广东省广州市2023年中考数学模拟卷（原卷+解析卷）

广州市2023年中考数学模拟卷
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1．﹣3的相反数是（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
【答案】A
【解析】解：-3的相反数为3．
故选：A．
2．要使二次根式有意义，那么x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
【答案】C
【解析】解：根据题意，得 2x-4≥0，
解得，x≥2．
故选：C．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：A、，计算错误，不符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、，计算正确，符合题意；
D、，计算错误，不符合题意；
故选C．
4．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】试题解析：由图可知：，．，故本选项错误；．，故本选项错误；．，故本选项正确；．∵，，∴，故本选项错误；故选项．
5．三角形在方格纸中的位置如图所示，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：由图可知，α所在的直角三角形的两直角边分别为3、4，
根据勾股定理，斜边，
∵α的邻边为4，
∴.
故选C．
6．信阳是河南传统餐饮历史文化名城，信阳菜历经千年的积淀和发展，以鲜、香、爽、醇、中的独特味道传遍大江南北.某游客慕名而来，决定从“筒鲜鱼”“固始鹅块”“石凉粉”“罗山大肠汤”“闷罐肉”这5个特色美食中随机选取2 个进行品尝，则他抽到“筒鲜鱼”和“固始鹅块”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】记“筒鲜鱼”“固始鹅块”“石凉粉”“罗山大肠汤”“闷罐肉”分别为A、B、C、D、E．抽到“筒鲜鱼”和“固始鹅块”即为AB或BA，则5个特色美食中随机选取2个进行品尝的所有可能情况列表为：
A B C D E
A AB AC AD AE
B AB BC BD BE
C AC BC CD CE
D AD BD CD DE
E AE BE CE DE
共有20种等可能事件，其中抽到AB或BA的有2种，
到AB或BA的概率为
即抽到“筒鲜鱼”和“固始鹅块”的概率为．
故选：C．
7．函数y＝ax2+3ax+1（a＞0）的图象上有三个点分别为A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3
C．y3＜y2＜y1 D．y1，y2，y3的大小不确定
【答案】B
【解析】解：∵二次函数的解析式y＝ax2+3ax+1（a＞0），
∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为x＝﹣＝﹣．
∵A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（，y3）为y＝ax2+3ax+1（a＞0）的图象上三个点，
，
则三点横坐标距离与对称轴x＝的距离远近顺序为：
C（，y3）、A（﹣3，y1）、B（﹣1，y2），
∴三点纵坐标的大小关系为：y2＜y1＜y3．
故选：B．
8．如图，在半径为，圆心角等于45°的扇形AOB内部作一个矩形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在弧AB上，且．则图中阴影那分的面积（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
连接OF，设CD＝x，则DE＝2x
∵∠O＝45°，则OD＝x，
在RtΔOEF中，由勾股定理得OE2+EF2＝OF2，
即，
解得x＝±1（舍去负数），
∴OD＝1，
S阴影＝S扇形AOB﹣S△OCD﹣S矩形CDFE
，
，
．
故选B．
9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，AE⊥BD于点E，若∠DAE：∠BAE=3：1，则∠EAC为（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．35°
【答案】C
【解析】
四边形ABCD是矩形
∠DAE：∠BAE=3：1
故选：C．
10．如图，的顶点B、C在第二象限，O为原点，点，反比例函数的图像经过点C和边的中点D，若，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
解：如图所示，过点C作CE⊥x轴于E，过点D作DF⊥x轴于F，
∴，
∴∠DAF=∠COE，
又∵∠AFD=∠OEC，
∴△DFA∽△CEO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=OC，∠AOC=∠B=60°，
∵D是AB的中点，
∴OC=AB=2AD，
∴，
∴CE=2DF，OE=2AF
设AF=m，则点C的坐标为，点D的坐标为 ，
∴，
解得（经检验是原方程的解），
∴CE=2，
∴，
∴，
故选A．
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11．化简：______．
【答案】
【分析】先进行化简，然后作差求解即可．
【详解】解：原式
故答案为：．
12．抛物线的顶点坐标为______________________________．
【答案】(1，8)
【分析】根据题意可知，本题考察二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，进行求解．
