山东省东营市利津县2021-2022高一下学期数学期中试卷

山东省东营市利津县2021-2022学年高一下学期数学期中试卷
一、单选题
1．（2022高一下·利津期中）若，且是第三象限角，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2022高一下·利津期中）设点是正三角形的中心，则向量，，是（　　）
A．相同的向量 B．模相等的向量
C．共起点的向量 D．共线向量
3．（2022高一下·利津期中）已知向量，，则（　　）
A． B．2 C． D．
4．（2022高一下·利津期中）若是锐角，则，是（　　）
A．第一象限角 B．第三象限角
C．第一象限角或第三象限角 D．第二象限角或第四象限角
5．（2022高一下·利津期中）如图，在平行四边形ABCD中，若，，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2022高一下·利津期中）下列关于函数说法正确的是（　　）
A．函数的定义域为R B．函数为奇函数
C．函数的最小值为0 D．函数的最小正周期为
7．（2022高一下·利津期中）四边形中，，，，若、不共线，则四边形为（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形
8．（2022高一下·利津期中）圆心在原点，半径为10的圆上的两个动点M，N同时从点出发，沿圆周运动，点M按逆时针方向旋转，速度为弧度/秒，点N按顺时针方向旋转，速度为弧度/秒，则它们第三次相遇时点M转过的弧度数为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022高一下·利津期中）与终边相同的角是（　　）
A． B． C． D．
10．（2022高一下·利津期中）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形图中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．和能构成一组基底
11．（2022高一下·利津期中）在平面直角坐标系中，角的始边为 的正半轴，终边经过点，则下列式子正确的是（　　）
A． B．
C． D．若为钝角，则
12．（2023高三上·杭州期末）若函数在区间上单调递增，则（　　）
A．存在，使得函数为奇函数
B．函数的最大值为
C．的取值范围为
D．存在4个不同的，使得函数的图象关于直线对称
三、填空题
13．（2020高一上·福建期末）若圆心角为 的扇形的弧长为 ，则该扇形面积为　 　.
14．（2022高一下·利津期中）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为　 　
15．（2022高一下·利津期中）在中，是的中点，设，，请写出一个与向量共线的一个向量　 　.（用平面向量、表示）.
16．（2022高一下·利津期中）在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”．一个回归年定义为从某年春分到次年春分所经历的时间，也指太阳直射点回归运动的一个周期．某科技小组以某年春分为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值（太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值）．设第x天时太阳直射点的纬度平均值为y，该小组通过对数据的整理和分析，得到y与x近似满足，则一个回归年对应的天数约为　 　（精确到0.01）；已知某年的春分日是星期六，则4个回归年后的春分日应该是星期　 　．（）
四、解答题
17．（2022高一下·利津期中）已知点，，，，且点满足，其中，
（1）若，点P在直线上，求实数；
（2）若，求点P的坐标x，y满足的关系式.
18．（2022高一下·利津期中）已知角满足
（1）若角是第三象限角，求的值；
（2）若，求的值.
19．（2022高一下·利津期中）如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，M为BO中点.设向量，
（1）用，表示
（2）建立适当的坐标系，使得点C的坐标为，求点M的坐标.
20．（2022高一下·利津期中）已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为
（1）求函数的单调递增区间和其图象的对称轴方程；
（2）先将函数的图象各点的横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变得到曲线C，再把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到的图象，若，求x的取值范围.
