2022-2023河南省周口市项城四中等五校八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年河南省周口市项城四中等五校八年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。
1．下列式子中，是不等式的是（　　）
A．0＜1 B．x﹣2 C．2x+3y＝﹣1 D．y2
2．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（　　）
A．AC＝AD B．AC＝BC C．∠ABC＝∠ABD D．AD＝BD
3．若a＜b，则下列不等式正确的是（　　）
A．a+2＞b+2 B．a﹣5＞b﹣5 C． D．﹣3a＞﹣3b
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC的中点，如果∠B＝50°，那么∠DAC的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
5．如图，数轴上表示的不等式的解集是（　　）
A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≥﹣1 D．x≤﹣1
6．下列命题的逆命题是真命题的是 （　　）
A．若a＞0，b＞0，则ab＞0
B．三边长为3，4，5的三角形为直角三角形
C．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
D．若a＝b，则|a|＝|b|
7．如图，为促进某地旅游业的发展，当地旅游部门要在三条公路AB，AC，BC两两相交后围成的三角形区域内修建一个度假村，若这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应建在（　　）
A．三边的垂直平分线的交点上
B．三条角平分线的交点上
C．三条高线的交点上
D．三边中线的交点上
8．某经销商销售一批电话手表，第一个月以600元/块的价格售出60块，第二个月降价处理，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，这两个月的销售总额不少于86000元．则这批电话手表的总数量x（块）应满足的不等式为（　　）
A．600×60+500x≥86000
B．600×60+500x≤86000
C．600×60+500（x﹣60）≥86000
D．600×60+500（x﹣60）≤86000
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4，点P，D分别为BC，AB上的动点，则AP+DP的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．
10．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线DN与∠CAM的平分线AD相交于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥AM于点F，则有下列结论：①BF＝CE；②BF+AE＝AC；③∠BDC+∠CAM＝180°；④∠BAC＝90°．其中正确结论的个数有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．请写出一个解集为a＜﹣1的不等式　 　．
12．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是钝角”时，应先假设一个三角形中 　 　．
13．不等式x＜3的正整数解有 　 　个．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，边AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接AD．若BD＝6，则AC＝　 　．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝5，D是BC的中点，E是AC上一动点，将△CDE沿DE折叠到△C'DE，连接AC′，当△AEC′是直角三角形时，CE的长为 　 　．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）5x＞4x﹣1；
（2）﹣x﹣2＜7．
17．如图，点D，E在线段BC上，BD＝CE，∠B＝∠C，∠ADB＝120°，求证：△ADE为等边三角形．
18．请在△ABC内部找一点P，使点P到AC，BC的距离相等，且PA＝PC．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
19．对于任意实数a，b，定义关于“ ”的一种运算规则如下：a b＝a﹣2b．例如：5 2＝5﹣2×2＝1．若x 3的值不小于﹣5，求x的取值范围，并在数轴上表示出来．
20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE＝DF．
求证：（1）△BDE≌△CDF；
（2）AD⊥BC．
21．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若AB＝5，则△CMN的周长为 　 　；
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．
22．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F．直接写出线段EF与BE，CF之间的数量关系：　 　．
（2）如图2，若△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于点O，过O点作OE∥BC交AB于点E，交AC于点F．则EF与BE，CF之间的数量关系又如何？说明你的理由．