【详解】解：由二次函数性质可知，的顶点坐标为(，)
∴的顶点坐标为(1，8)
故答案为：(1，8)
13．如图，若，点E在直线的上方，连接，延长交于点F，已知，，则_________°．
【答案】134
【分析】根据外角性质可得∠EFD，根据平行线的性质可得∠EAB＝∠EFD．
【详解】
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为134．
14．方程的解是_______
【答案】x=9
【分析】观察可得最简公分母是x（x-3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【详解】解：方程的两边同乘x（x-3），得
3x-9=2x，
解得x=9．
检验：把x=9代入x（x-3）=54≠0．
∴原方程的解为：x=9．
故答案为：x=9．
15．（2022·广东江门·一模）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的切线EF分别交PA，PB于点E，F，切点C在弧AB上，若PA长为8，则△PEF的周长是_____．
【答案】16
【分析】由切线长定理知，AE＝CE，FB＝CF，PA＝PB＝12，然后根据△PEF的周长公式即可求出其结果．
【详解】解：∵PA、PB、EF分别与⊙O相切于点A、B、C，
∴AE＝CE，FB＝CF，PA＝PB＝8，
∴△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PA+PB＝16．
故答案为：16．
16．在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，…的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3=∠A4OC4=…=30°．若点A1的坐标为(3,0)，OA1=OC2，OA2=OC3，OA3=OC4，…则依此规律，点A2021的坐标为______．
【答案】
【分析】根据含30°的直角三角形三边的关系得，，，于是可得到规律，据此即可解答
【详解】解：∵∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3=∠A4OC4=30°，OA1=OC2=3，
∴，，，
∴，
，
∵，
∴点A2021与A1位置相同，在x轴的正半轴上，
∴点A2021的坐标为，
故答案为：
三、解答题（共9大题，共72分）
17．（4分）解方程组：
【答案】
【分析】根据加减消元法解方程即可．
【详解】解：解法一：
①+②得，2x=6，解得x=3，
将x=3代入①，得y=1
所以方程组的解为
解法二：
①+②得，2x=6，解得x=3，
②-①得，2y=2，解得y=1，
所以方程组的解为
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，BE∥CD，CE∥AB．试判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论．
【答案】四边形BDCE 是菱形，证明见解析
【分析】根据BE∥CD，CE∥AB可证四边形BDCE 是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明CD BD即可得到结论．
【详解】解：四边形BDCE 是菱形，理由如下：
∵BE ∥CD， CE∥AB ，
∴四边形BDCE 是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D 为AB 中点，
CD BD，
四边形BDCE 是菱形．
19．（6分）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量（桶）与每桶降价（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求与之间的函数关系式；
（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？
【答案】（1）y=10x+100；（2）这种消毒液每桶实际售价43元
【分析】（1）设与之间的函数表达式为，将点、代入一次函数表达式，即可求解；
（2）根据利润等于每桶的利润乘以销售量得关于的一元二次方程，通过解方程即可求解．
【详解】
解：（1）设与销售单价之间的函数关系式为：，
将点、代入一次函数表达式得：，
解得：，
故函数的表达式为：；
（2）由题意得：，
整理，得．
解得，（舍去）．
所以．
答：这种消毒液每桶实际售价43元．
20．（6分）某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．
（1）这次被调查的同学共有 名；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？
【答案】（1）1000；
（2）图形见解析；
（3）该校18000名学生一餐浪费的食物可供3600人食用一餐．
【分析】
（1）用没有剩的人数除以其所占的百分比即可；
（2）用抽查的总人数减去其他三类的人数，再画出图形即可；
（3）根据这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐，再根据全校的总人数是18000人，列式计算即可．
【详解】
解：（1）这次被调查的同学共有400÷40%=1000（名）
故答案为：1000
（2）剩少量的人数是：1000-400-250-150=200（名），
（3）
答：该校1800名学生一餐浪费的食物可供3600人食用一餐.