21．（2022高一下·利津期中）函数的最小值为，
（1）当时，求；
（2）若，求实数
22．（2022高一下·利津期中）已知函数，是函数图象上的一点，M，N是函数图象上一组相邻的最高点和最低点，在x轴上存在点T，使得，且四边形PMTN的面积的最小值为
（1）求函数的解析式；
（2）若，，求；
（3）已知，过点H的直线交PM于点Q，交PN于点K，，，问是否是定值？若是，求出定值，若不是，说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为，且是第三象限角，
所以，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合角所在的象限和同角三角函数基本关系式，进而得出角 的正切值。
2．【答案】B
【知识点】向量的模；平行向量与共线向量；相等向量与相反向量
【解析】【解答】如图：
因为是正的中心，所以为外接圆的半径，所以向量，，是模相等的向量，但方向不同.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合相等向量的定义、向量的模求解方法、共起点的向量的定义、向量共线定理，进而找出正确的选项。
3．【答案】C
【知识点】向量的模；平面向量的坐标运算
【解析】【解答】∵，，∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算和向量的模的坐标表示，进而得出。
4．【答案】C
【知识点】象限角、轴线角
【解析】【解答】是锐角，，，当k为奇数时，为第三象限角；当k为偶数时，为第一象限角.所以为第一象限角或第三象限角.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合象限角的判断方法，进而找出正确的选项。
5．【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】因为点O为平行四边形ABCD的对角线的交点，
故，所以
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合相反向量的定义和三角形法则以及平面向量基本定理，进而得出。
6．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的判断；三角函数的周期性及其求法
【解析】【解答】对于A，函数的定义域为，A不符合题意；
对于B，函数的定义域为关于原点对称，
又，则函数为偶函数，B不符合题意；
对于C，根据函数的奇偶性结合正切函数的相关性质，
根据图象变换作出函数草图如下：
由图可知，函数没有最小值，最大值为0，C不符合题意；
对于D，同样由图可知函数的最小正周期为，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合绝对值的定义，从而将函数转化为分段函数，再结合分段函数的图象结合函数的定义域求解方法、奇函数的定义、函数的最值求解方法、三角型函数的最小正周期公式，进而找出说法正确的选项。
7．【答案】C
【知识点】向量的三角形法则；向量的共线定理；平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】由已知得，
，
故，由，
所以四边形ABCD是梯形.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合平面向量基本定理和向量共线定理得出，由结合梯形的定义，从而判断出四边形ABCD是梯形。
8．【答案】C
【知识点】弧度制、角度制及其之间的换算；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】由题意，动点第三次相遇，则两个动点转过的弧度之和为：，
设从点出发秒后点第三次相遇，则，解得秒，
此时点转过的弧度数为弧度
故答案为：C
【分析】由题意，动点第三次相遇，进而得出两个动点转过的弧度之和，设从点出发秒后点第三次相遇进而得出t的值，从而得出此时点转过的弧度数。
9．【答案】A,D
【知识点】终边相同的角
【解析】【解答】∵，又，，
选项中只有和与与终边相同.
故答案为：AD.
【分析】利用已知条件结合终边相同的角求解方法得出与终边相同的角。
10．【答案】B,C,D
【知识点】相等向量与相反向量；向量的三角形法则；平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】对于A选项，，A选项错误.
对于B选项，，B选项正确.
对于C选项，由于八边形ABCDEFGH为正八边形，故，且，
故，所以C符合题意.
对于D选项，由于和不共线，故和能构成一组基底，所以D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件结合正八边形的结构特征，再结合向量相等的判断方法、三角形法则、平面向量基本定理、共线定理判断基底的方法，进而找出说法正确的选项。
11．【答案】C,D
【知识点】余弦函数的单调性；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】因为角终边经过点，
则
对于 ：，故错误；
对于：，故错误；
对于：，故正确；
对于：因为当，单调递减，而，即，所以，故正确.
故答案为：CD.
【分析】利用已知条件结合三角函数的定义和诱导公式、同角三角函数基本关系式、余弦函数的单调性得出角的取值范围的方法，进而找出式子正确的选项。
12．【答案】B,C,D
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的周期性；正弦函数的零点与最值
【解析】【解答】解：，定义域为，
不恒成立，
则不存在，使得函数为奇函数，A不符合题意；
由，得，则的最大值为，B符合题意；
由于在区间上单调递增，故，
解第一个不等式得，，故，解二式得，故，
又，所以，C符合题意；
令，，解得，，
由知的取值为，，，，共4个值，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】由三角函数的诱导公式和奇偶性的定义，可判定A不符合题意；根据，可判定B符合题意；由在区间上单调递增，列出不等式组，求得第一个不等式得，进而得到，可判定C符合题意；令，，求得，结合，可判定D符合题意.
