2022-2023浙江省温州市瑞安市新纪元学校九年级（下）返校数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省温州市瑞安市新纪元学校九年级（下）返校数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分。每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．计算：﹣6+2的结果是（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8
2．如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针最大可能落在（　　）
A．红色区域 B．紫色区域 C．黄色区域 D．蓝色区域
3．将抛物线y＝（x+1）2+3向左平移5个单位，得到新抛物线的表达式是（　　）
A．y＝（x+6）2+3 B．y＝（x﹣4）2+3 C．y＝（x+1）2+8 D．y＝（x+1）2﹣2
4．在解方程+x＝时，在方程的两边同时乘以6，去分母正确的是（　　）
A．2x﹣1+6x＝3（3x+1） B．2（x﹣1）+6x＝3（3x+1）
C．2（x﹣1）+x＝3（3x+1） D．（x﹣1）+6x＝3（3x+1）
5．如图，△ABC内接于⊙O，CA＝CB，若∠A＝70°，则的度数为（　　）
A．40° B．60° C．80° D．100°
6．7张背面相同的卡片，正面分别写有A，A，B，B，C，C，C 中的一个字母，现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面的字母是C的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，E为Rt△ABC的直角边BC上一点，以CE为半径的半圆与斜边AB相切于点D．已知AD＝6，BD＝4，则⊙E的半径的长为（　　）
A．3.5 B．3 C．2.5 D．2
8．一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知BC＝6m，房顶A离地面EF的高度为6m，则tan∠ABC的值为（　　）
A． B． C． D．3
9．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则方程a（x+3）2+b（x+3）+c＝2根是（　　）
A．x1＝﹣4，x2＝﹣3 B．x1＝﹣3，x2＝﹣2
C．x1＝﹣2，x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝0
10．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D在边AB上，DE⊥AB，交边BC于点E，EF⊥BC，交边AC于点F，GF⊥DE，交边DE于点G，设k＝，y＝GF，若，则y的取值范围是（　　）
A．0.4≤y≤25 B．0.8≤y≤2.7 C．0.9≤y≤3.6 D．1.1≤y≤3.8
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．因式分解：ma2﹣mx2＝　 　．
12．如图，点A在半圆O上，BC为直径，若＝120°，BC＝6，则的长是 　 　．
13．不等式组的解是 　 　．
14．一个立方体木箱沿斜面下滑，木箱下滑至如图所示位置时，AB＝3m．已知木箱高BE＝2m，tan∠BAC＝0.5，则木箱端点E距地面AC高度为 　 　m．
15．如图，点A，B分别在第一，二象限的反比例函数图象y＝（k1＞0），y＝（k2＜0）上，点C在y轴负半轴上，连结AB，OA，AC，且AC交x轴于点E．已知AB＝2AC，CE＝2AE，且∠AOC＝135°．若AC⊥AB，且k，则k2的值为 　 　．
16．如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，延长小正方形的对角线EF交边AB于点G，且BG：AG＝2：3．在EG的延长线上取点H，使∠AHB＝90°，分别以AH，BH为边在△AHB的外侧构造正方形，图中构成的阴影部分的面积分别记为S1，S2，则S1：S2＝　 　．若S1+S2＝39，则EH的长为 　 　．
三、解答题（本题有8小题，共80分。解答需要写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（1）计算：﹣|﹣|+（﹣2）2+3﹣1．
（2）解方程组：．
