2022年湖北省荆门外国语学校中考数学模拟试卷（含答案）

2022年湖北省荆门外国语学校中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个是正确答案，请在答题卡上将正确答案的字母代号涂黑.）
1．（3分）|﹣2022|的倒数是（　　）
A．2022 B． C．﹣2022 D．﹣
2．（3分）据国家和省市卫健委官方统计，自2022年5月以来，全球新型冠状病毒肺炎累计确诊病例已经高达5亿人，5亿用科学记数法可表示为（　　）
A．50×107 B．5×108 C．0.5×109 D．5×1011
3．（3分）如图，有一正方形花圃ABCD，其边长为8m．雯雯为了避开拐角走捷径（从点A到点D），直接从对角线AD上走出了一条“路”，却踩伤了花草，她实际上仅仅少走的路长为（　　）
A．（16﹣8）m B．（16﹣）m C．（16﹣4）m D．（8﹣8）m
4．（3分）若函数y＝（a﹣3）x2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴有且只有一个交点，那么a满足（　　）
A．a＝且a≠3 B．a＝
C．a＝3 D．a＝或 a＝3
5．（3分）下列等式中成立的是（　　）
A．2x3y3﹣（3xy）3＝﹣11x3y3
B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）
C．÷（﹣）＝﹣
D．÷（+1）＝
6．（3分）如图，两块大小不相同的含30°的直角三角板拼在一起，若AB＝3，CD＝2，则的值为（　　）
A．2 B． C． D．
7．（3分）如图，CD是⊙O的弦，直径AB⊥CD，垂足为G，CF是⊙O的直径．分别连接AC，BF交CD于点H．若点G为OB的中点，OA＝7，tan∠ACF＝，则GH的长为（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）已知抛物线y＝x2﹣8x+7与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为M．平移该抛物线，使点M平移后的对应点M′落在x轴上，点A平移后的对应点A′落在y轴上．则平移后的抛物线解析式为（　　）
A．y＝x2+6x+9 B．y＝x2+6x﹣9 C．y＝x2﹣6x+9 D．y＝x2﹣6x﹣9
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A为函数y＝（k＜0）图象上的一点，点B在y轴上，点C在x轴上，AB＝，OB＝OC．当Rt△ABC的面积为2时，k的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣
10．（3分）设O为坐标原点，点 A、B为抛物线y＝4x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点 A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值为（　　）
A． B． C． D．1
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.请将结果直接填写在答题卡对应的横线上.）
11．（3分）计算：|﹣2|++2cos60°﹣（π﹣2022）0＝　 　．
12．（3分）小亮近几次化学的测验成绩（满分50分）分别是：40分，36分，40分，45分，46分，48分，48分；小涵近几次化学的测验成绩分别是：44分，46分，42分，49分，48分，45分，46分；则S小亮2与S小涵2的大小关系是 　 　．
13．（3分）如图，在平行四边形 ABCD中，过点D作FD⊥OD于点D，连接OF交AD于点E，连接CE交OD于点M，若M，N恰为线段OD的三等分点，点E为线段OF，AD的中点，且点E到直线FD的距离为4，FD＝6，则的值为 　 　．
14．（3分）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BC＝3，则图中阴影部分的面积是 　 　．
15．（3分）如图，直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7…，是斜边在x轴上，斜边长分别为4，8，12，16，…的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（4，0），A2（2，2），A3（0，0），则依图中所示规律，A2022的坐标为 　 　．
16．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），且n＞0．下列结论：①ab＜0；②8a+c＜0；③4a+b＞0；④一元二次方程ax2+（b+2）x+c＝n+2x有两个相等的实数根．其中结论正确的是 　 　．（填序号）
三、解答题（本大题共8小题，共72分.请在答题卡对应的区域写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（8分）已知x+＝4，求下列各式的值：
（1）（x﹣）2；
（2）x4﹣．