13．【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设弧长为 ，半径为 ， 为圆心角，所以 ，
由扇形面积公式得 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合弧长公式，进而求出扇形所对的圆心角，再利用扇形面积公式，进而求出该扇形的面积。
14．【答案】
【知识点】向量的模
【解析】【解答】一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，所以重力，
因为，与水平夹角均为，，
由向量加法的平行四边形法则可知的方向是竖直向上的，且
，所以物体的重力大小为
故答案为：
【分析】利用已知条件结合平行四边形法则和正弦函数的定义，进而得出物体的重力大小。
15．【答案】（答案不唯一）
【知识点】向量的共线定理；平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】由已知，
故与向量共线的一个向量可以是.
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】利用已知条件结合平面向量基本定理和向量共线定理，进而写出一个与向量共线的一个向量。
16．【答案】365.25；四
【知识点】三角函数的周期性及其求法
【解析】【解答】因为周期，所以一个回归年对应的天数约为365.25；
一个回归年对应的天数约为365.25，则4个回归年经过的天数为.
因为，且该年的春分日是星期六，所以4个回归年后的春分日应该是星期四.
故答案为：365.25；四.
【分析】利用已知条件结合三角型函数的最小正周期公式得出函数的周期，再结合函数的周期性得出
一个回归年对应的天数和4个回归年后的春分日应该是星期四。
17．【答案】（1）解：由题意可知：，，，
因为，
故，即，化简可得，
因为点P在直线上，故，解得：
（2）解：由，得：，
代入，得：，消去，得：
【知识点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合向量的坐标表示和平面向量基本定理，再结合向量的坐标运算和向量相等的的判断方法，再利用代入法得出实数的值。
（2）利用已知条件结合平面向量基本定理和向量相等的判断方法，进而得出点P的坐标x，y满足的关系式。
18．【答案】（1）解：由题意和同角三角函数基本关系式，有，
消去得，解得或
因为角是第三象限角，所以，，
（2）解：，
当角是第一象限角时，，
当角是第三象限角时，，
【知识点】象限角、轴线角；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合角所在的象限，再结合同角三角函数基本关系式得出 的值。
（2）利用已知条件结合诱导公式得出 的值。
19．【答案】（1）解：由四边形ABCD是平行四边形，BD，AC相交于点O
所以，
因为M为BO中点，
（2）解：如图，以A为坐标原点，AD所在的直线为x轴，建立直角坐标系，由，，，可求得点C的坐标为，
所以，，，
根据中点坐标公式，可求得点M的坐标为
【知识点】平面向量的基本定理及其意义；中点坐标公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合平面向量基本定理，从而用，表示。
（2） 以A为坐标原点，AD所在的直线为x轴，建立直角坐标系，由，，，从而求得点C的坐标，进而得出点D、B、O的坐标，再根据中点坐标公式，从而求得点M的坐标。
20．【答案】（1）解：因为图象的相邻两条对称轴间的距离为，所以的最小正周期为，
所以，，所以，
由，可得，，
所以函数的单调递增区间为，
由得，
所以所求对称轴方程为
（2）解：将函数的图象向左平移个单位长度得到曲线，
把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的得到的图象，
由得，所以，，
所以，，所以x的取值范围为
【知识点】函数的单调性及单调区间；正弦函数的图象；正弦函数的奇偶性与对称性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合 图象的相邻两条对称轴间的距离为，所以的最小正周期为， 再利用正弦型函数的最小正周期公式得出的值，从而得出正弦型函数的解析式，再结合正弦型函数的图象判断其单调性，从 而得出正弦型函数的单调递增区间，再利用正弦型函数的图象求出其对称轴方程。
（2）利用已知条件结合正弦型是的图象变换对称函数g(x)的解析式，再结合正弦型函数的图象对称实数x的取值范围。
21．【答案】（1）解：当时，
.
