2023年河南省驻马店二十中中考数学模考试卷(含解析)

2023年河南省驻马店二十中中考数学模考试卷
一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.）
1．的相反数是（　　）
A． B．±2 C．2 D．
2．如图所示是正方体的一种展开图，那么在原正方体中与“爱”字所在面相对的面上的汉
字是（　　）
A．大 B．美 C．河 D．南
3．如图所示，点O在直线CD上，已知∠AOC＝125°，AO⊥BO，则∠BOD的度数为（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
4．下列运算正确的是（　　）
A．3a﹣a＝2 B．（a2）3＝a5
C． D．（a+1）2＝a2+1
5．如图所示，在菱形ABCD中，若AB＝5，AC＝6，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．20 B．24 C．26 D．32
6．若关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣1且k≠0 B．k＞﹣1 C．k＜﹣1 D．k＜1且k≠0
7．某校践行“五育并举”，期末时李梅的五育得分如表所示，则该组数据的众数为（　　）
项目 德 智 体 美 劳
得分 10 8 7 9 8
A．8 B．7.8 C．9 D．8.4
8．已知一个水分子的直径约为4×10﹣10米，某花粉的直径约为5×10﹣4米，用科学记数法表示这种花粉的直径是一个水分子直径的（　　）
A．8×10﹣7倍 B．1.25×106倍 C．8×10﹣6倍 D．1.25×107倍
9．如图所示，矩形ABOC的顶点O（0，0），A（﹣2，2），对角线交点为P，若矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第74次旋转后点P的落点坐标为（　　）
A． B．（2，0） C． D．
10．如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　）
A．水温从20℃加热到100℃，需要4min
B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是
C．上午10点接通电源，可以保证当天10：30能喝到不低于38℃的水
D．在一个加热周期内水温不低于40℃的时间为7min
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若y是x的一次函数且过（1，0），请你写出一个符合条件的函数解析式 　 　．
12．不等式组的解集为 　 　．
13．有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有4种车标，将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面上的图形都是中心对称图形的概率是 　 　．
14．如图1所示，半圆O的直径AB长度为4，半径OC⊥AB，沿OC将半圆剪开得到两个圆心角为90°的扇形．将左侧扇形向右平移至图2位置，则所得图形中重叠部分的面积为 　 　．
15．如图所示，腰长为2的等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，P为腰AB上的一个动点，将△PBC沿CP折叠得对应△PDC，当PD与△ABC的某一条边垂直时，PD的长为 　 　．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（1）计算：；
（2）化简：．
17．为提高学生的审美鉴赏能力与汉字书写素养，某校组织全校学生进行了一场名为“翰墨飘香”的书法比赛，评分结束后，抽取了40名学生的成绩（满分100，80分以上为优秀）进行统计，绘制了如图所示尚不完整的统计图表．
40名学生书法比赛成绩频数表：
组别 频数 频率
A组（60～70） 12 0.3
B组（70～80） a 0.15
C组（80～90） 10 b
D组（90～100） 12 0.3
请结合图表解决下列问题：
（1）频数表中，a＝　 　，b＝　 　．
（2）请将频数分布直方图补充完整；
（3）抽取的40名学生成绩的中位数落在的组别是 　 　组；
（4）若有520名学生参加本次书法比赛，请估计成绩“优秀”的学生人数．
18．如图所示，直线y＝﹣x﹣1与坐标轴交于A、B两点，在x轴上取点C使得AO＝AC，过点C作CD⊥CO交直线AB于点P，反比例函数与直线CD交于点D，已知PD＝2PC．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）用无刻度直尺和圆规作线段PD的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）判断点E是否在垂直平分线上，并说明理由．