21．（8分）已知多项式A＝(x＋2)2＋(1－x)(2＋x)－3．
（1）化简多项式A；
（2）若(x＋1)2＝0，求A的值．
【答案】(1) (2)0
【分析】
（1）先算乘法，再合并同类项即可；
（2）求出x+1的值，再整体代入求出即可．
【详解】(1)
解：A＝(x＋2)2＋(1－x)(2＋x)－3
(2)
解：∵(x＋1)2＝0，
∴，
∴
22．（10分）如图，在中，．
（1）作角平分线CD，交AB于点D（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
（2）已知在BC边上有一点E，且，，连接DE，若，求的度数．
【答案】(1)作图见解析；(2)36°
【解析】(1)解：如图，射线CD即为所求；
(2)解：如图，连接DE，
∵ CD平分∠ACB
∴∠ACD=∠ECD
在△ADC和△EDC中，
∴△ADC≌△EDC（SAS）
∴AD=DE，∠DEC=∠A=72°
∵
∴
∴∠B=∠BDE
∵∠DEC是△BDE的一个外角
∴∠DEC=∠BDE+∠B=2∠B
∴∠B=∠DEC=36°
23．（10分）连云港的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的宝塔．小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点处测得阿育王塔最高点的仰角，再沿正对阿育王塔方向前进至处测得最高点的仰角，；小亮在点处竖立标杆，小亮的所在位置点、标杆顶、最高点在一条直线上，，．（注：结果精确到，参考数据：，，）
（1）求阿育王塔的高度；
（2）求小亮与阿育王塔之间的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中，由，解方程即可求解．
（2）证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】(1)
在中，∵，
∴．
∵，
∴．
在中，由，
得，
解得．
经检验是方程的解
答：阿育王塔的高度约为．
(2)
由题意知，
∴，
即，
∴．
经检验是方程的解
答：小亮与阿育王塔之间的距离约为．
24．（12分）已知抛物线ykx2（k﹣2）x+2与y轴交于点A，与x轴交于B、C（点B在点C的左边）．
(1)直接写出点B的坐标；
(2)当k＝1时（如图），求：
①在直线AC上方的抛物线上一点M，求点M到直线AC的最大距离及此时点M的坐标；
②将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．
【答案】(1) (2)①最大距离为，此时；②m的取值范围为或
【分析】
（1）将解析式变形可得二次函数过定点结合函数图象即可求得点的坐标，
（2）①过点作轴，交于点，过点作，垂足为点，设，则，继而求得，求得直线的解析式，设，则，根据二次函数的性质求得当时，的最大值为,进而求得取得最大值以及点的坐标；
②根据题意可知，，求得，，根据当线段O′A′与抛物线只有一个公共点，分别求得当在抛物线上时，的值，进而结合函数图像即可判断的取值范围．
【详解】(1)
解：∵抛物线ykx2（k﹣2）x+2与y轴交于点A，与x轴交于B、C（点B在点C的左边）
∴
令，解得
当时，，当时，
抛物线过定点和
(2)
当时，抛物线解析式为
令，则
解得
①如图，过点作轴，交于点，过点作，垂足为点，
设
设过的直线解析式为
则
解得
直线的解析式为
设，则
的最大值为，此时，取得最大值
当时，
此时
②如图，
，将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，
，，且总在的右侧，
，
，
当点在抛物线上时，此时
解得
当点在抛物线上时，此时
解得
结合函数图像可得，当线段O′A′与抛物线只有一个公共点时，
m的取值范围为或
25．（12分）如图1， ABCD的边长AB＝5，对角线AC平分∠BAD，点E从A点出发沿AB方向以1个单位/秒的速度运动，点F从C点出发沿CA方向以2个单位/秒的速度运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若对角线BD＝6，当t为多少秒时，△AEF为等腰三角形；
（3）如图2，若∠BAD＝60°，点GDE是中点，作GH⊥DE交AC于H．点E在AB边上运动过程中，线段GH存在最小值，请你直接写出这个最小值．
【答案】（1）见解析 （2）t=或或
（3）
【分析】（1）由角平分线定义可得出∠BAC=∠DAC=∠ACD，由等腰三角形的判定可得出AD=DC，根据菱形的判定定理可得出结论；
（2）可分三种情况：①当FA=FE时，②当AE=AF时，③当EA=EF时，由等腰三角形的性质可求出答案；
（3）过点H作HM⊥AB于点M，过点H作HN⊥AD于点N，连接DH，EH，BH，证明Rt△DHN≌Rt△EHM（HL），由全等三角形的性质得出∠DHN=∠EHM，可求出∠DEH=30°，由直角三角形的性质得出GH=GE=DE．则可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC=∠ACD，
∴AD=CD，
∴四边形ABCD是菱形；
【小问2详解】
设AB与CD相交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，AB=6，∠B=120°，
∴AC⊥BD，BO=BD=3，OA=OC，
∴Rt△AOB中，，
∴AC=8， cos∠OAB=，
∵点E从A点出发沿AB方向以1个单位/秒的速度运动，点F从C点出发沿CA方向以2个单位/秒的速度运动，
∴AE=t，AF=8-2t，
若△AEF为等腰三角形，分如下三种情况：
①若FA=FE，
则t=8-2t，解得：t=；
②若AE=AF，如图3，过点F作FM⊥AB，
图3
则AM=AE=t，
∴cos∠OAB= cos∠FAM =，
解得：，
③若EA=EF，如图4，过点E作EN⊥AC，
则AN=AF=8-t，
∴cos∠OAB= cos∠NAE =，
解得：，
∴当t=或或秒时，△AEF为等腰三角形；
【小问3详解】
过点H作HM⊥AB于点M，过点H作HN⊥AD于点N，连接DH，EH，BH，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BH=DH，∠DAC=∠BAC，
∴HN=HM，
∵GH是线段DE的中垂线，
∴DH=EH，
∴BH=DH=EH，
在Rt△DHN和Rt△EHM中，
，
∴Rt△DHN≌Rt△EHM（HL），
