【中考压轴题专题训练】特殊平行四边形几何综合专题训练（含解析）

【中考压轴题专题训练】特殊平行四边形几何综合专题训练
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，边长为5的大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，连结并延长交于点M.若，则的长为（　　）
A． B． C．1 D．
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
2．如图，已知，分别为正方形的边，的中点，与交于点.则下列结论：①，②，③，④.其中正确结论的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，DF⊥CE于M，交AC于点N，交AB于点F，连接EN、BM、有如下结论：①△ADF≌△DCE；②MN=FN；③CN=2AN；④∶=2∶5；⑤∠ADF=∠BMF．其中正确结论的个数为（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，且．过点B作，交边CD于点F．以C为圆心，CF长为半径画圆，交边BC于点G，连接DG，交BF于点H．则（　　）
A．10：3 B．3：1 C．8：3 D．5：3
5．三国时期的赵爽利用图1证明了勾股定理，后来日本的数学家关孝和在“赵爽弦图”的启发下利用图2也证明了勾股定理.在图2中，E，B，F在同一条直线上，四边形ABCD，EFGA，HGDJ都是正方形，若正方形ABCD的面积等于100，△IJD面积等于，且已知AH＝2，则△KCD的面积等于（　　）
A． B．39 C． D．52
（第5题） （第6题）
6．如图，正方形中，E为的中点，于G，延长交于点F，延长交于点H，交于N下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确结论的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．已知菱形，E、F是动点，边长为5，，，则下列命题中正确的是（　　）
①；②为等边三角形；③的边长最小值为；④若，则．
A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③
（第7题） （第8题） （第9题） （第10题）
8．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点EF，连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①AE＝FC；②∠PDE＝15°；③；④DE2＝PF FC．其中正确的为（　　）
A．①②③ B．①③ C．②③④ D．①②④
9．如图，已知菱形的边长为2，对角线相交于点O，点M，N分别是边上的动点，，连接.以下四个结论正确的是（　　）
①是等边三角形；②的最小值是；③当最小时；④当时，.
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
10．如图，在正方形中，点E，F分别在边上，点P是的中点，连接.若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，已知正方形的边长为1，点M是边的中点，将沿直线翻折，使得点C落在同一平面内的点E处，联结并延长交射线于点F，那么的长为　 　．
（第11题） （第12题） （第13题） （第14题）
12．如图，在正方形中，点E在上，点F在上，于点M，点H在上，，连接延长交于点G，若，则线段的长为　 　．
13．如图，点、分别在菱形的边、上，为等边三角形，是的中点，延长交于点，已知，四边形的面积是的面积的2倍，则的长为　 　．
14．如图，矩形中，，，是射线上一动点，连结交对角线于点，当把分成一个三角形和一个四边形时，这个三角形的面积恰好是面积的，则的长为　 　.
15．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AC与BD交于点O，点F为DC延长线上的一点，AF与OB，BC分别交于点E，H，且∠BAF＝45°，连接OH和CE，则下列结论中一定成立的是　 　．
①AD＝DE；②；③；④△ABH≌△FBE．
（第15题） （第16题）
16．如图，在正方形中，点，分别在边，上，且，交于点，交于点，的延长线交的延长线于点，且，连接．
（1）　 　．
（2）若，，则　 　．
三、解答题（本题有8小题，第17题8分，第18～23题每题10分，第24题12分，共80分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知是四边形的边上一点，的垂直平分线分别交，于点，，交对角线于点，与交于点，连接，．
（1）如图1，若平分，求证：四边形是菱形．
（2）如图2，四边形是矩形，且，，若，求的长．
18．如图，在正方形ABCD中，，E为AB的中点，连接CE，作交射线AD于点F，过点F作交射线CD于点G，连接EG交AD于点H.
（1）求证：.
（2）求HD的长.
（3）如图2，连接CH，点P为CE的中点，Q为AF上一动点，连接PQ，当与四边形GHCF中的一个内角相等时，求所有满足条件的DQ的长.