19．文峰塔位于河南省安阳市古城内西北隅，因塔建于天宁寺内，又名天宁寺塔；文峰塔建于五代后周广顺二年，已有一千余年历史，风格独特，具有上大下小的特点．由下往上一层大于一层，逐渐宽敞，是伞状形式，这种平台、莲座、辽式塔身、藏式塔刹的形制世所罕见．
活动课上，数学社团的学生计划测量文峰塔的高度．如图所示，先在点C处用高1.6m的测角仪CD测得塔尖A的仰角为37°，向塔的方向前进5m到达F处，在F处测得塔尖A的仰角为45°，请你相关数据求出文峰塔AB的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin37°≈≈1.41．）
20．某校计划为体育社团购买乒乓球拍和羽毛球拍．已知每副乒乓球拍比羽毛球拍贵8元；且知用160元购买的乒乓球拍比羽毛球拍数量少1副．
（1）求每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的单价；
（2）学校准备采购两种类型的球拍共30副，且乒乓球拍的数量不少于羽毛球拍数量的2倍，请你设计出最省钱的购买方案．
21．如图1所示是某即将通行的双向隧道的横断面．经测量，两侧墙AB和CD与路面AC垂直，隧道内侧宽AC＝8米．工程人员在路面AC上取点E，测量点E到墙面AB的距离AE，点E到隧道顶面的距离EF．设AE＝x米，EF＝y米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如表：
x/米 0 2 4 6 8
y/米 2.5 4.75 5.5 4.75 2.5
若以点A为坐标原点，AC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求出隧道顶部所在抛物线的解析式．
22．如图1所示，石碾【niǎn】是我国古代劳动人民发明的一种用石头和木材等制作的使谷物等破碎或去皮用的工具，由碾盘（碾台）、碾砣（碾磙子、碾碌碡）、碾框、碾管芯、碾棍孔、碾棍等组成．如图2所示为从石碾抽象出来的几何模型，BD是⊙O的直径，点C在BD的延长线上，BE平分∠ABC交⊙O于点E，BA⊥CE于点A．
（1）求证：直线AC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，AB＝6，求线段CE的长．
23．在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为射线CA上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB、DC．
（1）如图1所示，当α＝60°时，PA与DC的数量关系为 　 　；直线PA与DC的夹角为 　 　；
（2）如图2所示，当α＝120°时，请问（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
（3）当α＝90°时，若，请直接写出线段AD的长．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.）
1．的相反数是（　　）
A． B．±2 C．2 D．
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
解：的相反数是﹣．
故选：D．
【点评】本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
2．如图所示是正方体的一种展开图，那么在原正方体中与“爱”字所在面相对的面上的汉
字是（　　）
A．大 B．美 C．河 D．南
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“Z”字两端是对面，即可解答，
解：在原正方体中与“爱”字所在面相对的面上的汉字是南，
故选：D．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
3．如图所示，点O在直线CD上，已知∠AOC＝125°，AO⊥BO，则∠BOD的度数为（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【分析】由邻补角的性质求出∠AOD的度数，由垂直的定义即可求出∠BOD的度数．
解：∵∠AOC＝125°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝55°，
∵AO⊥BO，
∴∠AOB＝90°，
∴∠BOD＝90°﹣∠AOD＝35°．
故选：C．
【点评】本题考查垂线，求角的度数，关键是掌握垂直的定义，邻补角的性质．
4．下列运算正确的是（　　）
A．3a﹣a＝2 B．（a2）3＝a5
C． D．（a+1）2＝a2+1
【分析】根据合并同类项、幂的乘方、二次根式的加减法则和完全平方公式，计算即可．
解：A、3a﹣a＝2a，故原运算错误，不符合题意；
B、（a2）3＝a6，故该运算错误，不符合题意；
C、2﹣＝，故原运算正确，符合题意；
D、（a+1）2＝a2+2a+1，故原运算错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项、幂的乘方、二次根式的加减法则和完全平方公式，解本题的关键在熟练掌握相关的运算法则．