18．（8分）一个不透明的口袋里有18个除颜色外形状大小都相同的球，其中有4个红球，6个黄球，8个绿球．
（1）若从中随意摸出一个球，求摸出绿球的概率；
（2）若从中随意摸出一个球是黄球的概率为，求袋子中需再加入几个黄球？
19．（8分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝8，BC＝x．连接对角线AC，BD交于点O．过点O作CD的平行线分别交AD，BC于点E，F，连接EC，∠EFC＝90°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）求tan∠AOE的值（用含x的式子表示）．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x12+x22＝5，求m的值．
21．（8分）如图是东宝塔，它是荆门市现存的唯一一处具有千年历史的地面文物．建于隋开皇十三年（公元593年），位于东宝山山顶．宝塔七层四面八角，隔面设窗，攒尖式塔顶，巍然独秀，直透苍穹．其集风水宝塔与纪念塔为一身，是东宝山风景区的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与钟祥龙山的文峰塔遥相呼应．某数学兴趣小组开展了测量“东宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：
方案设计：如图，宝塔EF垂直于地面，在地面上选取A处测得∠EAF的度数（点A，F在同一直线上）；接着在点A的正上方搭高度为5米的平台，在D处测得∠EDH的度数．
数据收集：通过实地测量：∠EAF＝43°，∠EDH＝36°．
问题解决：求宝塔EF的高度和地面A点与塔底F点之间的距离（结果精确到0.1m）．
（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AF是⊙O的直径，BC交AF的延长线于点F．过点D的切线交BC于点B，连接OB交⊙O于点M，使∠DBO＝∠CBO，BM＝1．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若CF＝2，sinC＝，试求cos∠DBO的值．
（3）连接AD，分别延长AC，BD交于点N．当△ABC为等腰直角三角形时是否存在△CBN∽△DAN？若存在，请直接写出它们面积的相似比；若不存在，请你用反证法尝试证明．
23．（10分）某公司电商平台，在2021年的“双11”晚会上举行了一场商品打折促销活动，经市场调研发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数．其售价x（元/件），周销售量y（件），周销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/件） 80 140 180
周销售量y（件） 360 180 60
周销售利润w（元） 7200 9000 4200
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该商品的进价a（元/件），当售价x为多少时，周销售利润w最大？并求出此时的最大利润；
（3）由于疫情影响，该商品的进价提高了m（元/件）（m＞0），物价部门规定该商品的售价不得超过110元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售的最大利润是9100元，求m的值．
24．（12分）已知抛物线y＝﹣x2+2（m﹣2）x+3与x轴交于A，B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求m的值及顶点D的坐标；
（2）如图1，连接BC，点E是直线BC上方抛物线上的点，连接OE，CE，OE交BC于点F，当＝时，求直线BE的解析式；
（3）如图2，动直线y＝﹣x+b交抛物线于点M，N，连接AM，AN分别交y轴的正半轴和负半轴于点P，Q，求证：OP﹣OQ为常数．
2022年湖北省荆门外国语学校中考数学模拟试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个是正确答案，请在答题卡上将正确答案的字母代号涂黑.）
1．（3分）|﹣2022|的倒数是（　　）
A．2022 B． C．﹣2022 D．﹣
【解答】解：|﹣2022|＝2022，
2022的倒数是．
故选：B．
2．（3分）据国家和省市卫健委官方统计，自2022年5月以来，全球新型冠状病毒肺炎累计确诊病例已经高达5亿人，5亿用科学记数法可表示为（　　）
A．50×107 B．5×108 C．0.5×109 D．5×1011
【解答】解：5亿＝500000000＝5×108．
故选：B．
3．（3分）如图，有一正方形花圃ABCD，其边长为8m．雯雯为了避开拐角走捷径（从点A到点D），直接从对角线AD上走出了一条“路”，却踩伤了花草，她实际上仅仅少走的路长为（　　）
A．（16﹣8）m B．（16﹣）m C．（16﹣4）m D．（8﹣8）m
【解答】解：由勾股定理得，AD＝＝＝8（m），
∴少走的路长为AB+BD﹣AD＝8+8﹣8＝16﹣8（m），