18．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，连结EC，EF，EC平分∠FEB，EF∥BC．
（1）求证：EB＝BC．
（2）若AD∥EF，DF＝FC，请判断AE与BC的大小关系，并说明理由．
19．如图，在△ABC中，BC＝8，AD⊥BC于点D，点F在边BD上，DF＝1，EF∥AC，交AB于点E，BE：AE＝3：5．
（1）求DC的长．
（2）若AD＝3，求EF的长．
20．如图，已知抛物线y＝x2+mx+n经过点A（﹣5，2），B（3，2）．
（1）求抛物线的表达式．
（2）利用函数图象，求当﹣5＜x≤0时，y的取值范围．
21．如图，D为Rt△ABC的直角边BC上一点以CD为直径的半圆O与斜边AB相切于点E，BF∥AC，交CE的延长线于点F．已知AC：BF＝3：4．
（1）求sin∠ABC的值．
（2）若BE＝6，求⊙O的半径的长．
22．根据以下素材，完成探索任务．
问题的提出
根据以下提供的素材，在总费用（新墙的建筑费用与门的价格和）不高于6400元的情况下，如何设计最大饲养室面积的方案？
素材1：图1是某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙，中间用一道墙隔开，计划中建筑材料可建围墙的总长为20m，开2个门，且门宽均为1m．
素材2：2个门要求同一型号，有关门的采购信息如表．
如表
型号 A B C
规格（门宽） 1米 1.2米 1米
单价（元） 250 280 300
素材3：与现有墙平行方向的墙建筑费用为400元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米．
问题解决
任务1 确定饲养室的形状设AB＝x，矩形ABCD的面积为S，求S关于x的函数表达式．
任务2 探究自变量x的取值范围．
任务3 确定设计方案我的设计方案是选型号 　 　门，AB＝　 　m，BC＝　 　m，S的最大值为 　 　m2．
23．如图，周长为22的矩形ABCD内接于⊙O，点E，F分别在边CD，BC上，AE平分∠FAD，EG∥AD，交AF于点G，延长AF交⊙O于点M，连结BM，tanM＝．
（1）求AB，AD的长．
（2）记DE＝x，GE＝y，求y关于x的函数表达式．
（3）①连结EF，当∠GEF＝∠GFE时，求OG+OE长．
②当点D关于直线AE的对称点D′恰好落在⊙O上时，求的值．
参考答案
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分。每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．计算：﹣6+2的结果是（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8
【分析】绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．
解：﹣6+2＝﹣（6﹣2）＝﹣4．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的加法，在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．
2．如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针最大可能落在（　　）
A．红色区域 B．紫色区域 C．黄色区域 D．蓝色区域
【分析】根据图形中的面积最大的区域即可得到结论．
解：∵蓝色区域的面积最大，
∴指针最大可能落在蓝色区域，
故选：D．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
3．将抛物线y＝（x+1）2+3向左平移5个单位，得到新抛物线的表达式是（　　）
A．y＝（x+6）2+3 B．y＝（x﹣4）2+3 C．y＝（x+1）2+8 D．y＝（x+1）2﹣2
【分析】根据平移的规律即可求得答案．
解：将抛物线y＝（x+1）2+3向左平移5个单位，得到新抛物线的表达式是为y＝（x+1+5）2+3，即y＝（x+6）2+3，
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与几何变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．
4．在解方程+x＝时，在方程的两边同时乘以6，去分母正确的是（　　）