5．如图所示，在菱形ABCD中，若AB＝5，AC＝6，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．20 B．24 C．26 D．32
【分析】由菱形的性质得OA＝OC＝AC，OB＝BD＝3，AC⊥BD，由勾股定理求出OA＝4，则AC＝2OA＝8，由菱形面积公式即可得出答案．
解：连接BD交AC于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝BD＝3，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∴OA＝＝＝4，
∴AC＝2OA＝8，
∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×8×6＝24，
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式等知识；熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
6．若关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣1且k≠0 B．k＞﹣1 C．k＜﹣1 D．k＜1且k≠0
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
解：根据题意得k≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，
所以k＞﹣1且k≠0．
故选：A．
【点评】本题考查了判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．某校践行“五育并举”，期末时李梅的五育得分如表所示，则该组数据的众数为（　　）
项目 德 智 体 美 劳
得分 10 8 7 9 8
A．8 B．7.8 C．9 D．8.4
【分析】根据众数的定义可得答案．
解：由表中数据知，8出现2次，次数最多，
所以该组数据的众数为8，
故选：A．
【点评】本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
8．已知一个水分子的直径约为4×10﹣10米，某花粉的直径约为5×10﹣4米，用科学记数法表示这种花粉的直径是一个水分子直径的（　　）
A．8×10﹣7倍 B．1.25×106倍 C．8×10﹣6倍 D．1.25×107倍
【分析】科学记数法的表现形式为±a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数．
解：（5×10﹣4）÷（4×10﹣10）＝1.25×106，
故选：B．
【点评】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为±a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值．
9．如图所示，矩形ABOC的顶点O（0，0），A（﹣2，2），对角线交点为P，若矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第74次旋转后点P的落点坐标为（　　）
A． B．（2，0） C． D．
【分析】由矩形的性质可得OP＝AP，由中点坐标公式可求点P坐标，由旋转的规律确定第74次旋转后点P的位置，即可求解．
解：∵四边形ABOC是矩形，
∴OP＝AP，
∵点O（0，0），A（﹣2，2），
∴点P（﹣，1），
∵矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，
∴每4次回到起始位置，
∵74÷4＝18 2，
∴第74次旋转后点P的落点在第四象限，且与点P关于原点成中心对称，
∴第74次旋转后点P的落点坐标为（﹣，1），
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，坐标与图形变化，找出旋转的规律是解题的关键．
10．如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　）
A．水温从20℃加热到100℃，需要4min
B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是
C．上午10点接通电源，可以保证当天10：30能喝到不低于38℃的水
D．在一个加热周期内水温不低于40℃的时间为7min
【分析】根据水温升高的速度，即可求出水温从20℃加热到100℃所需的时间；设水温下降过程中，y与x的函数关系式为，根据待定系数法即可求解；先求出当水温下降到20摄氏度所需时间为20min，即一个循环为20min，30﹣20＝10，将x＝10代入反比例函数解析式中求出此时水温即可判断；分别求出在加热过程和降温过程中水温为40摄氏度时的时间，再相减即可判断．
