x+2）=0，
∴x﹣1=0，3x+2=0，
解得x1=1，x2=﹣．
27．将下列方程转换成一元二次方程一般形式，并用求根公式求解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)方程的解为或．
【分析】（1）方程整理后，先找出a，b，c，求出的值，再代入求根公式求得答案即可；
（2）方程整理后，分和两种情况讨论，当时，利用求根公式求得答案即可．
【详解】（1）解：，
整理得：，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，
整理得：，
当时，方程为，
解得：；
当时，，
当时，方程的解为，
∴，，
当时，方程无解．
综上，方程的解为或．
【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，找出a，b，c，求出的值，是解此题的关键．
28．把关于的方程化成一元二次方程的一般形式，并写出方程中各项与各项的系数.
【答案】二次项，二次项系数2；一次项，一次项系数；常数项
【分析】先化成一元二次方程的一般系数，再找出系数即可.
【详解】解：原方程整理得
∴
∴各项与各项的系数分别为：二次项，二次项系数2；一次项，一次项系数；常数项.
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式的应用，能把方程化成一般形式是解此题的关键，注意：说系数带着前面的符号．
29．
【答案】无解．
【分析】去分母，解整式方程，然后验证根即可．
【详解】解：去分母得：，
去括号得：，
移项后合并得：，
解得．
经检验是该方程的增根，
故该方程无解．
【点睛】本题主要考查分式方程的解法，将原分式方程转换为整式方程是解题的关键．不要忘了分式方程一定要验根．
30．解方程：．
【答案】原分式方程无解．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】去分母得：x（x-2）-（x+1）（x-2）=3，
去括号得：x2-2x-x2+x+2=3，
移项合并得：-x=1，
解得：x=-1，
经检验x=-1是增根，分式方程无解．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
31．若关于的分式方程无解但有增根，求的值．
【答案】的值为或．
【分析】将分式方程变为整式方程，然后根据增根的定义将分式方程的增根代入求值即可．
【详解】解：方程同乘以约去分母，得
∵原分式方程无解但有增根．
∴，即或．
解得或．
当时，；
当时，．
∴的值为或．
【点睛】此题考查的是根据分式方程有增根，求参数的值，掌握增根的定义和分式方程的解法是解决此题的关键．
32．已知关于x的方程：有一个增根为b，另一根为c．二次函数与x轴交于P和Q两点（点P在点Q左边）．在此二次函数的图象上求一点M，使得面积最大．
【答案】点，时，的面积取最大为
【分析】方程可化简为．方程只有时才有增根，可推出；将代入方程得即，再根据的值求出并确定解析式，再根据顶点坐标公式和的取值范围确定面积最大时点的坐标．
【详解】解：将去分母得：
，
将增根，即代入，
解得：，
再将代入方程，
，
得，
．
二次函数为，
令，
解得：，
所以轴的交点为，，，
，
当点的横坐标为或或时，
的面积可能取最大，
，
当时，，
，
当时，，
，
当时，，
，
经比较可得时，的面积取最大，
即点，时，的面积取最大，为．
【点睛】本题考查了二次函数，分式方程、解题的关键是学会巧妙地利用分式方程的性质来解决问题，同时要明确增根问题可按如下步骤进行：①确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
33．（1）解方程：
（2）已知关于的方程无解，方程的一个根是．
①求和的值；
②求方程的另一个根．
【答案】（1），;（2）①，，②另一个根是3．
【分析】（1）用因式分解法解方程即可；
（2）①根据分式方程无解，先求出m的值 ，然后将m代入一元二次方程中求出k的值即可；
②根据根与系数的关系可求出另一个根．
【详解】（1）原方程可化为
或
解得：，
（2）①解：将分式方程两边同时 ，得到 ，解得
∵分式方程无解，
，
把代入方程，
得
求得
②根据一元二次方程根与系数的关系可得
∵
∴另外一个根是3
【点睛】本题主要考查解一元二次方程及一元二次方程根与系数的关系，分式方程无解问题，掌握分式方程无解问题的方法及一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
34．解不等式：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）通过去分母，去括号，移项，未知数系数化为1，即可求解；
（2）通过去分母，去括号，移项，未知数系数化为1，即可求解；
（3）通过去分母，去括号，移项，未知数系数化为1，即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
【点睛】本题主要查解一元一次方程，熟练掌握“去分母，去括号，移项，未知数系数化为1”是关键．
35．解不等式：，并求最小整数解．
【答案】，最小整数解为6．
【分析】根据求解不等式的方法计算即可得．
【详解】解：，
最小整数解为6．
【点睛】题目主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握运算法则是解题关键．
36．现场学习：我们学习了由两个一元一次不等式组成的不等式组的解法，知道可以借助数轴准确找到不等式组的解集，即两个不等式的解集的公共部分．
(1)解决问题：解不等式组，并利用数轴确定它的解集；
(2)拓展探究：由三个一元一次不等式组成的不等式组的解集是这三个不等式解集的公共部分．
①直接写出的解集为_________．
②已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是_________．
【答案】(1)见解析，；
(2)① 2＜x＜3；②a≥2．
【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，然后将不等式的解集在数轴上表示出来，即可得到不等式组的解集；
（2）①借助数轴可得不等式组的解集；②根据确定不等式组解集的口诀即可得出答案．
【详解】（1）解：，
解不等式①得：x≥，
解不等式②得：x＜3，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
∴不等式组的解集为：；
（2）（2）①如图：