23．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P，Q是△ABC边上的两个动点．其中点P从点A出发，沿A→B方向运动，速度为每秒1cm；点Q从点B出发，沿B→C→A方向运动，速度为每秒2cm；两点同时开始运动，设运动时间为t秒．
（1）①Rt△ABC斜边AC上的高为 　 　cm；
②当t＝4时，PQ的长为 　 　cm．
（2）当点Q在BC边上运动时，出发几秒钟后，△PQB是等腰三角形？
（3）当点Q在CA边上运动时，直接写出所有能使△BCQ成为等腰三角形的t的值．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。
1．下列式子中，是不等式的是（　　）
A．0＜1 B．x﹣2 C．2x+3y＝﹣1 D．y2
【分析】根据不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式可得答案．
解：A、0＜1属于不等式，故本选项符合题意；
B、x﹣2是多项式，不属于不等式，故本选项不合题意；
C、2x+3y＝﹣1是方程，不属于不等式，故本选项不合题意；
D、y2是单项式，不属于不等式，故本选项不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的定义，能熟记不等式的定义的内容是解此题的关键，注意：不等号有：＞，＜，≤，≥，≠．
2．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（　　）
A．AC＝AD B．AC＝BC C．∠ABC＝∠ABD D．AD＝BD
【分析】根据直角三角形全等的判定方法HL即可确定答案．
解：添加AC＝AD，理由如下：
∵∠C＝∠D＝90°，
在Rt△ADB和Rt△ACB中，
，
∴Rt△ADB≌Rt△ACB（HL），
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形的全等的判定，熟练掌握HL是解题的关键．
3．若a＜b，则下列不等式正确的是（　　）
A．a+2＞b+2 B．a﹣5＞b﹣5 C． D．﹣3a＞﹣3b
【分析】根据不等式的性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，分别判断即可．
解：∵a＜b，
∴a+2＜b+2，
故A不符合题意；
∵a＜b，
∴a﹣5＜b﹣5，
故B不符合题意；
∵a＜b，
∴，
故C不符合题意；
∵a＜b，
∴﹣3a＞﹣3b，
故D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC的中点，如果∠B＝50°，那么∠DAC的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据等腰三角形的性质可得到AD是顶角的角平分线，再根据三角形内角和定理不难求得顶角的度数，最后根据角平分线的定义即可求解．
解：∵AB＝AC，D是BC中点，
∴AD是∠BAC的角平分线，
∵∠B＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣50°×2＝80°，
∴∠DAC＝∠BAC＝40°．
故选：B．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
5．如图，数轴上表示的不等式的解集是（　　）
A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≥﹣1 D．x≤﹣1
【分析】本题先观察数轴表示的不等式的解集，再看选项是否与题意相符．若是，则该选项为正确的答案．
解：依题意得：数轴表示的解集是：x≥﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查的是数轴与不等式的结合．明确在数轴上实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左是解题的关键．
6．下列命题的逆命题是真命题的是 （　　）
A．若a＞0，b＞0，则ab＞0
B．三边长为3，4，5的三角形为直角三角形
C．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
D．若a＝b，则|a|＝|b|
【分析】根据有理数的乘法法则、勾股定理、角平分线的性质、绝对值的性质判断即可．
解：A、若a＞0，b＞0，则ab＞0的逆命题是若ab＞0，则a＞0，b＞0，是假命题，不符合题意；
B、三边长为3，4，5的三角形为直角三角形的逆命题是直角三角形的三边长为3，4，5，是假命题，不符合题意；
C、在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上的逆命题是角的平分线上的点到角的两边距离相等，是真命题，符合题意；
D、若a＝b，则|a|＝|b|的逆命题是若|a|＝|b|，则a＝b，是假命题，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7．如图，为促进某地旅游业的发展，当地旅游部门要在三条公路AB，AC，BC两两相交后围成的三角形区域内修建一个度假村，若这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应建在（　　）
A．三边的垂直平分线的交点上
B．三条角平分线的交点上
C．三条高线的交点上
D．三边中线的交点上
【分析】根据角平分线的性质进行判断．
解：∵这个度假村到三条公路的距离相等，
∴度假村应建在三条角平分线的交点上．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
8．某经销商销售一批电话手表，第一个月以600元/块的价格售出60块，第二个月降价处理，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，这两个月的销售总额不少于86000元．则这批电话手表的总数量x（块）应满足的不等式为（　　）
A．600×60+500x≥86000