A．2x﹣1+6x＝3（3x+1） B．2（x﹣1）+6x＝3（3x+1）
C．2（x﹣1）+x＝3（3x+1） D．（x﹣1）+6x＝3（3x+1）
【分析】根据等式的性质，在方程的两边同时乘以6即可．
解：在解方程+x＝时，在方程的两边同时乘以6，去分母正确的是：2（x﹣1）+6x＝3（3x+1）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，注意等式的性质的应用．
5．如图，△ABC内接于⊙O，CA＝CB，若∠A＝70°，则的度数为（　　）
A．40° B．60° C．80° D．100°
【分析】根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可得到结论．
解：∵CA＝CB，∠A＝70°，
∴∠A＝∠B＝70°，
∴∠C＝180°﹣2×70°＝40°，
∴的度数为80°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
6．7张背面相同的卡片，正面分别写有A，A，B，B，C，C，C 中的一个字母，现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面的字母是C的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】将卡片背面朝上，从中任意抽出一张共有7种等可能结果，其中正面的字母是C的有3种结果，再根据概率公式求解即可．
解：∵将卡片背面朝上，从中任意抽出一张共有7种等可能结果，其中正正面的字母是C的有3种结果，
∴正面的数是奇数的概率为，
故选：D．
【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
7．如图，E为Rt△ABC的直角边BC上一点，以CE为半径的半圆与斜边AB相切于点D．已知AD＝6，BD＝4，则⊙E的半径的长为（　　）
A．3.5 B．3 C．2.5 D．2
【分析】连接ED，AE，设圆的半径r，由Rt△ACE≌Rt△ADE（HL）得到AC＝AD＝6，由勾股定理求出BC长，由勾股定理列出关于r的方程，即可求出圆的半径．
解：连接ED，AE，设圆的半径r，
∵AD与半圆相切于D，
∴半径ED⊥AB，
∴∠ADE＝∠ACE＝90°，
∵AE＝AE，EC＝ED，
∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），
∴AC＝AD＝6，
∵AB＝AD+BD＝4+6＝10，
∴BC＝＝＝8，
在Rt△EDB中，
∵EB2＝ED2+BD2，
∴（8﹣r）2＝r2+42，
∴r＝3，
∴⊙E的半径的长为3．
故选：B．
【点评】本题考查切线的性质，三角形全等，勾股定理，关键是熟练掌握以上知识点．
8．一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知BC＝6m，房顶A离地面EF的高度为6m，则tan∠ABC的值为（　　）
A． B． C． D．3
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，利用直角三角形的边角关系定理求得AD、BD，根据三角函数的定义即可得到结论．
解：过点A作AD⊥BC于点D，如图，
∵它是一个轴对称图形，
∴AB＝AC，
∵AD⊥BC，
∴BD＝BC＝3（m），AD＝6﹣4＝2cm，
∴tan∠ABC＝＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，轴对称的性质，等腰三角形的三线合一，利用直角三角形的边角关系定理求得AD的长是解题的关键．
9．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则方程a（x+3）2+b（x+3）+c＝2根是（　　）
A．x1＝﹣4，x2＝﹣3 B．x1＝﹣3，x2＝﹣2
C．x1＝﹣2，x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝0
【分析】二次函数y＝ax2+bx+c向左平移3个单位，向下平移2个单位得到a（x+3）2+b（x+3）+c﹣2＝0，进而求解．
解：二次函数y＝ax2+bx+c向左平移3个单位，向下平移2个单位得到a（x+3）2+b（x+3）+c﹣2＝0，
则原抛物线向下平移2个单位，则此时抛物线和x轴的交点坐标为（0，0）、（1，0），
此时，再将抛物线向左平移3个单位，则此时抛物线和x轴的交点坐标为（﹣3，0）、（﹣2，0），