故选：A．
4．（3分）若函数y＝（a﹣3）x2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴有且只有一个交点，那么a满足（　　）
A．a＝且a≠3 B．a＝
C．a＝3 D．a＝或 a＝3
【解答】解：当a＝3时，y＝﹣x+1，
此时一次函数y＝﹣x+1与x轴只有一个公共点，
当a≠3时，
当y＝0时，（a﹣3）x2﹣x+1＝0，
当（﹣1）2﹣4（a﹣3）＝0时，二次函数与x轴只有一个交点，
∴a＝，
故选：D．
5．（3分）下列等式中成立的是（　　）
A．2x3y3﹣（3xy）3＝﹣11x3y3
B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）
C．÷（﹣）＝﹣
D．÷（+1）＝
【解答】解：2x3y3﹣（3xy）3＝2x3y3﹣27x3y3＝﹣25x3y3，故选项A错误，不符合题意；
a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），故选项B错误，不符合题意；
÷（﹣）＝，故选项C正确，符合题意；
÷（+1）＝÷＝ ＝，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
6．（3分）如图，两块大小不相同的含30°的直角三角板拼在一起，若AB＝3，CD＝2，则的值为（　　）
A．2 B． C． D．
【解答】解：延长DE交AB于F，
则四边形FBCD为矩形，
∴BF＝CD＝2，EF∥BC，
∴AF＝AB﹣BF＝3﹣2＝1，
∵EF∥BC，
∴＝＝，
故选：C．
7．（3分）如图，CD是⊙O的弦，直径AB⊥CD，垂足为G，CF是⊙O的直径．分别连接AC，BF交CD于点H．若点G为OB的中点，OA＝7，tan∠ACF＝，则GH的长为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵∠ACF＝∠ABF，tan∠ACF＝，
∴tan∠ABF＝，
∵OA＝7，
∴OB＝7，
∵点G为OB的中点，
∴BG＝，
∵直径AB⊥CD，
∴∠BGH＝90°，
在Rt△BGH中，tan∠ABF＝，
即，
解得GH＝．
故选：B．
8．（3分）已知抛物线y＝x2﹣8x+7与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为M．平移该抛物线，使点M平移后的对应点M′落在x轴上，点A平移后的对应点A′落在y轴上．则平移后的抛物线解析式为（　　）
A．y＝x2+6x+9 B．y＝x2+6x﹣9 C．y＝x2﹣6x+9 D．y＝x2﹣6x﹣9
【解答】解：∵y＝x2﹣8x+7＝（x﹣4）2﹣9，
∴M（4，﹣9），
当y＝0时，x2﹣8x+7＝0，
解得x1＝1，x2＝7，
∴A（1，0），
∵点M平移后的对应点M′落在x轴上，点A平移后的对应点A′落在y轴上．
∴M点要向上平移9个单位，点A要向左平移1个单位，
∴M（4，﹣9）向上平移9个单位，向左平移1个单位得到M′点的坐标为（3，0），
∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣3）2，
即y＝x2﹣6x+9．
故选：C．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A为函数y＝（k＜0）图象上的一点，点B在y轴上，点C在x轴上，AB＝，OB＝OC．当Rt△ABC的面积为2时，k的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣
【解答】解：如图，过点A作AM⊥y轴于M，
∵OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
又∵∠ABC＝90°，
∴∠ABM＝180°﹣90°﹣45°＝45°＝∠BAM，
∴AM＝BM，
∵AB＝，
∴AM＝BM＝AB＝1，
设OB＝OC＝x，由题意得，
S梯形ACOM＝S△ABM+S△BOC+S△ABC，
即（1+x）（1+x）＝×1×1+x2+2，
解得x＝2，
∴OM＝OB+BM＝2+1＝3，
∴点A（﹣1，3），
∵点A在反比例函数y＝（k＜0）图象上的一点，
∴k＝﹣1×3＝﹣3，
故选：B．
10．（3分）设O为坐标原点，点 A、B为抛物线y＝4x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点 A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值为（　　）
A． B． C． D．1
【解答】解：如图，分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，
设OE＝a，OF＝b，由抛物线解析式为y＝4x2，
则AE＝4a2，BF＝4b2，
作AH⊥BF于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，
设点D（0，m），
∵DG∥BH，
∴△ADG∽△ABH，
∴＝，即 ＝，