所以，当时，取得最小值，即.
（2）解：
，
若，即时，则当时，有最小值，.
若，即时，则当时，有最小值，.
所以，
若，得或
由解得或（舍去），
由解得（舍去）.
所以
【知识点】函数的最值及其几何意义；函数的值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合a的值对称函数f(x)的解析式，再结合同角三角函数基本关系式合二次函数的图象求最值的方法对称函数g(a)的解析式，再利用代入法对称函数的值。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法和代入法，进而得出实数a的值。
22．【答案】（1）解：因为M，N是函数图象上一组相邻的最高点和最低点，
故MN的中点在x轴上，且为函数的一个零点，因为，
故四边形PMTN为平行四边形，
平行四边形PMTN的面积最小时，为一个周期长度，
平行四边形PMTN的面积，所以，
故，解得.
所以，
，，
所以，所以.
（2）解：由，得：，
即，因为，
所以.
（3）解：存在定值3，使得，原因如下：
因为，，
，
因为和共线，所以，
即，
，整理得，即
【知识点】函数的值；向量的共线定理；平面向量的基本定理及其意义；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】（1） 利用M，N是函数图象上一组相邻的最高点和最低点，故MN的中点在x轴上，且为函数的一个零点，再利用，故四边形PMTN为平行四边形，当平行四边形PMTN的面积最小时，为一个周期长度，再结合平行四边形的面积公式得出平行四边形PMTN的面积，进而得出PT的长，从而得出正弦型函数的最小正周期，再结合正弦型函数的最小正周期公式得出的值，再结合函数解析式代入法和的取值范围，进而得出的值，从而得出函数f(x)的解析式。
（2） 存在定值3，使得，原因如下：利用平面向量基本定理和向量共线定理得出，即，再利用向量相等的判断方法，进而得出的值。
山东省东营市利津县2021-2022学年高一下学期数学期中试卷
一、单选题
1．（2022高一下·利津期中）若，且是第三象限角，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为，且是第三象限角，
所以，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合角所在的象限和同角三角函数基本关系式，进而得出角 的正切值。
2．（2022高一下·利津期中）设点是正三角形的中心，则向量，，是（　　）
A．相同的向量 B．模相等的向量
C．共起点的向量 D．共线向量
【答案】B
【知识点】向量的模；平行向量与共线向量；相等向量与相反向量
【解析】【解答】如图：
因为是正的中心，所以为外接圆的半径，所以向量，，是模相等的向量，但方向不同.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合相等向量的定义、向量的模求解方法、共起点的向量的定义、向量共线定理，进而找出正确的选项。
3．（2022高一下·利津期中）已知向量，，则（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】向量的模；平面向量的坐标运算
【解析】【解答】∵，，∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算和向量的模的坐标表示，进而得出。
4．（2022高一下·利津期中）若是锐角，则，是（　　）
A．第一象限角 B．第三象限角
C．第一象限角或第三象限角 D．第二象限角或第四象限角
【答案】C
【知识点】象限角、轴线角
【解析】【解答】是锐角，，，当k为奇数时，为第三象限角；当k为偶数时，为第一象限角.所以为第一象限角或第三象限角.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合象限角的判断方法，进而找出正确的选项。
5．（2022高一下·利津期中）如图，在平行四边形ABCD中，若，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】因为点O为平行四边形ABCD的对角线的交点，
故，所以
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合相反向量的定义和三角形法则以及平面向量基本定理，进而得出。
6．（2022高一下·利津期中）下列关于函数说法正确的是（　　）
A．函数的定义域为R B．函数为奇函数
C．函数的最小值为0 D．函数的最小正周期为
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的判断；三角函数的周期性及其求法
【解析】【解答】对于A，函数的定义域为，A不符合题意；
对于B，函数的定义域为关于原点对称，
又，则函数为偶函数，B不符合题意；
对于C，根据函数的奇偶性结合正切函数的相关性质，
根据图象变换作出函数草图如下：
