宁夏银川市育才中学2022-2023高二下学期3月月考数学（理科）试题（含答案）

育才中学2022-2023学年高二下学期3月月考
答案和解析
【答案】
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8. 9. 10. 11. 12.
13.
14.
15.
16.
17. 解：，
时，，
这个图象在处的切线方程为．
设与这个图象的切点为，
方程为，
由过点，
，
，，，
直线的方程为，即．

18. 解：，
令，得，
若，则，从而在上单调递减
若，则，从而在上单调递增．
则的单调递增区间为，单调递减区间为，
故的极小值为．
因为，，且，
所以在上，，．
故在上的值域为．
19. 解：当火车的速度时火车完全停止，即，
，解得或舍去；
即从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间为．
根据定积分的物理意义，紧急刹车后火车运行的路程就是从到对函数
的定积分，
令，
则；
，
即紧急刹车后火车运行的路程为．
20. 解：，
，经检验符合条件，
，
令，有或，令，有，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是．
由题意
当时，令，有，令，有，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以
，即
当时，不成立．
综上，．
21. 解：
【小问详解】
由可得，
因为在时有极值，
所以，即，解得或
当时，，
函数在上单调递增，不满足在时有极值，故舍去．
所以常数，的值分别为．
所以．
【小问详解】
由可知，
，
令，解得，
当或时，当时，，
的递增区间是和，单调递减区间为，
当有极大值，
当有极小值，
要使函数有三个零点，则须满足，解得．