化简得：m＝4ab．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOE+∠BOF＝90°，
又∠AOE+∠EAO＝90°，
∴∠BOF＝∠EAO，
又∠AEO＝∠BFO＝90°，
∴△AEO∽△OFB，
∴＝，即＝，
化简得ab＝，
则m＝4ab＝，说明直线AB过定点D，D点坐标为（0，），
∵∠DCO＝90°，DO＝，
∴点C是在以DO为直径的圆上运动，
∴当点C到y轴距离为DO＝时，点C到y轴的距离最大，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.请将结果直接填写在答题卡对应的横线上.）
11．（3分）计算：|﹣2|++2cos60°﹣（π﹣2022）0＝　﹣　．
【解答】解：|﹣2|++2cos60°﹣（π﹣2022）0
＝2﹣+（﹣）+2×﹣1
＝2﹣﹣+1﹣1
＝﹣．
故答案为：﹣．
12．（3分）小亮近几次化学的测验成绩（满分50分）分别是：40分，36分，40分，45分，46分，48分，48分；小涵近几次化学的测验成绩分别是：44分，46分，42分，49分，48分，45分，46分；则S小亮2与S小涵2的大小关系是 　S小亮2＞S小涵2　．
【解答】解：小亮测验成绩的平均数为：（40+36+40+45+46+48+48）÷7＝，
∴S小亮2＝[（40﹣）2+（36﹣）2+（40﹣）2+（45﹣）2+（46﹣）2+（48﹣）2+（48﹣）2]≈18.4，
小涵测验成绩的平均数为：（44+46+42+49+48+45+46）÷7＝，
S小涵2＝[（44﹣）2+（46﹣）2+（42﹣）2+（49﹣）2+（48﹣）2+（45﹣）2+（46﹣）2]≈4.8，
∴S小亮2＞S小涵2．
故答案为：S小亮2＞S小涵2．
13．（3分）如图，在平行四边形 ABCD中，过点D作FD⊥OD于点D，连接OF交AD于点E，连接CE交OD于点M，若M，N恰为线段OD的三等分点，点E为线段OF，AD的中点，且点E到直线FD的距离为4，FD＝6，则的值为 　1　．
【解答】解：连接AN，EN．
∵M，N为线段OD的三等分点，
∴S△EMD＝2S△END，
∵E为线段AD的中点，
∴S△AND＝2S△END，
∴＝1．
故答案为：1．
14．（3分）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BC＝3，则图中阴影部分的面积是 　　．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴S△BOC＝S△AOC，∠AOC＝120°，
在△OBC中，OB＝OC，∠BOC＝120°，BC＝3，
∴OB＝OC＝，
∴S阴影＝S扇形AOC＝＝π，
故答案为：．
15．（3分）如图，直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7…，是斜边在x轴上，斜边长分别为4，8，12，16，…的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（4，0），A2（2，2），A3（0，0），则依图中所示规律，A2022的坐标为 　（2，2022）　．
【解答】解：∵各三角形都是等腰直角三角形，
∴直角顶点的纵坐标的长度为斜边的一半，
∵A2（2，2）是第1个等腰直角三角形的顶点，
A6（2，6）是第3个等腰直角三角形的顶点，
A10（2，10）是第5个等腰直角三角形的顶点，
A14（2，14）是第7个等腰直角三角形的顶点，
…，
∵2022＝1011×2，2022÷4＝505…2，
∴A2022是第1011个等腰直角三角形的顶点，
∴A2022在第一象限，横坐标为2，纵坐标为2022，
∴点A2020的坐标为（2，2022）．
故答案为：（2，2022）．
16．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），且n＞0．下列结论：①ab＜0；②8a+c＜0；③4a+b＞0；④一元二次方程ax2+（b+2）x+c＝n+2x有两个相等的实数根．其中结论正确的是 　①②④　．（填序号）
【解答】解：∵抛物线与x轴有交点，抛物线顶点（1，n）在x轴上方，
∴抛物线开口向下，即a＜0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴ab＜0，①正确．
∵抛物线经过（﹣1，0），抛物线对称轴为直线x＝1，
∴x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝8a+c＜0，②正确．
∵b＝﹣2a，
∴4a+b＝2a＜0，③错误．
由ax2+（b+2）x+c＝n+2x可得ax2+bx+c＝n，
∵抛物线y＝ax2+bx+c顶点为（1，n），
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n有1个交点，
∴方程ax2+（b+2）x+c＝n+2x有两个相等的实数根，④正确．
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题共8小题，共72分.请在答题卡对应的区域写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（8分）已知x+＝4，求下列各式的值：