即x＝﹣3或﹣2，
故选：B．
【点评】本题主要考查的是二次函数的图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质以及数形结合是解题的关键．
10．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D在边AB上，DE⊥AB，交边BC于点E，EF⊥BC，交边AC于点F，GF⊥DE，交边DE于点G，设k＝，y＝GF，若，则y的取值范围是（　　）
A．0.4≤y≤25 B．0.8≤y≤2.7 C．0.9≤y≤3.6 D．1.1≤y≤3.8
【分析】先利用等边三角形的性质得到AC＝AB＝6，∠B＝∠C＝60°，再计算出∠FEG＝60°，利用正弦的定义，在Rt△FEG中表示出y＝FE，在Rt△FEG中表示出FE＝FC，所以y＝FC，接着用k表示FC得到FC＝6﹣6k，所以y＝﹣k+，然后利用k的取值范围确定y的取值范围．
解：∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB＝6，∠B＝∠C＝60°，
∵DE⊥AB，EF⊥BC，GF⊥DE，
∴∠EDB＝∠FEC＝∠FGE＝90°，
∴∠BED＝30°，
∴∠FEG＝60°，
在Rt△FEG中，∵sin∠FEG＝，
∴y＝sin60° FE＝FE，
在Rt△FEG中，∵sinC＝，
∴FE＝sin60° FC＝FC，
∴y＝FC，
∵k＝，
∴AF＝6k，
∴FC＝6﹣6k，
∴y＝（6﹣6k）＝﹣k+，
当k＝时，y＝；当k＝时，y＝，
∵≤k≤，
∴≤y≤．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算．也考查了一次函数的应用和等边三角形的性质．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．因式分解：ma2﹣mx2＝　m（a+x）（a﹣x）　．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
解：原式＝m（a2﹣x2）
＝m（a+x）（a﹣x）．
故答案为：m（a+x）（a﹣x）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．如图，点A在半圆O上，BC为直径，若＝120°，BC＝6，则的长是 　π　．
【分析】由弧长公式l＝，即可计算．
解：连接OA，
∵＝120°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝180°﹣120°＝60°，
∵圆的半径是3，
∴的长＝＝π，
故答案为：π．
【点评】本题考查弧长计算，关键是掌握弧长公式．
13．不等式组的解是 　﹣2＜x≤2　．
【分析】解出每个不等式的解集，再找出公共解集即可．
解：，
解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x＞﹣2，
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤2，
故答案为：﹣2＜x≤2．
【点评】本题考查解不等式组，解题的关键是求出每个不等式的解集，能找出不等式的公共解集．
14．一个立方体木箱沿斜面下滑，木箱下滑至如图所示位置时，AB＝3m．已知木箱高BE＝2m，tan∠BAC＝0.5，则木箱端点E距地面AC高度为 　　m．
【分析】作EN⊥AC于N交AB于M．解直角三角形即可得到结论．
解：作EN⊥AC于N交AB于M．
∵∠EBM＝∠ANM＝90°，∠BME＝∠AMN，
∴∠BEM＝∠CAB，
在Rt△EMB中，tan∠BEM＝tan∠BAC＝＝＝0.5，
∴BM＝1m，
∴EM＝＝＝（m），
∵AB＝3m，
∴AM＝2，
∵tan∠BAC＝＝0.5，
∴AN＝2MN，
∵MN2+AN2＝MN2+（2MN）2＝AM2＝4，
∴MN＝，
∴EN＝EM+MN＝（m）；
∴木箱端点E距地面AC的高度为m．
故答案为：．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
15．如图，点A，B分别在第一，二象限的反比例函数图象y＝（k1＞0），y＝（k2＜0）上，点C在y轴负半轴上，连结AB，OA，AC，且AC交x轴于点E．已知AB＝2AC，CE＝2AE，且∠AOC＝135°．若AC⊥AB，且k，则k2的值为 　﹣　．
【分析】由∠AOC＝135°，则∠AOy＝45°，故设点A（m，m），由平行线分线段成比例求出点C（0，﹣2m），利用△BMA∽△ANC得到B的坐标，进而求解．