由数轴知的解集为： 2＜x＜3；
故答案为： 2＜x＜3；
②∵关于x的不等式组无解，
∴a≥2，
故答案为：a≥2．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
37．数学方法：
解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
(1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ．
(2)知识迁移：请用这种方法解方程组．
(3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，
求关于x，y的方程组的解．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设，，即可得，解方程组即可求解；
（2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解；
（3）设，，则原方程组可化为，，根据的解为，可得，即有，则问题得解．
【详解】（1）设，，则原方程组可化为，
∵的解为，
∴，
解得，
故答案为：；
（2）设，，则原方程组可化为，
解得，
即有，
解得，
即：方程组的解为；
（3）设，，则原方程组可化为，
化简，得，
∵关于x，y的二元一次方程组的解为，
∴，即有，
解得：，
故方程组的解为：．
【点睛】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键．
38．【例】解方程．
解：设，则原方程可化为．解得，．
当时，即，解得；当时，即，解得．
所以原方程的解为，．上述解法称为“整体换元法” ．
（1）请运用“整体换元法”解方程：；
（2）已知．求的值．
【答案】（1），；（2）的值为或．
【分析】（1）仿照例子解答即可；
（2）先给方程左右两边同时除以，然后再运用“整体换元法”解答即可．
【详解】解：（1）设，则原方程可化为．解得，．
当时，即，解得
当时，即，解得
所以原方程的解为，；
（2）给两边都除以得．．
设，则．
解得，．
的值为或．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握“整体换元法”成为解答本题的关键．
39．列方程组解应用题：
(1)有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队有10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球、排球队各有多少支参赛？
(2)小方、小程两人相距6km，两人同时出发相向而行，1h相遇；同时出发同向而行，小方3h可追上小程．两人的平均速度各是多少？
【答案】(1)篮球有28支队参赛，排球有20支队参赛；
(2)小方的平均速度是4km/h，小程的平均速度是2km/h．
【分析】（1）设篮球、排球队各有x支、y支参赛，根据有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队有10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛列出方程组求解即可；
（2）设小方、小程的平均速度各是mkm/h，nkm/h，根据小方、小程两人相距6km，两人同时出发相向而行，1h相遇；同时出发同向而行，小方3h可追上小程列出方程组求解即可．
【详解】（1）解：设篮球、排球队各有x支、y支参赛，
由题意得：
解得，
答：篮球有28支队参赛，排球有20支队参赛；
（2）解：设小方、小程的平均速度各是mkm/h，nkm/h，
由题意得：，
解得，
答：小方的平均速度是4km/h，小程的平均速度是2km/h．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出对应的方程组是解题的关键．
40．随着旅游业的多元化发展，自驾游呈现蓬勃发展的态势，相距50千米的A、B两家人相约开车自驾游，若两车同时出发相向面行，先会合后再一同前往旅游地，则出发20分钟相遇；若两车同时出发同向而行，沿同一线路前往旅游地，则出发5小时A车可追上B车．
(1)求A、B两车的平均速度分别为多少千米/时；
(2)两家人决定同时出发同向而行，沿同一线路前往旅游地，A车要想在出发后2小时内追上B车，求A车的平均速度要在原速上至少提高多少千米/时？
【答案】(1)车的平均速度为80千米/时，车的平均速度为70千米/时
(2)车的平均速度要在原速上至少提高15千米/时
【分析】（1）设车的平均速度为千米/时，车的平均速度为千米/时，根据两种方式建立方程组，解方程组即可得；
（2）设车的平均速度在原速上提高千米/时，则车提高速度后的平均速度为千米/时，根据“车要想在出发后2小时内追上车”建立不等式，解不等式求出的取值范围，由此即可得．
【详解】（1）解：设车的平均速度为千米/时，车的平均速度为千米/时，
由题意得：，
解得，
答：车的平均速度为80千米/时，车的平均速度为70千米/时．
（2）解：设车的平均速度在原速上提高千米/时，则车提高速度后的平均速度为千米/时，
由题意得：，
解得，
答：车的平均速度要在原速上至少提高15千米/时．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关键．
41．甲、乙二人在一环形场地上从A点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的倍，4分钟两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长列方程组求解
【答案】乙的速度为150米分，甲的速度为375米分，环形场地的周长为900米．
【分析】由“4分钟后两人首次相遇”，可知跑步4分钟后，甲比乙多跑一圈，即可得到相等关系；设乙的速度为x米/分，则甲的速度是2.5x米/分，根据等量关系列出方程进行求解，即可得到乙和甲的速度；然后由乙跑了4分钟之后还差300米便可跑完一整圈，即可求出场地的周长.
【详解】设乙的速度为x m/min，则甲的速度为2.5x m/min.
由题意，得2.5x×4－4x＝4x＋300.
解得x＝150.
所以2.5x＝2.5×150＝375，
4x＋300＝4×150＋300＝900.
答：乙的速度为150米分，甲的速度为375米分，环形场地的周长为900米．
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02：方程（组）与不等式（组）--备战2023年中考数学之易错题集训（原卷+解析卷）