∴∠DHN=∠EHM，
∴∠DHE=∠DHN+∠NHE=∠NHE+∠EHM=360°-90°-90°-60°=120°，
∴∠DEH=30°，
∴GH=GE=DE．
当DE⊥AB时，此时DE有最小值是3，即GH的最小值为．
∴线段GH的最小最小值为．
广州市2023年中考数学模拟卷
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1．﹣3的相反数是（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
2．要使二次根式有意义，那么x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
5．三角形在方格纸中的位置如图所示，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．信阳是河南传统餐饮历史文化名城，信阳菜历经千年的积淀和发展，以鲜、香、爽、醇、中的独特味道传遍大江南北.某游客慕名而来，决定从“筒鲜鱼”“固始鹅块”“石凉粉”“罗山大肠汤”“闷罐肉”这5个特色美食中随机选取2 个进行品尝，则他抽到“筒鲜鱼”和“固始鹅块”的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．函数y＝ax2+3ax+1（a＞0）的图象上有三个点分别为A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3
C．y3＜y2＜y1 D．y1，y2，y3的大小不确定
8．如图，在半径为，圆心角等于45°的扇形AOB内部作一个矩形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在弧AB上，且．则图中阴影那分的面积（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，AE⊥BD于点E，若∠DAE：∠BAE=3：1，则∠EAC为（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．35°
10．如图，的顶点B、C在第二象限，O为原点，点，反比例函数的图像经过点C和边的中点D，若，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11．化简：______．
12．抛物线的顶点坐标为______________________________．
13．如图，若，点E在直线的上方，连接，延长交于点F，已知，，则_________°．
14．方程的解是_______
15．（2022·广东江门·一模）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的切线EF分别交PA，PB于点E，F，切点C在弧AB上，若PA长为8，则△PEF的周长是_____．
16．在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，…的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3=∠A4OC4=…=30°．若点A1的坐标为(3,0)，OA1=OC2，OA2=OC3，OA3=OC4，…则依此规律，点A2021的坐标为______．
三、解答题（共9大题，共72分）
17．（4分）解方程组：
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，BE∥CD，CE∥AB．试判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论．
19．（6分）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量（桶）与每桶降价（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求与之间的函数关系式；
（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？
20．（6分）某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．
（1）这次被调查的同学共有 名；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？
21．（8分）已知多项式A＝(x＋2)2＋(1－x)(2＋x)－3．
（1）化简多项式A；
（2）若(x＋1)2＝0，求A的值．
22．（10分）如图，在中，．
（1）作角平分线CD，交AB于点D（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
（2）已知在BC边上有一点E，且，，连接DE，若，求的度数．
23．（10分）连云港的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的宝塔．小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点处测得阿育王塔最高点的仰角，再沿正对阿育王塔方向前进至处测得最高点的仰角，；小亮在点处竖立标杆，小亮的所在位置点、标杆顶、最高点在一条直线上，，．（注：结果精确到，参考数据：，，）
（1）求阿育王塔的高度；
（2）求小亮与阿育王塔之间的距离．
24．（12分）已知抛物线ykx2（k﹣2）x+2与y轴交于点A，与x轴交于B、C（点B在点C的左边）．
(1)直接写出点B的坐标；
(2)当k＝1时（如图），求：
①在直线AC上方的抛物线上一点M，求点M到直线AC的最大距离及此时点M的坐标；
②将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．
25．（12分）如图1， ABCD的边长AB＝5，对角线AC平分∠BAD，点E从A点出发沿AB方向以1个单位/秒的速度运动，点F从C点出发沿CA方向以2个单位/秒的速度运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若对角线BD＝6，当t为多少秒时，△AEF为等腰三角形；
（3）如图2，若∠BAD＝60°，点GDE是中点，作GH⊥DE交AC于H．点E在AB边上运动过程中，线段GH存在最小值，请你直接写出这个最小值．

广东省广州市2023年中考数学模拟卷（原卷+解析卷）