由图可知，函数没有最小值，最大值为0，C不符合题意；
对于D，同样由图可知函数的最小正周期为，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合绝对值的定义，从而将函数转化为分段函数，再结合分段函数的图象结合函数的定义域求解方法、奇函数的定义、函数的最值求解方法、三角型函数的最小正周期公式，进而找出说法正确的选项。
7．（2022高一下·利津期中）四边形中，，，，若、不共线，则四边形为（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形
【答案】C
【知识点】向量的三角形法则；向量的共线定理；平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】由已知得，
，
故，由，
所以四边形ABCD是梯形.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合平面向量基本定理和向量共线定理得出，由结合梯形的定义，从而判断出四边形ABCD是梯形。
8．（2022高一下·利津期中）圆心在原点，半径为10的圆上的两个动点M，N同时从点出发，沿圆周运动，点M按逆时针方向旋转，速度为弧度/秒，点N按顺时针方向旋转，速度为弧度/秒，则它们第三次相遇时点M转过的弧度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】弧度制、角度制及其之间的换算；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】由题意，动点第三次相遇，则两个动点转过的弧度之和为：，
设从点出发秒后点第三次相遇，则，解得秒，
此时点转过的弧度数为弧度
故答案为：C
【分析】由题意，动点第三次相遇，进而得出两个动点转过的弧度之和，设从点出发秒后点第三次相遇进而得出t的值，从而得出此时点转过的弧度数。
二、多选题
9．（2022高一下·利津期中）与终边相同的角是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】终边相同的角
【解析】【解答】∵，又，，
选项中只有和与与终边相同.
故答案为：AD.
【分析】利用已知条件结合终边相同的角求解方法得出与终边相同的角。
10．（2022高一下·利津期中）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形图中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．和能构成一组基底
【答案】B,C,D
【知识点】相等向量与相反向量；向量的三角形法则；平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】对于A选项，，A选项错误.
对于B选项，，B选项正确.
对于C选项，由于八边形ABCDEFGH为正八边形，故，且，
故，所以C符合题意.
对于D选项，由于和不共线，故和能构成一组基底，所以D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件结合正八边形的结构特征，再结合向量相等的判断方法、三角形法则、平面向量基本定理、共线定理判断基底的方法，进而找出说法正确的选项。
11．（2022高一下·利津期中）在平面直角坐标系中，角的始边为 的正半轴，终边经过点，则下列式子正确的是（　　）
A． B．
C． D．若为钝角，则
【答案】C,D
【知识点】余弦函数的单调性；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】因为角终边经过点，
则
对于 ：，故错误；
对于：，故错误；
对于：，故正确；
对于：因为当，单调递减，而，即，所以，故正确.
故答案为：CD.
【分析】利用已知条件结合三角函数的定义和诱导公式、同角三角函数基本关系式、余弦函数的单调性得出角的取值范围的方法，进而找出式子正确的选项。
12．（2023高三上·杭州期末）若函数在区间上单调递增，则（　　）
A．存在，使得函数为奇函数
B．函数的最大值为
C．的取值范围为
D．存在4个不同的，使得函数的图象关于直线对称
【答案】B,C,D
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的周期性；正弦函数的零点与最值
【解析】【解答】解：，定义域为，
不恒成立，
则不存在，使得函数为奇函数，A不符合题意；
由，得，则的最大值为，B符合题意；
由于在区间上单调递增，故，
解第一个不等式得，，故，解二式得，故，
又，所以，C符合题意；
令，，解得，，
由知的取值为，，，，共4个值，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】由三角函数的诱导公式和奇偶性的定义，可判定A不符合题意；根据，可判定B符合题意；由在区间上单调递增，列出不等式组，求得第一个不等式得，进而得到，可判定C符合题意；令，，求得，结合，可判定D符合题意.