解：∵开机加热时每分钟上升20℃，
∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为（min），故A选项正确，不符合题意；
设水温下降过程中，y与x的函数关系式为，
由题意得，点（4，100）在反比例函数的图象上，
∴，
解得：k＝400，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项正确，不符合题意；
令y＝20，则，
∴x＝20，
∴从开机加热到水温降至20℃需要20min，即一个循环为20min，
水温y（℃）与通电时间x（min）的函数关系式为，
上午10点到10：30共30分钟，30﹣20＝10，
∴当x＝10时，y＝＝40，
即此时的水温为40℃＞38℃，故C选项正确，不符合题意；
在加热过程中，水温为40℃时，20x+20＝40，
解得：x＝1，
在降温过程中，水温为40℃时，，
解得：x＝10，
∵10﹣1＝9，
∴一个加热周期内水温不低于40℃的时间为9min，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析数，解题关键在于读懂图象，灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若y是x的一次函数且过（1，0），请你写出一个符合条件的函数解析式 　y＝x﹣1（答案不唯一）　．
【分析】设y＝x+b．根据一次函数的图象经过点（1，0），求得b的值即可．
解：设该一次函数的解析式为y＝x+b，
∵图象经过点（1，0），
∴1+b＝0，
∴b＝﹣1，
∴y＝x﹣1．
故答案为：y＝x﹣1（答案不唯一）．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是关键．
12．不等式组的解集为 　﹣2＜x≤1　．
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出即可．
解：∵解不等式2x+1≤3得：x≤1，
解不等式2+x＞0得：x＞﹣2，
∴不等式组的解集是﹣2＜x≤1，
故答案为：﹣2＜x≤1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．
13．有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有4种车标，将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面上的图形都是中心对称图形的概率是 　　．
【分析】观察图片，只有第一个，第三个图形是中心对称图形，一共有4中情况，运用概率公式求解即可．
解：一共有4种情况，是中心对称图形的有2种情况，
所抽取的卡片正面上的图形都是中心对称图形的概率是＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了中心对称图形，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．如图1所示，半圆O的直径AB长度为4，半径OC⊥AB，沿OC将半圆剪开得到两个圆心角为90°的扇形．将左侧扇形向右平移至图2位置，则所得图形中重叠部分的面积为 　π﹣　．
【分析】连接OE，作ED⊥OB于点D，S扇形﹣S△ODE，即可求得弧BE和BD以及DE围成的阴影部分的面积，则阴影部分的面积即可求得．
解：连接OE，作ED⊥OB于点D．
∵OE＝OB＝2OD，
∴∠OED＝30°，
∴∠EOB＝60°，
∴S扇形＝＝π，
在直角△ODE中，DE＝＝，则S△ODE＝×1×＝，
则弧BE和BD以及DE围成的阴影部分的面积是：π﹣，
则S阴影＝2（π﹣）＝π﹣．
故答案是：π﹣．
【点评】本题考查了扇形的面积的计算，正确理解不规则的图形的面积转化为规则图形的面积的和、差计算，是关键．
15．如图所示，腰长为2的等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，P为腰AB上的一个动点，将△PBC沿CP折叠得对应△PDC，当PD与△ABC的某一条边垂直时，PD的长为 　2或　．
【分析】可分三种情况讨论：①当DP⊥AC时，根据等腰直角三角形的性质和折叠性质即可得出PD的长；②当DP的延长线垂直于BC时，设垂足为E，此时D、A、C三点共线，根据折叠的性质的∠B＝∠D＝45°，∠PCB＝∠ACP，进而得到△ADP，△PBE为等腰直角三角形，根据角平分线的性质得AP＝PE，设PE＝BE＝x，则BP＝，AP＝AB﹣PB＝，以此列出方程，求解即可；③当DP⊥AB时，此种情况不成立．
解：①当DP⊥AC时，如图，
此时点A与点P重合，
∵△ABC为腰长为2的等腰直角三角形，
∴AB＝AC＝2，
∵将△PBC沿CP折叠得对应△PDC，
∴PD＝AB＝2；
②当DP的延长线垂直于BC时，设垂足为E，如图，
此时D、A、C三点共线，
∵腰长为2的等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