B．600×60+500x≤86000
C．600×60+500（x﹣60）≥86000
D．600×60+500（x﹣60）≤86000
【分析】设这批电话手表有x块，则降价后售出（x﹣60）块，利用销售总额＝销售单价×销售数量，结合销售总额超过了86000万元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
解：设这批电话手表有x块，则降价后售出（x﹣60）块，
依题意得：600×60+500（x﹣60）≥86000，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确的列出不等式是解题的关键．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4，点P，D分别为BC，AB上的动点，则AP+DP的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．
【分析】作A关于BC的对称点A'，连接A′B，A′D，则A′D的长度就是AP+DP的最小值，AP＝A′P，AB＝A′B，由已知求得∠A＝60°，得到△AA'B为等边三角形，则A′D＝BC＝4．
解：作A关于BC的对称点A'，连接A′D，
则A′D的长度就是AP+DP的最小值，
连接A′B，
∵BC⊥AA′，AC＝A′C，
∴AB＝A′B，AP＝A′P，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠A＝60°，
∴△AA'B为等边三角形，
∴A′D＝BC＝4，
∴AP+DP＝A'P+PD＝A′D＝4，
∴AP+DP的最小值是4，
故选：C．
【点评】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质和判定，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
10．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线DN与∠CAM的平分线AD相交于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥AM于点F，则有下列结论：①BF＝CE；②BF+AE＝AC；③∠BDC+∠CAM＝180°；④∠BAC＝90°．其中正确结论的个数有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】利用HL证明Rt△BDF≌Rt△CDE，可判断①正确；根据全等三角形的性质，可判断②正确；利用角度的计算可对③进行判断；由于∠BAC的度数不能确定，则可对④进行判断．
解：∵BC的垂直平分线过点D，
∴BD＝CD，
∵AD平分∠CAM，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DF＝DE，∠DFB＝∠DEC＝90°，
在Rt△BDF和Rt△CDE中，
，
∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），
∴BF＝CE，
故①正确，符合题意；
∵BF＝CE，AC＝AE+CE，
∴BF+AE＝AC，
故②正确，符合题意；
∵Rt△BDF≌Rt△CDE，
∴∠CDE＝∠BDF，
∵∠CAM+∠EDF＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠CAM+∠BDF+∠BDE＝180°，
即∠CAM+∠CDE+∠BDE＝180°，
∴∠BDC+∠CAM＝180°，
故③正确，符合题意；
∵∠BAC的度数不能确定，
∴④不正确，不符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，证明Rt△BDF≌Rt△CDE（HL）是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．请写出一个解集为a＜﹣1的不等式　a+1＜0（答案不唯一）　．
【分析】直接利用不等式的解集写出一个符合题意不等式即可．
解：由题意可得：a+1＜0（答案不唯一）．
故答案为：a+1＜0（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了不等式的解集，正确掌握不等式解法是解题关键．
12．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是钝角”时，应先假设一个三角形中 　有两个角是钝角　．
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
解：用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是钝角”，
应先假设这个三角形有两个角是钝角，
故答案为：有两个角是钝角．
【点评】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
13．不等式x＜3的正整数解有 　2　个．
【分析】从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可．
解：不等式x＜3的正整数解为1，2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，边AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接AD．若BD＝6，则AC＝　3　．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BD＝AD，根据等边对等角可得∠B＝∠BAD＝15°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ADC＝30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC＝AD．