22. 解：连接，，
可得，，，
；
求导数可得
令，则
时，，时，，
时，取得最大值，即时，征地面积最大．
【解析】
1. 【分析】
本题考查导数几何意义，属于简单题．
由已知及导数的定义得，然后由导数的几何意义即可求解．
【解答】
解：由导数的几何意义，点处的切线斜率为，
因为时，，
所以，
所以在点处的切线斜率为，
故答案选：．
2. 【分析】
本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
根据导数的公式即可得到结论．
【解答】
解：：，A错误，
：，B错误，
：，C正确，
：，D错误，
故选：．
3. 【分析】
本题考查导函数图象与原函数图象的关系，利用导数研究函数的单调性，属于基础题型，
由“原函数看增减，导函数看正负”的原则，利用排除法即可求解；
【解答】
解：由题意，由的图象可知，
上，单调递增，则在上恒有，由此排除，
又在上，先增，再减，再增，
则在上，先正，再负，再正，排除
故选D．
4. 【分析】
本题考查了导数的定义与瞬时速度，属于基础题．
根据瞬时速度的定义直接求解即可．
【解答】
解：运动员在时的瞬时速度即为，令，
根据导数的定义，
，
所以，
故选A．
5. 【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题．
求出导函数，由于函数在区间单调递增，可得在区间上恒成立，解出即可．
【解答】
解：，
函数在区间单调递增，
在区间上恒成立．
在区间上恒成立，
而在区间上单调递减，
，
．
的取值范围是：．
故选D．
6. 【分析】
本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，属于基础题．
可先求出函数的导数，结合函数的单调性、极值点与的符号分析系数符号即可．
【解答】
解：因为，所以，
由图象可知先减后增再减，所以先为负，再为正，最后又为负，所以，
因为为的两个极值点，且，所以，所以，
因为，所以，
故选C．
7. 【分析】
本题考查定积分的运算和几何意义，属于基础题．
利用定积分的运算计算即可．
【解答】
解：，
而表示圆面积的，即，
，
故，
故选A．
8. 【分析】
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
函数，，根据函数在处取得极大值，可得，解得，并且验证即可得出．
【解答】
解：函数，
，
函数在处取得极大值，
，解得或，
时，，
可得是函数的极小值点，舍去；
时，，
可得是函数的极大值点．
则．
故答案选：．
9. 【分析】
本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点的切线方程，其中根据已知分析出且是解答的关键．
曲线与曲线在交点处有公切线，则切点的坐标相等且切线的斜率切点处的导函数值均相等，由此构造关于，的方程，解方程可得答案．
【解答】
解：，，
，，
曲线与曲线在交点处有公切线，
，且，
即，，
．
故选：．
10. 【分析】
本题考查与导数有关的不等式恒成立问题，属于中档题．
构造函数，故只需，利用导数求函数的最值即可．
【解答】
解：原不等式可化为，
令，故只需，
由，得，
由，得，
故在上单调递增，在上单调递减．
故，即，解得．
故选D．
11. 【试题解析】
解：根据积分的物理意义可知力所做的功为，
故选：．
根据积分的物理意义，即可得到结论．
本题主要考查积分的计算微积分基本定理等相关知识，利用积分物理意义是解决本题的关键．
12. 【分析】
本题考查导数的运算、二次函数的图象等知识，属基础题．
求出导函数，分析得出导函数的图象，从而可得，，即可求出，从而得到的解析式，即可得解．
【解答】
解：，
导函数的图象开口向上．
又，
不是偶函数，其图象不关于轴对称
导函数的图象必为第三张图．
由图象特征知，
，且对称轴，
．
，
故．
故选：．
13. 【分析】
本题考查函数在区间上的平均变化率，考查学生的计算能力，属于基础题．
利用函数的解析式求出区间两个端点的函数值，再利用平均变化率公式表示出该函数在区间上的平均变化率，可得关于的方程，求得结果．
【解答】
解：，
即，
从而，
解得或舍去，
故答案为．
14. 【分析】
本题考查了导数的几何意义，属于基础题．
将代入得到关于，的方程，当时，导函数的值为，联立解方程即可．
【解答】
解：直线与曲线相切于点，
则，故．
又，当时，，所以，则．
15. 解：阴影部分面积为，
矩形的面积为，
所以在矩形内随机取一点，此点取自阴影部分的概率等于．
故答案为：．
用定积分计算阴影部分面积除以矩形的面积即得答案．
本题考查定积分应用及导数运算，考查数学运算能力，属于基础题．
16. 【分析】
本题考查导数的运算以及利用导数求函数的极值，难度中等．
由导数的运算求得的解析式，再求得导函数，得到函数的单调性，即可求得极值．
【解答】
解：因为，所以，所以，
因此，所以，
由得；由得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
因此极大值为
故答案为．
17. 本题考查导数的几何意义，关键是理解过点处的切线与在点处的切线的区别．
求出原函数的导函数，再求出与，利用直线方程的点斜式求解
设切点，求出函数在切点处的切线方程，代入已知点的坐标，求出切点坐标，则答案可求．
18. 本题考查利用导数判断函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数在闭区间上的最值问题，属于基础题．
对函数求导，根据导函数即可判断函数的单调性，求出函数的极值．
求出闭区间的端点函数值，与在区间内的极值比较，得到最大值和最小值，即可得到函数在上的值域．
19. 令，解得的值即为从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间；
紧急刹车后火车运行的路程是从到对函数的定积分．
本题主要考查了定积分的物理意义与应用问题，要找出被积函数的原函数．
20. 本题考查利用导数研究函数的单调性及函数恒成立时所取的条件，考查考生的运算、推导、判断能力，属于较易题．
求导得到，得到极值点，令，有或，令，有，得到单调区间；
转化为，分，两种情况讨论即可
21. 【分析】
求出函数的导函数，由在时有极值，则，两式联立可求常数，的值，从而得解析式；
利用导数研究函数的单调性、极值，根据函数图象的大致形状可求出参数的取值范围．
22. 本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，正确建立函数模型是关键．
利用，可求的表达式；
求导数，确定函数的单调性，即可求得最值．育才中学2022-2023学年高二下学期3月月考
数学（理）
满分150 考试时间120分钟
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设为可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为( )
A. B. C. D.
2. 下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能为( )
A. B. C. D.
4. 在高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度单位：是，则运动员在时的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
5. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
6. 函数的图象如图所示，则( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
7. ( )
A. B. C. D.
8. 已知函数在处取得极大值，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
9. 若曲线与曲线在交点处有公切线，则( )
A. B. C. D.
10. 若对任意的，恒有，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
11. 做直线运动的质点在任意位置处，所受力，则质点沿着与相同的方向，从点处运动到点处，力所做的功是( )
A. B. C. D.
12. 下列图象中，有一个是函数，的导函数的图象，则( )
A. B. C. D. 或
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 函数在区间上的平均变化率是，则 ．
14. 若直线与曲线相切于点，则 ．
15. 如图，点，点，函数，若在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于______．
16. 已知函数，则函数的极大值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知函数．
求这个函数的图象在处的切线方程；
若过点的直线与这个函数图象相切，求的方程．
18. 本小题分
设函数．
求的单调区间与极小值：
求在上的值域．
19. 本小题分
一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度时间的单位：，速度的单位：紧急刹车到停止．求：
从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间；
紧急刹车后火车运行的路程．
20. 本小题分
设函数
若是的极值点，求的单调区间；
若，求的取值范围．
21. 本小题分
已知函数在时有极值．
求函数的解析式；
记，若函数有三个零点，求实数的取值范围．
22. 本小题分
如图，有一块半径为的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形游泳池和其附属设施，附属设施占地形状是等腰，其中为圆心，，在圆的直径上，，，在圆周上．
设，征地面积记为，求的表达式；
当为何值时，征地面积最大？

宁夏银川市育才中学2022-2023高二下学期3月月考数学（理科）试题（含答案）