三、填空题
13．（2020高一上·福建期末）若圆心角为 的扇形的弧长为 ，则该扇形面积为　 　.
【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设弧长为 ，半径为 ， 为圆心角，所以 ，
由扇形面积公式得 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合弧长公式，进而求出扇形所对的圆心角，再利用扇形面积公式，进而求出该扇形的面积。
14．（2022高一下·利津期中）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为　 　
【答案】
【知识点】向量的模
【解析】【解答】一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，所以重力，
因为，与水平夹角均为，，
由向量加法的平行四边形法则可知的方向是竖直向上的，且
，所以物体的重力大小为
故答案为：
【分析】利用已知条件结合平行四边形法则和正弦函数的定义，进而得出物体的重力大小。
15．（2022高一下·利津期中）在中，是的中点，设，，请写出一个与向量共线的一个向量　 　.（用平面向量、表示）.
【答案】（答案不唯一）
【知识点】向量的共线定理；平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】由已知，
故与向量共线的一个向量可以是.
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】利用已知条件结合平面向量基本定理和向量共线定理，进而写出一个与向量共线的一个向量。
16．（2022高一下·利津期中）在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”．一个回归年定义为从某年春分到次年春分所经历的时间，也指太阳直射点回归运动的一个周期．某科技小组以某年春分为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值（太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值）．设第x天时太阳直射点的纬度平均值为y，该小组通过对数据的整理和分析，得到y与x近似满足，则一个回归年对应的天数约为　 　（精确到0.01）；已知某年的春分日是星期六，则4个回归年后的春分日应该是星期　 　．（）
【答案】365.25；四
【知识点】三角函数的周期性及其求法
【解析】【解答】因为周期，所以一个回归年对应的天数约为365.25；
一个回归年对应的天数约为365.25，则4个回归年经过的天数为.
因为，且该年的春分日是星期六，所以4个回归年后的春分日应该是星期四.
故答案为：365.25；四.
【分析】利用已知条件结合三角型函数的最小正周期公式得出函数的周期，再结合函数的周期性得出
一个回归年对应的天数和4个回归年后的春分日应该是星期四。
四、解答题
17．（2022高一下·利津期中）已知点，，，，且点满足，其中，
（1）若，点P在直线上，求实数；
（2）若，求点P的坐标x，y满足的关系式.
【答案】（1）解：由题意可知：，，，
因为，
故，即，化简可得，
因为点P在直线上，故，解得：
（2）解：由，得：，
代入，得：，消去，得：
【知识点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合向量的坐标表示和平面向量基本定理，再结合向量的坐标运算和向量相等的的判断方法，再利用代入法得出实数的值。
（2）利用已知条件结合平面向量基本定理和向量相等的判断方法，进而得出点P的坐标x，y满足的关系式。
18．（2022高一下·利津期中）已知角满足
（1）若角是第三象限角，求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）解：由题意和同角三角函数基本关系式，有，
消去得，解得或
因为角是第三象限角，所以，，
（2）解：，
当角是第一象限角时，，
当角是第三象限角时，，
【知识点】象限角、轴线角；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合角所在的象限，再结合同角三角函数基本关系式得出 的值。
（2）利用已知条件结合诱导公式得出 的值。
19．（2022高一下·利津期中）如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，M为BO中点.设向量，
（1）用，表示
（2）建立适当的坐标系，使得点C的坐标为，求点M的坐标.