（1）（x﹣）2；
（2）x4﹣．
【解答】解：（1）∵＝16，
∴＝16，
∴x2+＝14，
∴＝
＝14﹣2
＝12；
（2）∵＝12，
∴x﹣＝，
∵x4﹣＝（x2﹣）（x2+）
＝（x+）（x﹣）（x2+）
＝±112．
18．（8分）一个不透明的口袋里有18个除颜色外形状大小都相同的球，其中有4个红球，6个黄球，8个绿球．
（1）若从中随意摸出一个球，求摸出绿球的概率；
（2）若从中随意摸出一个球是黄球的概率为，求袋子中需再加入几个黄球？
【解答】解：（1）∵从中随意摸出一个球的所有可能的结果个数是18，
随意摸出一个球是绿球的结果个数是8，
∴从中随意摸出一个球，摸出红球的可能性是＝；
（2）设袋子中需再加入x个黄球．
依题意可列：＝，
解得x＝2，
经检验x＝2是原方程的解，
即袋子中需再加入2个黄球．
19．（8分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝8，BC＝x．连接对角线AC，BD交于点O．过点O作CD的平行线分别交AD，BC于点E，F，连接EC，∠EFC＝90°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）求tan∠AOE的值（用含x的式子表示）．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵EF∥CD，
∴AB∥EF，
∴∠ABC＝∠EFC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，BC＝x，
∴CO＝AO，
∵OF∥AB，
∴＝＝1，
∴CF＝BF＝BC＝x，
∴OF＝AB＝×8＝4，
∵∠OFC＝90°，
∴tan∠COF＝＝＝x，
∵∠COF＝∠AOE，
∴tan∠AOE＝x，
∴tan∠AOE的值为x．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x12+x22＝5，求m的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+3）2﹣4m
＝m2+6m+9﹣4m
＝m2+2m+9
＝（m+1）2+8，
∵（m+1）2≥0，
∴（m+1）2+8＞0，
∴此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x1+x2＝m+3，x1x2＝m，
x12+x22＝（x12+x22）2﹣2x1x2＝（m+3）2﹣2m＝5，
∴（m+2）2＝0，
∴m＝﹣2．
21．（8分）如图是东宝塔，它是荆门市现存的唯一一处具有千年历史的地面文物．建于隋开皇十三年（公元593年），位于东宝山山顶．宝塔七层四面八角，隔面设窗，攒尖式塔顶，巍然独秀，直透苍穹．其集风水宝塔与纪念塔为一身，是东宝山风景区的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与钟祥龙山的文峰塔遥相呼应．某数学兴趣小组开展了测量“东宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：
方案设计：如图，宝塔EF垂直于地面，在地面上选取A处测得∠EAF的度数（点A，F在同一直线上）；接着在点A的正上方搭高度为5米的平台，在D处测得∠EDH的度数．
数据收集：通过实地测量：∠EAF＝43°，∠EDH＝36°．
问题解决：求宝塔EF的高度和地面A点与塔底F点之间的距离（结果精确到0.1m）．
（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）．
【解答】解：∵tan∠EDH＝，
∴HD＝＝，
∵tan∠EAF＝＝＝，
∴AF＝，
∵DH＝AF，
∴＝，
∴＝，
∴EH≈18.25（m），
∴EF＝EH+HF＝18.25+5≈23.3（m），
∵HD＝＝≈25（m），
∴AF＝HD＝25（m）．
答：宝塔EF的高度约是23，3m，地面A点与塔底F点之间的距离约是25m．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AF是⊙O的直径，BC交AF的延长线于点F．过点D的切线交BC于点B，连接OB交⊙O于点M，使∠DBO＝∠CBO，BM＝1．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若CF＝2，sinC＝，试求cos∠DBO的值．
（3）连接AD，分别延长AC，BD交于点N．当△ABC为等腰直角三角形时是否存在△CBN∽△DAN？若存在，请直接写出它们面积的相似比；若不存在，请你用反证法尝试证明．
【解答】（1）证明：连接OD，过点O作OE⊥BC于点E，如图，
∵BD为⊙O的切线，
∴OD⊥BD，
∴∠ODB＝90°．
∵OE⊥BC，
∴∠OEB＝90°．
∴∠ODB＝∠OEB．
在△ODB和△OEB中，
，
∴△ODB≌△OEB（AAS），
∴OD＝OE．