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴BD＝AD＝6，
∴∠B＝∠BAD＝15°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝30°，
又∵∠C＝90°，
∴AC＝AD＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝5，D是BC的中点，E是AC上一动点，将△CDE沿DE折叠到△C'DE，连接AC′，当△AEC′是直角三角形时，CE的长为 　或　．
【分析】两种情形：如图1，当∠EC′A＝90°时，如图2，当∠AEC′＝90°时，由直角三角形的性质分别求解即可．
解：如图1，当∠EC′A＝90°时，
∵∠C＝∠DC′E＝90°，
∴∠DC′E+∠EC′A＝180°，
∴D，C′，A共线，
∵CD＝DB＝，AC＝6，
∴AD＝＝＝，
设CE＝EC′＝x，则AE＝6﹣x，
在Rt△AEC′中，则有（6﹣x）2＝x2+（﹣）2，
解得x＝，
∴CE＝．
如图2，当∠AEC′＝90°时，∠CED＝∠DEC′＝45°，
∵∠C＝90°，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴CD＝CE＝，
综上所述，满足条件的CE的值为或．
故答案为：或．
【点评】本题考查翻折变换（折叠问题），解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）5x＞4x﹣1；
（2）﹣x﹣2＜7．
【分析】（1）根据不等式的性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，求解即可；
（2）根据不等式的性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，求解即可．
解：（1）两边同时减去4x，
得5x﹣4x＞4x﹣1﹣4x，
即x＞﹣1；
（2）两边同时加上2，
得﹣x＜9，
两边同时乘﹣1，
得x＞﹣9．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
17．如图，点D，E在线段BC上，BD＝CE，∠B＝∠C，∠ADB＝120°，求证：△ADE为等边三角形．
【分析】根据SAS证明△ABD≌△ACE，可得AD＝AE，所以△ADE为等腰三角形．再根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形即可证明结论．
【解答】证明：∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，
∴△ADE为等腰三角形．
∵∠ADB＝120°，
∴∠ADE＝180°﹣120°＝60°，
∴△ADE为等边三角形．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
18．请在△ABC内部找一点P，使点P到AC，BC的距离相等，且PA＝PC．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【分析】作∠ACB的平分线和线段AC的垂直平分线的交点即可．
解：如下图：点P即为所求．
【点评】本题考查了复杂作图，掌握角平分线和线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
19．对于任意实数a，b，定义关于“ ”的一种运算规则如下：a b＝a﹣2b．例如：5 2＝5﹣2×2＝1．若x 3的值不小于﹣5，求x的取值范围，并在数轴上表示出来．
【分析】利用新定义的规定得到关于x的不等式，解不等式即可得出结论．
解：∵x 3的值不小于﹣5，
∴x﹣6≥﹣5，
解得：x≥1．
不等式的解集在数轴上表示为：
．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的解法，一元一次不等式的解法，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE＝DF．
求证：（1）△BDE≌△CDF；
（2）AD⊥BC．
【分析】（1）根据中点的定义得到BD＝CD，利用HL证明Rt△BDE≌Rt△CDF；
（2）根据全等三角形的性质得到∠B＝∠C，则AB＝AC，根据等腰三角形的性质即可得解．
【解答】证明：（1）∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）；
（2）∵Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∵AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用Rt△BDE≌Rt△CDF是解题的关键．
21．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若AB＝5，则△CMN的周长为 　5　；
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到MA＝MC，NB＝NC，再根据三角形的周长公式计算即可；
（2）根据三角形内角和定理求出∠FMN+∠FNM，根据对顶角相等求出∠AMD+∠BNE，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠MCA，∠B＝∠NCB，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
解：（1）∵DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，
∴MA＝MC，NB＝NC，
∴△CMN的周长＝MC+MN+NC＝MA+MN+NB＝AB，
∵AB＝5，
∴△CMN的周长＝5，
故答案为：5；
（2）∵∠MFN＝70°，
