高中数学高一下 人教2019A版必修第二册 7-3复数的三角表示 课时练习（含解析）

高中数学高一下 人教2019A版必修第二册
7-3复数的三角表示 课时练习
一、单选题
1．已知，且，则实数的值为
A．0 B．1
C． D．
2．欧拉公式（为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．大数学家欧拉发现了一个公式：，是虚数单位，为自然对数的底数.此公式被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，（ ）（注：底数是正实数的实数指数幂的运算律适用于复数指数幂的运算）
A．1 B． C．i D．
4．复数在复平面对应的点绕原点逆时针旋转所得点对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
5．设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6．若（为虚数单位），则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知复数满足且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．棣莫弗公式（其中为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣茣弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
9．若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则（ ）
A．不可能为纯虚数
B．在复平面内对应的点可能位于第二象限
C．在复平面内对应的点一定位于第三象限
D．在复平面内对应的点可能位于第四象限
10．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．已知复数，则（ ）．
A． B． C． D．
12．设，则
A． B． C． D．
二、填空题
13．复数的三角形式是______．
14．若复数（为虚数单位），则___________.
15．设，，复平面上对应的点分别为，，，．若，，，则四边形的面积为______．
16．已知复数，满足，且，则________．
17．复平面内向量对应的复数为，A点对应的复数为，现将绕点顺时针方向旋转90°后得到的向量为，则点对应的复数为_________.
三、解答题
18．把下列复数的三角形式化成代数形式.
（1）；
（2）.
19．已知复数z满足，且是纯虚数．
(1)求z；
(2)求z的辐角主值．
20．设复数，求函数的最大值以及对应的值．
21．计算：
(1)；
(2)．
22．一般地，任何一个复数（，）都可以表示成形式，其中，是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与“三角形式”区分开来，（，）叫做复数的代数表示式，简称“代数形式”.
(1)画出复数对应的向量，并把表示成三角形式；
(2)已知，，，其中，.试求（结果表示代数形式）.
23．把下列复数的代数形式化成三角形式.
（1）；
（2）.
答案：
1．C
【分析】先计算，再求得，利用模的计算公式求得a.
【详解】∵，∴
∴＝3,得，
则，
∴a=，
故选C．
2．B
【分析】根据复数的几何意义，以及弧度制即可求解.
【详解】解：，又，为第二象限角，故
，故在复平面内对应的点位于第二象限.
故选：B.
3．D
【分析】先根据公式将原式变为，再根据注释将原式变为，结合三角函数的诱导公式即可计算出结果.
【详解】因为，
所以，
故选：D.
4．B
【分析】根据复数三角形式，化简计算，结合题意，可得旋转后的复数，即可得答案.
【详解】，将复数在复平面对应的点绕原点逆时针旋转，
可得.
故选：B
5．C
【分析】先求出共轭复数再判断结果.
【详解】由得则对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C．
6．A
【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确选项.
【详解】当时，，
当时，可以取，此时，
所以是的充分不必要条件.
故选：A
7．D
【分析】首先根据条件求得复数，再利用三角函数表示复数，以及结合欧拉公式，计算复数的值.
【详解】设，
，即，
，解得：
，
当时，
，
则
，
当时，
则
，
故选：D
8．C
【分析】根据棣莫弗公式及诱导公式代入计算即可．
【详解】解：由己知得，
复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限．
故选：C．
9．D
【分析】利用第二象限的辐角范围确定的辐角范围，即可判断各选项的正误.
【详解】由为第二象限，其对应辐角范围为，
所以对应辐角为，
故在复平面内对应的点可能位于第三、四象限及y轴的负半轴.
所以A、B、C错误，D正确.
故选：D
10．B
【分析】利用复数的运算以及几何意义进行求解判断.
【详解】因为，
所以复数在复平面对应的点为，故A，C，D错误.
故选：B.
11．A
【分析】由已知，可根据题意直接表示出，化简即可得到结果.
【详解】由已知，复数，
故选：A．
12．C
【详解】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模.
详解：
，
则，故选c.
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
13．
【分析】直接利用辅助角公式计算得到答案.
【详解】.
故答案为：.
14．##
【分析】根据复数，可知其实部和虚部，即可求得答案.
【详解】因为复数，其实部和虚部分别为，且在第二象限
故幅角的正切值，由于，则，
故答案为：
15．
【分析】根据题意，将复数改写成三角形式，结合已知条件分别算出、、、和，即可求解.
【详解】由，得，由，得，
因，所以，即，且，
又因，所以，即，且,
因此.
故答案为：.
16．
【分析】设，，根据和可构造方程组求得，由此可计算得到结果.
【详解】设，，；
，，又，
，解得：或，
或，.
故答案为：.
17．
【分析】利用复数乘法的几何意义求得对应的复数.
【详解】由于向量对应的复数为，而，现将绕点顺时针方向旋转90°后得到的向量为，所以对应的复数为.
故答案为：
18．（1）（2）
【解析】（1）分别求出 再整理为 的形式.
（2）分别求出 再整理为 的形式.
【详解】（1）.
（2）.
19．(1)
(2)当时，的辐角主值为；当时，的辐角主值为．
【分析】(1)设，，由条件列方程求即可，(2)根据辐角主值的定义求解.
【详解】（1）设，，因为，所以，所以，故，
所以，
又是纯虚数， 所以，所以，
所以
（2）设复数的辐角主值为，则，
当时，，所以，，，所以，故复数的辐角主值为；
当时，，所以，，，所以，故复数的辐角主值为.
20．当时，y取得最大值
【分析】根据辐角的主值定义，结合两角差的正切公式、基本不等式进行求解即可.
【详解】由，可得，
因为，所以，于是，
当且仅当时取等号，则当时取等号，即当时取等号，因此有，因此函数的最大值为，此时.
21．(1)；
(2).
【分析】(1)利用复数三角形式的乘法法则直接进行计算作答.
(2)利用复数三角形式的除法法则直接进行计算作答.
【详解】（1）.
（2）
.
22．(1)图象见解析，
(2)
【分析】（1）根据对应的点在第四象限画出图象，求得复数的模和辅角即可；
（2）根据，进而求得，，再利用复数的乘法求解.
(1)
因为对应的点在第四象限，
所以对应的向量如图所示.
易得，，，
所以.
所以.
(2)
因为，
所以.
又，，
所以.
所以.
所以，
，
.
23．（1）（2）
【解析】（1）先根据模公式 求出模来，再根据其对应的点是在第四象限，求出，最后写成三角形式.
（2）先根据模公式 求出模来，再根据其对应的点是在第四象限，求出，最后写成三角形式.
【详解】（1）.
因为与对应的点在第四象限，
所以，
所以.
（2）.
因为与对应的点在第四象限，
所以，
所以.

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