∴∠B＝45°，AB＝AC＝2，∠DAP＝90°，
根据折叠的性质可知，∠B＝∠D＝45°，∠PCB＝∠ACP，
∴△ADP为等腰直角直角三角形，AD＝AP，
∵DE⊥BC，
∴△PBE为等腰直角三角形，PE＝BE，
∵∠PCB＝∠ACP，PA⊥AC，PE⊥BC，
∴AP＝PE，
设PE＝BE＝x，则BP＝，
∴AP＝AB﹣PB＝，
∴，
解得：x＝，
∴PD＝BP＝＝；
③当DP⊥AB时，此种情况不成立．
综上，PD的长为2或．
故答案为：2或．
【点评】本题主要考查折叠的性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质，正确理解题意，熟练掌握折叠的性质，并学会利用分类讨论思想解决问题是解题关键．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（1）计算：；
（2）化简：．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后进行计算即可解答．
解：（1）
＝2+1﹣1
＝2；
（2）
＝÷
＝
＝．
【点评】本题考查了分式的混合运算，实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17．为提高学生的审美鉴赏能力与汉字书写素养，某校组织全校学生进行了一场名为“翰墨飘香”的书法比赛，评分结束后，抽取了40名学生的成绩（满分100，80分以上为优秀）进行统计，绘制了如图所示尚不完整的统计图表．
40名学生书法比赛成绩频数表：
组别 频数 频率
A组（60～70） 12 0.3
B组（70～80） a 0.15
C组（80～90） 10 b
D组（90～100） 12 0.3
请结合图表解决下列问题：
（1）频数表中，a＝　6　，b＝　0.25　．
（2）请将频数分布直方图补充完整；
（3）抽取的40名学生成绩的中位数落在的组别是 　C　组；
（4）若有520名学生参加本次书法比赛，请估计成绩“优秀”的学生人数．
【分析】（1）先根据A组频数及频率求出样本容量，再依据“频率＝频数÷样本容量”求解可得a、b的值；
（2）根据所求数据即可补全图形；
（3）根据中位数的定义求解即可得出答案；
（4）总人数乘以样本中C、D组频率之和即可得出答案．
解：（1）样本容量为12÷0.3＝40，
∴a＝40×0.15＝6，b＝10÷40＝0.25，
故答案为：6，0.25；
（2）补全图形如下：
（3）抽取的40名学生成绩的中位数落在的组别是C组，
故答案为：C；
（4）520×（0.25+0.3）＝286（名），
答：估计成绩“优秀”的学生人数为286名．
【点评】此题考查了频数（率）分布直方图，频数（率）分布表，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．
18．如图所示，直线y＝﹣x﹣1与坐标轴交于A、B两点，在x轴上取点C使得AO＝AC，过点C作CD⊥CO交直线AB于点P，反比例函数与直线CD交于点D，已知PD＝2PC．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）用无刻度直尺和圆规作线段PD的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）判断点E是否在垂直平分线上，并说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）分别以点D、P为圆心，以大于PD长度为半径画弧，连接两段弧的交点，即为PD的中垂线；
（3）求出点E（﹣3，2），由点P、D的坐标知，线段DP中点的纵坐标为（3+1）＝2＝yE，即可求解．
解：（1）对于y＝﹣x﹣1，当x＝0时，y＝﹣1，即点B（0，﹣1），
令y＝﹣x﹣1＝0，则x＝﹣1，即点A（﹣1，0），则AO＝1＝AC，
则点C（﹣2，0），
当x＝﹣2时，y＝﹣x﹣1＝1，即点P（﹣2，1），则PC＝1＝PD，
则PD＝2，则点D（﹣2，3），
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：k＝（﹣2）×3＝﹣6，
即反比例函数表达式为：y＝﹣；
（2）分别以点D、P为圆心，以大于PD长度为半径画弧，连接两段弧的交点，即为PD的中垂线；
（3）点E在垂直平分线上，理由：
联立y＝﹣和y＝﹣x﹣1并解得：，
即点E（﹣3，2），
由点P、D的坐标知，线段DP中点的纵坐标为（3+1）＝2＝yE，
∴点E在垂直平分线上．
【点评】本题主要考查反比例函数的综合运用，涉及到反比例函数的性质，一次函数的性质等知识点，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是解题的关键．
19．文峰塔位于河南省安阳市古城内西北隅，因塔建于天宁寺内，又名天宁寺塔；文峰塔建于五代后周广顺二年，已有一千余年历史，风格独特，具有上大下小的特点．由下往上一层大于一层，逐渐宽敞，是伞状形式，这种平台、莲座、辽式塔身、藏式塔刹的形制世所罕见．