解：∵∠AOC＝135°，则∠AOy＝45°，
故设点A（m，m），
过点A作AT⊥y轴于点T，则OT＝m，
∵OE∥AT，CE＝2AE，即CE：AE＝2，
∴OC：OT＝2，故点C（0，﹣2m），
过点A作MN∥y轴交过点B与x轴的平行线于点M，交过点C与x轴的平行线于点N，
∵∠CAN+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，
∴∠CAN＝∠ABM，
∵∠BMA＝∠ANC＝90°，
∴△BMA∽△ANC，
∵AB＝2AC，
则△BMA和△ANC的相似比为2：1，
即BM＝2AN，AM＝2CN，
设点B（s，t），
则m﹣s＝2×（m+2m）且t﹣m＝2m，
解得：s＝﹣5m且t＝3m，
则k2＝st＝﹣15m2，
而k1＝m2，
∵k1+k2＝﹣，
即﹣15m2+m2＝﹣，
解得：m2＝，
则k2＝st＝﹣15×＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数和反比例函数的性质、平行线分线段正比例、三角形相似等，其中，正确设点A的坐标，用三角形相似确定点B坐标得方法，是此类题目解题的一半方法，题目综合性强，难度适中．
16．如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，延长小正方形的对角线EF交边AB于点G，且BG：AG＝2：3．在EG的延长线上取点H，使∠AHB＝90°，分别以AH，BH为边在△AHB的外侧构造正方形，图中构成的阴影部分的面积分别记为S1，S2，则S1：S2＝　9：4　．若S1+S2＝39，则EH的长为 　6　．
【分析】如图，设小正方形EMFN的边长为x，可证得四边形AHBM是矩形，得出：BH＝AM，BH∥AM，利用△AEG∽△BHG，可得＝，可得AM＝BH＝2x，AE＝AH＝3x，可推出＝，再利用S1+S2＝39，可求得x2＝6，再运用勾股定理即可求得EH．
解：如图，设小正方形EMFN的边长为x，
则∠EFM＝∠FEM＝∠BFH＝∠BHF＝45°，
∵∠AHB＝90°，
∴∠AHE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAH＝90°，
∵∠AMB＝180°﹣∠EMF＝180°﹣90°＝90°，
∴∠AMB＝∠AHB＝∠MAH＝90°，
∴四边形AHBM是矩形，
∴BH＝AM，BH∥AM，
∴△AEG∽△BHG，
∴＝＝，
∴＝，
∴AM＝BH＝2x，
∴AE＝AM+EM＝2x+x＝3x，
∴AH＝AE＝3x，
∴＝＝＝＝，
∵S1+S2＝39，
∴×（3x）2+×（2x）2＝39，
∴x2＝6，
∴EH＝＝＝＝＝6．
故答案为：9：4，6．
【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积等，本题综合性较强．
三、解答题（本题有8小题，共80分。解答需要写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（1）计算：﹣|﹣|+（﹣2）2+3﹣1．
（2）解方程组：．
【分析】（1）原式利用算术平方根性质，绝对值的代数意义，负整数指数幂法则，以及乘方的意义计算即可求出值；
（2）方程组利用代入消元法求出解即可．
解：（1）原式＝2﹣+4+
＝6；
（2），
把②代入①得：2y﹣3（y+3）＝﹣7，
解得：y＝﹣2，
把y＝﹣2代入②得：x＝﹣2+3＝1，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
18．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，连结EC，EF，EC平分∠FEB，EF∥BC．
（1）求证：EB＝BC．
（2）若AD∥EF，DF＝FC，请判断AE与BC的大小关系，并说明理由．
【分析】（1）欲证明EB＝BC，只要证明∠ECB＝∠BEC即可．
（2）结论：AE＝BC，利用平行线分线段成比例定理得AE＝BE，由EB＝BC，可得结论．
【解答】（1）证明：∵EC平分∠FEB，
∴∠CEF＝∠BEC，
∵EF∥BC，
∴∠CEF＝∠BCE，
∴∠BCE＝∠BEC，
∴EB＝BC；
（2）解：AE＝BC．
理由：∵EF∥BC，AD∥EF，
∴AD∥EF∥BC，
∵DF＝FC，
∴AE＝BE，
∵EB＝BC，
∴AE＝BC．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握有关知识．