∴∠FMN+∠FNM＝180°﹣∠MFN＝110°，
∴∠AMD+∠BNE＝∠FMN+∠FNM＝110°，
∴∠A+∠B＝180°﹣（∠AMD+∠BNE）＝70°，
∵MA＝MC，NB＝NC，
∴∠A＝∠MCA，∠B＝∠NCB，
∴∠MCN＝180°﹣（∠A+∠B+∠MCA+∠NCB）＝40°．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
22．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F．直接写出线段EF与BE，CF之间的数量关系：　EF＝BE+CF　．
（2）如图2，若△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于点O，过O点作OE∥BC交AB于点E，交AC于点F．则EF与BE，CF之间的数量关系又如何？说明你的理由．
【分析】（1）利用角平分线与平行线证明△BEO和△CFO是等腰三角形即可；
（2）利用角平分线与平行线证明△BEO和△CFO是等腰三角形即可．
解：（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，
∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，
∴EB＝EO，FC＝FO，
∵EF＝EO+FO，
∴EF＝EB+FC，
故答案为：EF＝EB+FC；
（2）EF＝BE﹣CF，
理由是：∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠OBC，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，
∴∠EBO＝∠EOB，
∴EB＝EO，
同理可得：FO＝CF，
∵EF＝EO﹣FO，
∴EF＝BE﹣CF．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，结合图形找到角与边的关系是解题的关键．
23．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P，Q是△ABC边上的两个动点．其中点P从点A出发，沿A→B方向运动，速度为每秒1cm；点Q从点B出发，沿B→C→A方向运动，速度为每秒2cm；两点同时开始运动，设运动时间为t秒．
（1）①Rt△ABC斜边AC上的高为 　　cm；
②当t＝4时，PQ的长为 　4　cm．
（2）当点Q在BC边上运动时，出发几秒钟后，△PQB是等腰三角形？
（3）当点Q在CA边上运动时，直接写出所有能使△BCQ成为等腰三角形的t的值．
【分析】（1）①设Rt△ABC斜边AC上的高为hcm，由∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，根据勾股定理求得AC＝20cm，则×20h＝×16×12＝S△ABC，求出h的值即得到问题的答案；
②当t＝4时，点Q在BC边上，BQ＝2tcm，可求得BP＝12cm，BQ＝8cm，则PQ＝＝4cm，于是得到问题的答案；
（2）由∠B＝90°，△PQB是等腰三角形，得BQ＝BP，则2t＝16﹣t，解方程求出t的值即可；
（3）由点Q在边BC上运动，得CQ＝（2t﹣12）cm，再分三角情况讨论，一是BQ＝CQ，则∠QBC＝∠C，由等角的余角相等得∠QBA＝∠A，则BQ＝AQ，所以CQ＝AQ＝10cm，则2t﹣12＝10；二是CQ＝BC＝12cm，则2t﹣12＝12；三是BQ＝BC，作BD⊥AC于点D，则CD＝QD，BD＝cm，所以CD＝＝cm，CQ＝2CD＝cm，则2t﹣12＝，解方程求出相应的t值即可．
解：（1）①设Rt△ABC斜边AC上的高为hcm，
∵∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，
∴AC＝＝＝20（cm），
∵AC h＝AB BC＝S△ABC，
∴×20h＝×16×12，
解得h＝，
故答案为：．
②如图1，∵点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒2cm，
∴AP＝tcm，
∴BP＝（16﹣t）cm，
当t＝4时，点Q在BC边上，BQ＝2tcm，
∴BP＝16﹣4＝12（cm），BQ＝2×4＝8（cm），
∴PQ＝＝＝4（cm），
故答案为：4．
（2）如图2，∵点Q在边BC上运动，
∴BQ＝2tcm，BP＝（16﹣t）cm，
∵△PQB是等腰三角形，且BQ＜PQ，BP＜PQ，
∴BQ＝BP，
∴2t＝16﹣t，
解得t＝，
∴出发秒后，△PQB是等腰三角形．
（3）∵点Q在边CA上运动，
∴CQ＝（2t﹣12）cm，
当△BCQ为等腰三角形，且BQ＝CQ时，如图3，则∠QBC＝∠C，
∵∠QBA+∠QBC＝90°，∠A+∠C＝90°，
∴∠QBA＝∠A，
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝AB＝×20＝10（cm），
∴2t﹣12＝10，
解得t＝11；
当△BCQ为等腰三角形，且CQ＝BC＝12cm时，如图4，
∴2t﹣12＝12，
解得t＝12；
当△BCQ为等腰三角形，且BQ＝BC时，如图5，作BD⊥AC于点D，则CD＝QD，
由（1）得BD＝cm，
∵∠BDC＝90°，
∴CD＝＝＝（cm），
∴CQ＝2CD＝2×＝（cm），
∴2t﹣12＝，
解得t＝，
综上所述，能使△BCQ成为等腰三角形的t的值为11或12或．
【点评】此题重点考查等腰三角形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度、勾股定理、等角的余角相等、动点问题的求解、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．

2022-2023河南省周口市项城四中等五校八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）