活动课上，数学社团的学生计划测量文峰塔的高度．如图所示，先在点C处用高1.6m的测角仪CD测得塔尖A的仰角为37°，向塔的方向前进5m到达F处，在F处测得塔尖A的仰角为45°，请你相关数据求出文峰塔AB的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin37°≈≈1.41．）
【分析】延长DE交AB于G点，如图，则BG＝EF＝CD＝1.6m，DE＝CF＝5m，∠ADG＝37°，∠AEG＝45°，设AG＝x米，先在Rt△AGC中，利用正切的定义表示出EG的长为xm，再在Rt△ADG中利用正切的定义表示出DG＝x，接着利用DG＝DE+EG列方程x＝5+x，然后解方程求出x，最后计算AG+BG即可．
解：延长DE交AB于G点，如图，则BG＝EF＝CD＝1.6m，DE＝CF＝5m，∠ADG＝37°，∠AEG＝45°，
设AG＝xm，
在Rt△AGF中，∵tan∠AFG＝，
∴EG＝＝x（m），
在Rt△ADG中，∵tan∠ADG＝，
∴DG＝＝＝x，
∵DG＝DE+EG，
∴x＝5+x，
解得x＝15，
∴AB＝AG+BG＝15+1.6＝16.6（m）．
答：文峰塔AB的高度为16.6m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
20．某校计划为体育社团购买乒乓球拍和羽毛球拍．已知每副乒乓球拍比羽毛球拍贵8元；且知用160元购买的乒乓球拍比羽毛球拍数量少1副．
（1）求每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的单价；
（2）学校准备采购两种类型的球拍共30副，且乒乓球拍的数量不少于羽毛球拍数量的2倍，请你设计出最省钱的购买方案．
【分析】（1）设每副羽毛球拍x元，则每副乒乓球拍（x+8）元，由题意列出分式方程，解方程即可；
（2）设采购m副羽毛球拍，则购买的乒乓球拍数量为（30﹣m）副，由题意列出一元一次不等式，解不等式求出m的范围，根据题意列出费用关于m的一次函数，根据一次函数的性质解答即可．
解：（1）设每副羽毛球拍x元，则每副乒乓球拍（x+8）元，
由题意得：﹣1＝，
解得：x＝32或﹣40（舍去），
经检验，x＝32是原方程的解，且符合题意，
则x+8＝40，
答：每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的单价分别为40元和32元；
（2）设采购m副羽毛球拍，则购买的乒乓球拍数量为（30﹣m）副，
由题意得：30﹣m≥2m，
解得：m≤10，
设总费用w元，
w＝40（30﹣m）+32m＝﹣8a+1200，
∵﹣8＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝10时，w最小，w最小＝﹣8×10+1200＝1120（元），
此时30﹣10＝20（副），
答：费用最少的方案是采购10副羽毛球拍，购买的乒乓球拍数量为20副．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
21．如图1所示是某即将通行的双向隧道的横断面．经测量，两侧墙AB和CD与路面AC垂直，隧道内侧宽AC＝8米．工程人员在路面AC上取点E，测量点E到墙面AB的距离AE，点E到隧道顶面的距离EF．设AE＝x米，EF＝y米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如表：
x/米 0 2 4 6 8
y/米 2.5 4.75 5.5 4.75 2.5
若以点A为坐标原点，AC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求出隧道顶部所在抛物线的解析式．
【分析】根据二次函数的对称性可知在当x＝4时y取得最大值，然后运用待定系数法求出函数解析式即可．
解：根据二次函数的对称性可知，当x＝4时，y有最大值5.5，
∴隧道顶部所在抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+5.5，
把x＝0，y＝2.5代入解析式得：16a+5.5＝2.5，
解得a＝﹣，
∴隧道顶部所在抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+5.5．
【点评】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用、数形结合、待定系数法等知识点，理清题中的数量关系、求得函数解析式是解题的关键．
22．如图1所示，石碾【niǎn】是我国古代劳动人民发明的一种用石头和木材等制作的使谷物等破碎或去皮用的工具，由碾盘（碾台）、碾砣（碾磙子、碾碌碡）、碾框、碾管芯、碾棍孔、碾棍等组成．如图2所示为从石碾抽象出来的几何模型，BD是⊙O的直径，点C在BD的延长线上，BE平分∠ABC交⊙O于点E，BA⊥CE于点A．