19．如图，在△ABC中，BC＝8，AD⊥BC于点D，点F在边BD上，DF＝1，EF∥AC，交AB于点E，BE：AE＝3：5．
（1）求DC的长．
（2）若AD＝3，求EF的长．
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理即可得到结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
解：（1）∵EF∥AC，
∴＝，
∵BC＝8，
∴BF＝3，CF＝5，
∵DF＝1，
∴CD＝4，
故CD的长为4；
（2）由（1）知，CD＝4，
∵AD⊥BC，AD＝3，
∴AC＝＝＝5，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝，
故EF的长为．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
20．如图，已知抛物线y＝x2+mx+n经过点A（﹣5，2），B（3，2）．
（1）求抛物线的表达式．
（2）利用函数图象，求当﹣5＜x≤0时，y的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的表达式；
（2）利用配方法得到y＝（x+1）2﹣14，根据二次函数的性质得到当x＝﹣1时，结合函数图象可得到当﹣5＜x≤0时，y的取值范围为﹣14≤y＜2．
解：（1）把A（﹣5，2），B（3，2）分别代入y＝x2+mx+n得，
解得，
所以抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣13；
（2）∵y＝x2+2x﹣13＝（x+1）2﹣14，
∴当x＝﹣1时，y有最小值﹣14，
∴﹣5＜x≤0时，y的取值范围为﹣14≤y＜2．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
21．如图，D为Rt△ABC的直角边BC上一点以CD为直径的半圆O与斜边AB相切于点E，BF∥AC，交CE的延长线于点F．已知AC：BF＝3：4．
（1）求sin∠ABC的值．
（2）若BE＝6，求⊙O的半径的长．
【分析】（1）证明△AEC∽△BEF，根据相似三角形的性质得到＝＝，根据切线长定理得到AC＝AE，再根据正弦的定义计算即可；
（2）连接OE，根据勾股定理求出BC，证明△OBE∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
解：（1）∵BF∥AC，
∴△AEC∽△BEF，
∴＝＝，
∵CD为⊙O的直径，∠ACB＝90°，
∴AC是⊙O的切线，
∵AB是⊙O的切线，
∴AC＝AE，
∴sin∠ABC＝＝；
（2）如图，连接OE，
∵＝，BE＝6，
∴AE＝，
∴AB＝，AC＝，
∴BC＝＝3，
∵AB是⊙O的切线，
∴OE⊥AB，
∴∠OEB＝∠ACB，
∵∠OBE＝∠ABC，
∴△OBE∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得：OE＝，即⊙O的半径的长为．
【点评】本题考查的是切线的性质、锐角三角函数的定义、相似三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
22．根据以下素材，完成探索任务．
问题的提出
根据以下提供的素材，在总费用（新墙的建筑费用与门的价格和）不高于6400元的情况下，如何设计最大饲养室面积的方案？
素材1：图1是某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙，中间用一道墙隔开，计划中建筑材料可建围墙的总长为20m，开2个门，且门宽均为1m．
素材2：2个门要求同一型号，有关门的采购信息如表．
如表
型号 A B C
规格（门宽） 1米 1.2米 1米
单价（元） 250 280 300
素材3：与现有墙平行方向的墙建筑费用为400元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米．
问题解决
任务1 确定饲养室的形状设AB＝x，矩形ABCD的面积为S，求S关于x的函数表达式．
任务2 探究自变量x的取值范围．
任务3 确定设计方案我的设计方案是选型号 　A　门，AB＝　　m，BC＝　　m，S的最大值为 　　m2．
【分析】任务一：先根据题中条件写BC的长，即可求出S关于x的函数表达式；