【答案】（1）解：由四边形ABCD是平行四边形，BD，AC相交于点O
所以，
因为M为BO中点，
（2）解：如图，以A为坐标原点，AD所在的直线为x轴，建立直角坐标系，由，，，可求得点C的坐标为，
所以，，，
根据中点坐标公式，可求得点M的坐标为
【知识点】平面向量的基本定理及其意义；中点坐标公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合平面向量基本定理，从而用，表示。
（2） 以A为坐标原点，AD所在的直线为x轴，建立直角坐标系，由，，，从而求得点C的坐标，进而得出点D、B、O的坐标，再根据中点坐标公式，从而求得点M的坐标。
20．（2022高一下·利津期中）已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为
（1）求函数的单调递增区间和其图象的对称轴方程；
（2）先将函数的图象各点的横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变得到曲线C，再把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到的图象，若，求x的取值范围.
【答案】（1）解：因为图象的相邻两条对称轴间的距离为，所以的最小正周期为，
所以，，所以，
由，可得，，
所以函数的单调递增区间为，
由得，
所以所求对称轴方程为
（2）解：将函数的图象向左平移个单位长度得到曲线，
把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的得到的图象，
由得，所以，，
所以，，所以x的取值范围为
【知识点】函数的单调性及单调区间；正弦函数的图象；正弦函数的奇偶性与对称性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合 图象的相邻两条对称轴间的距离为，所以的最小正周期为， 再利用正弦型函数的最小正周期公式得出的值，从而得出正弦型函数的解析式，再结合正弦型函数的图象判断其单调性，从 而得出正弦型函数的单调递增区间，再利用正弦型函数的图象求出其对称轴方程。
（2）利用已知条件结合正弦型是的图象变换对称函数g(x)的解析式，再结合正弦型函数的图象对称实数x的取值范围。
21．（2022高一下·利津期中）函数的最小值为，
（1）当时，求；
（2）若，求实数
【答案】（1）解：当时，
.
所以，当时，取得最小值，即.
（2）解：
，
若，即时，则当时，有最小值，.
若，即时，则当时，有最小值，.
所以，
若，得或
由解得或（舍去），
由解得（舍去）.
所以
【知识点】函数的最值及其几何意义；函数的值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合a的值对称函数f(x)的解析式，再结合同角三角函数基本关系式合二次函数的图象求最值的方法对称函数g(a)的解析式，再利用代入法对称函数的值。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法和代入法，进而得出实数a的值。
22．（2022高一下·利津期中）已知函数，是函数图象上的一点，M，N是函数图象上一组相邻的最高点和最低点，在x轴上存在点T，使得，且四边形PMTN的面积的最小值为
（1）求函数的解析式；
（2）若，，求；
（3）已知，过点H的直线交PM于点Q，交PN于点K，，，问是否是定值？若是，求出定值，若不是，说明理由.
【答案】（1）解：因为M，N是函数图象上一组相邻的最高点和最低点，
故MN的中点在x轴上，且为函数的一个零点，因为，
故四边形PMTN为平行四边形，
平行四边形PMTN的面积最小时，为一个周期长度，
平行四边形PMTN的面积，所以，
故，解得.
所以，
，，
所以，所以.
（2）解：由，得：，
即，因为，
所以.
（3）解：存在定值3，使得，原因如下：
因为，，
，
因为和共线，所以，
即，
，整理得，即
【知识点】函数的值；向量的共线定理；平面向量的基本定理及其意义；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】（1） 利用M，N是函数图象上一组相邻的最高点和最低点，故MN的中点在x轴上，且为函数的一个零点，再利用，故四边形PMTN为平行四边形，当平行四边形PMTN的面积最小时，为一个周期长度，再结合平行四边形的面积公式得出平行四边形PMTN的面积，进而得出PT的长，从而得出正弦型函数的最小正周期，再结合正弦型函数的最小正周期公式得出的值，再结合函数解析式代入法和的取值范围，进而得出的值，从而得出函数f(x)的解析式。
（2） 存在定值3，使得，原因如下：利用平面向量基本定理和向量共线定理得出，即，再利用向量相等的判断方法，进而得出的值。

山东省东营市利津县2021-2022高一下学期数学期中试卷