（1）求证：直线AC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，AB＝6，求线段CE的长．
【分析】（1）连接OE，由∠OEB＝∠CBE，∠ABE＝∠CBE，得∠OEB＝∠ABE，则OE∥AB，所以∠OEC＝∠A＝90°，即可证明直线AC是⊙O的切线；
（2）作OF⊥AB于点F，可证明四边形OEAF是矩形，则AF＝OE＝OB＝4，所以BF＝AB﹣AF＝2，由cos∠ABC＝＝，得∠ABC＝60°，则∠EOC＝∠ABC＝60°，CE＝OE＝4．
【解答】（1）证明：连接OE，则OE＝OB，
∴∠OEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠OEB＝∠ABE，
∴OE∥AB，
∵BA⊥CE于点A，
∴∠OEC＝∠A＝90°，
∵OE是⊙O的半径，且AC⊥OE，
∴直线AC是⊙O的切线．
（2）解：作OF⊥AB于点F，则∠OFB＝∠OFA＝90°，
∵∠OFA＝∠A＝∠OEA＝90°，
∴四边形OEAF是矩形，
∵⊙O的半径为4，AB＝6，
∴AF＝OE＝OB＝4，
∴BF＝AB﹣AF＝6﹣4＝2，
∵cos∠ABC＝＝＝，
∴∠ABC＝60°，
∴∠EOC＝∠ABC＝60°，
∵＝tan∠EOC＝tan60°＝，
∴CE＝OE＝×4＝4，
∴线段CE的长是4．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、矩形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
23．在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为射线CA上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB、DC．
（1）如图1所示，当α＝60°时，PA与DC的数量关系为 　PA＝DC　；直线PA与DC的夹角为 　60°　；
（2）如图2所示，当α＝120°时，请问（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
（3）当α＝90°时，若，请直接写出线段AD的长．
【分析】（1）可证得△CBD≌△ABP，由全等三角形的性质得出PA＝DC，∠BCD＝∠BAP＝180°﹣∠BAC＝180°﹣60°＝120°，进而得出结论；
（2）证出∠CBD＝∠ABP，可证明△CBD∽△ABP，进而得出，∠BCD＝∠PEB＝180°﹣∠BAC＝60°，证出∠PCD＝∠BCD﹣∠ACB＝60°﹣30°＝30°；
（3）分两种情况：①如图2，当点P在线段AC上时；②当点P在线段CA的延长线上时，由（2）中的结论及勾股定理可得出答案．
解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴ABC＝60°，AB＝BC，
同理可得，
∠PBC＝60°，BD＝PB，
∴∠ABC＝∠PBD，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠PBD﹣∠ABD，
即：∠CBD＝∠ABP，
在△CBD和△ABP中，
，
∴△CBD≌△ABP（SAS），
∴PA＝DC，∠BCD＝∠BAP＝180°﹣∠BAC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠DCP＝∠BCD﹣∠ACB＝60°，
故答案为：PA＝DC，60°；
（2）如图1，
（1）中的结论不成立，理由如下：
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
同理可得，
∠PBD＝30°，
∴∠ABC＝∠PBD，
∴∠ABC+∠ABD＝∠PBD+∠ABD，
即：∠CBD＝∠ABP，
∵，
∴△CBD∽△ABP，
∴，∠BCD＝∠PEB＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴∠PCD＝∠BCD﹣∠ACB＝60°﹣30°＝30°，
（3）①如图2，当点P在线段AC上时，
∵BP＝2，AB＝4，
∴AP＝＝＝2，
由（2）可知△CBD∽△ABP，
∴，
∴CD＝AP＝2，
过点A作AM⊥CD于点M，
∵△CBD∽△ABP，
∴∠BCD＝∠BAP＝90°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠ACD＝135°，
∴∠ACM＝45°，
∵AC＝4，
∴AM＝CM＝AC＝2，
∴DM＝CM+CD＝4，
∴AD＝＝＝2；
②当点P在线段CA的延长线上时，如图3，
同理可得CD＝2，
过点D作DN⊥AC于N，
∵∠PCD＝45°，
∴DN＝CN＝CD＝2，
∴AN＝AC﹣NC＝4﹣2＝2，
∴AD＝＝＝2．
综上所述，AD的长为2或2．
【点评】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．

2023年河南省驻马店二十中中考数学模考试卷(含解析)