任务二：先根据1＜BC≤16，解出2≤x＜7，写出新墙建筑费用的代数式，然后分选用型号A门和型号C门两种情况，利用总费用不高于6400元，分别求出x的取值范围即可；
任务三：先把函数表达式配成顶点式，然后根据x的取值范围和图象开口方向即可求出面积的最大值．
解：任务1：根据题意可得BC＝20+2﹣3x＝（22﹣3x）m，
∴S＝AB BC
＝x（22﹣3x）
＝﹣3x2+22x；
任务2：由题意知1＜BC≤16，
即1＜22﹣3x≤16，
解得：2≤x＜7，
根据题意可得：新墙建筑费用＝200（3x﹣1）+400（21﹣3x）＝（8200﹣600x）元，
若选型号A门，则总费用＝8200﹣600x+500＝（8700﹣600x）元，
∵总费用不高于6400元，
∴8700﹣600x≤6400，解得：x≥，
∴≤x＜7；
若选型号C门，则总费用＝8200﹣600x+600＝（8800﹣600x）元，
∵总费用不高于6400元，
∴8800﹣600x≤6400，解得：x≥4，
∴4≤x＜7；
综上所述：当选型号A门时，自变量x的取值范围为：≤x＜7，当选型号C门时，自变量x的取值范围为：4≤x＜7；
任务3：由任务1知S＝﹣3x2+22x＝﹣3（x﹣）2+，
∵﹣3＜0，图象开口向下，且＜＜4，
∴当x＝时，面积S有最大值，最大值为，
此时BC＝22﹣3×＝（m），
∴我的设计方案是选型号A门，AB＝m，BC＝m，S的最大值为m2；
故答案为：A，，，．
【点评】本题考查的是二次函数的实际应用，解题关键：一是列出S关于x的函数表达式，二是配成顶点式．
23．如图，周长为22的矩形ABCD内接于⊙O，点E，F分别在边CD，BC上，AE平分∠FAD，EG∥AD，交AF于点G，延长AF交⊙O于点M，连结BM，tanM＝．
（1）求AB，AD的长．
（2）记DE＝x，GE＝y，求y关于x的函数表达式．
（3）①连结EF，当∠GEF＝∠GFE时，求OG+OE长．
②当点D关于直线AE的对称点D′恰好落在⊙O上时，求的值．
【分析】（1）连接AC，利用矩形的性质，圆周角定理和直角三角形的边角关系定理解答即可；
（2）过点G作GH⊥AD于点H，利用矩形的判定与性质，平行线的性质和角平分线的定义和勾股定理解答即可；
（3）①由等腰三角形的判定与性质，平行线等分线段定理和垂径定理及其推论得到圆心O在线段EG上，再利用（2）的结论解答即可得出结论；
②利用轴对称的性质和圆的有关性质，得出点E，C重合，再利用（2）的结论求得线段EG的长，则结论可得．
解：（1）连接AC，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝90°．
∵∠ACB＝∠M，tanM＝，
∴tan∠ACB＝．
在Rt△ABC中，
∵tan∠ACB＝，
∴．
设AB＝4k，则BC＝7k．
∵矩形ABCD的周长为22，
∴2×（4k+7k）＝22，
∴k＝1，
∴AB＝4，AD＝BC＝7；
（2）过点G作GH⊥AD于点H，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D＝90°．
∵EG∥AD，
∴∠GED+∠D＝180°，
∴∠GED＝90°，
∵GH⊥AD，
∴四边形GEDH为矩形，
∴GH＝DE＝x，DH＝GE＝y，
∴AH＝AD﹣DH＝7﹣y．
∵AE平分∠FAD，
∴∠GAE＝∠DAE，
∵EG∥AD，
∴∠DAE＝∠GEA，
∴∠GAE＝∠GEA，
∴GA＝GE＝y，
在Rt△AGH中，由勾股定理得：
AH2+GH2＝AG2，
∴（7﹣y）2+x2＝y2，
∴y＝．
（3）①如图，
∵∠GEF＝∠GFE，
∴GE＝GF．
由（2）知：GA＝GE，
∴GA＝GF，
∵AD∥GE∥BC，
∴DE＝EC＝CD＝2，
∴GE垂直平分DC，
∴GE经过圆心O，
∴OG+OE＝GE＝y．
∵此时x＝DE＝2，
∴OG+OE＝y＝+；
②∵点D关于直线AE的对称点D′恰好落在⊙O上，
∴AE所在的直线经过圆心O，
∵AC为圆的直径，点E在CD上，
∴AE与AC重合，
∴点E与点C重合，
∴DE＝DC＝4，
此时x＝DE＝4，
∴GE＝y＝＝，
∴．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，矩形的性质，圆周角定理，垂径定理及其推论，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，角平分线的定义，平行线的性质，轴对称的性质，恰当的构造辅助线是解题的关键．

2022-2023浙江省温州市瑞安市新纪元学校九年级（下）返校数学试卷（含解析）