即OE为⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△OEC中，
∴sinC＝，
∵sinC＝，
∴，
设OE＝2k，则OC＝5k，
∵OF＝OE＝2k，
∴CF＝OC﹣OF＝3k＝2，
∴k＝．
∴OE＝2k＝，
∴OM＝OE＝．
∴OB＝OM+MB＝1+＝．
∴BE＝＝．
∴cos∠EBO＝＝．
∵∠DBO＝∠CBO，
∴cos∠DBO＝cos∠CBO＝；
（3）解：当△ABC为等腰直角三角形时，不存在△CBN∽△DAN，理由：
用反证法：
假设△CBN∽△DAN，如图，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠C＝∠BAC＝45°，
∵CBN∽△DAN，
∴∠ADN＝∠C＝45°．
∵BD为⊙O的切线，
∴OD⊥BD，
∴∠ODN＝90°，
∴∠ODA＝90°﹣∠ADN＝45°．
∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA＝45°，
∴∠AOD＝90°，
∴OD⊥AC，
∵OD⊥BN，
∴AC∥BD，
这与BD与AC相交于点N矛盾，
∴假设不成立，
∴当△ABC为等腰直角三角形时，不存在△CBN∽△DAN．
23．（10分）某公司电商平台，在2021年的“双11”晚会上举行了一场商品打折促销活动，经市场调研发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数．其售价x（元/件），周销售量y（件），周销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/件） 80 140 180
周销售量y（件） 360 180 60
周销售利润w（元） 7200 9000 4200
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该商品的进价a（元/件），当售价x为多少时，周销售利润w最大？并求出此时的最大利润；
（3）由于疫情影响，该商品的进价提高了m（元/件）（m＞0），物价部门规定该商品的售价不得超过110元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售的最大利润是9100元，求m的值．
【解答】解：（1）依题意设y＝kx+b，
则有，
解得：，
所以y关于x的函数解析式为y＝﹣3x+600；
（2）由W＝（﹣3x+600）（x﹣a），又由表知，把x＝80，W＝7200，代入上式可得关系式
得：7200＝（﹣3×80+600）（80﹣a）
∴a＝60，
∴W＝（﹣3x+600）（x﹣60）＝﹣3x2+780x﹣36000＝﹣3（x﹣130）2+14700；
∴当售价是130元/件时，周销售利润的最大利润是14700元；
（3）根据题意得，w＝（x﹣60﹣m）（﹣3x+600）＝﹣3x2+（780+3m）x﹣36000﹣600m，x≤110，
∵﹣3＜0，对称轴x＝130+＞130，
∴抛物线的开口向下，
∵x≤110，
∴w随x的增大而增大，
当x＝110时，w最大＝9100
110代入w＝（x 60 m）（ 3x+600）最大利润等于9100，
即（50﹣m）×270＝9100，
m＝16
24．（12分）已知抛物线y＝﹣x2+2（m﹣2）x+3与x轴交于A，B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求m的值及顶点D的坐标；
（2）如图1，连接BC，点E是直线BC上方抛物线上的点，连接OE，CE，OE交BC于点F，当＝时，求直线BE的解析式；
（3）如图2，动直线y＝﹣x+b交抛物线于点M，N，连接AM，AN分别交y轴的正半轴和负半轴于点P，Q，求证：OP﹣OQ为常数．
【解答】（1）解：将B（3，0）代入y＝﹣x2+2（m﹣2）x+3，
∴﹣9+6（m﹣2）+3＝0，
解得m＝3，
∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4）；
（2）解：过点F作FG⊥x轴交于G点，过点E作EH⊥x轴交于点H，
∴FG∥EH，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设E（t，﹣t2+2t+3），则直线OE的解析式为y＝（﹣t+2+）x，
∴F（，），
∴＝，
解得t＝，
∴E（，），
设直线BE的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线BE的解析式为y＝﹣x+；
（3）证明：联立方程组，
整理得，x2﹣x+b﹣3＝0，
∴xM+xN＝，xM xN＝b﹣3，
令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得x＝3或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∴直线AM的解析式为y＝x+，直线AN的解析式为y＝x+，
∴P（0，），Q（0，），
∴OP＝，QO＝﹣，
∴OP﹣OQ＝+＝+＝＝，
∴OP﹣OQ为常数．

2022年湖北省荆门外国语学校中考数学模拟试卷（含答案）