19．如图，两个全等的四边形和，其中四边形的顶点O位于四边形的对角线交点O．
（1）如图1，若四边形和都是正方形，则下列说法正确的有　 　．（填序号）
①；②重叠部分的面积始终等于四边形的；③．
（2）应用提升：如图2，若四边形和都是矩形，，写出与之间的数量关系，并证明．
（3）类比拓展：如图3，若四边形和都是菱形，，判断（1）中的结论是否依然成立；如不成立，请写出你认为正确的结论（可用表示），并选取你所写结论中的一个说明理由．
20．综合与实践：
数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．
问题情境：在中，点P是边上一点．将沿直线折叠，点D的对应点为E．
“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P与点A重合，过点E作，与交于点F，连接，则四边形是菱形．
（1）数学思考：请你证明“兴趣小组”提出的问题；
（2）拓展探究：“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P为的中点时，延长交于点F，连接．试判断与的位置关系，并说明理由．
请你帮助他们解决此问题．
（3）问题解决：“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3，当点E恰好落在边上时，，，．则的长为　 　．（直接写出结果）
21．如图
（1）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE，判断线段DG与BE的数量关系并说明理由；
（2）如图2，四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝6，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE＝1：2，连接DG、BE．判断线段DG与BE又有怎样的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG，求2BG+BE的最小值．
22．在正方形中，点，分别在边，上，且．
（1）若点在边的延长线上，且，如图，求证：≌；
（2）若直线与，的延长线分别交于点，如图，求证：；
（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形如图，，，，请你直接写出的面积．
23．定义：若一动点P到一条线段的两个端点的距离满足，则称P为线段的点，但点P不是线段的点.
（1）如图1，在中，，，若点C是线段的点，求的长.
（2）如图2，在中，D是边上一点，连结，若点A分别是线段，线段的点.求证：C是线段的点（提示：证明与相似）.
（3）如图3，在菱形中，，，点E，F分别是，上的点，且满足.连结，若点E是线段的点.求的长.
24．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对矩形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
（1） [观察与猜想]
如图①，在正方形中，点E、F分别是、上的两点，连接、，，则的值为＝　 　；
（2）如图②，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，，且，则的值为　 　．
（3） [性质探究]
如图③，在四边形中，．点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F．求证：；
（4） [拓展延伸]已知四边形是矩形，，
如图④，点P是上的点，过点P作，垂足为O，点O恰好落在对角线上．求的值；
（5）如图⑤，点P是上的一点，过点P作，垂足为O，点O恰好落在对角线上，延长、交于点G．当时，　 　．
()

【中考压轴题专题训练】特殊平行四边形几何综合专题训练
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，边长为5的大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，连结并延长交于点M.若，则的长为（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】过点M作于点N，设与交与点K，如图，
四边形是正方形，
，，
，
.
由题意得：，
，.
.
，
，
，，
，
.
，，
，
，
，
.
，，
，
，
，
.
故答案为：D.
2．如图，已知，分别为正方形的边，的中点，与交于点.则下列结论：①，②，③，④.其中正确结论的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】在正方形中，，，
、分别为边，的中点，
在和中，，
，
，，
，
，故①正确；
是在边上的中线，，，，故②错误；
设正方形的边长为，则，
在中，
，
，，，
，即，
，
，故③正确；
如图，过点作于，则，
，，即
解得，，
，
根据勾股定理得，
，，
，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④.
故答案为：B.
3．如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，DF⊥CE于M，交AC于点N，交AB于点F，连接EN、BM、有如下结论：①△ADF≌△DCE；②MN=FN；③CN=2AN；④∶=2∶5；⑤∠ADF=∠BMF．其中正确结论的个数为（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】①∵ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠DAF=∠EDC，
∵DF⊥CE，∴∠EDM+∠DEM=90°，
∵∠DEM+∠DCE=90°，∴∠ADF=∠DCE，
在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE，故符合题意；
②∵ABCD是正方形，∴∠NAF=∠NAE，
∵△ADF≌△DCE，∴DE=AF，
∵AE=DE，∴AE=AF，
在△ANF和△ANE中，∴△ANF≌△ANE，∴NF=NE，
∵NM⊥CE，∴NE＞MN，∴NF＞MN，故不符合题意；
③∵，∴∠CDN=∠NFA，∠DCN=∠NAF，∴△DCN∽△FAN，∴，
又∵△ADF≌△DCE，且四边形ABCD为正方形，∴AF=AB=DC，
∴，∴CN=2AN，故符合题意；
④连接CF，
设=1，△DCN∽△FAN，∴，∴，
则=3，=2，∴=6，∴=5，∴∶=2：5，故符合题意；
⑤延长DF与CB交于G，则∠ADF=∠G，根据②的结论F为AB中点，即AF=BF，
在△DAF与△GBF中，
，
∴△DAF≌△GBF（AAS），
∴BG=AD，又AD=BC，
∴BC=BG，
∵DF⊥CE于M，
∴∠CMG=90°，
∴△CMG是直角三角形，
∴MB=BG=BC，
∴∠G=∠BMF，
因此∠ADF=∠BMF，故符合题意．
所以正确的有①③④⑤共4个．
故答案为：C．
4．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，且．过点B作，交边CD于点F．以C为圆心，CF长为半径画圆，交边BC于点G，连接DG，交BF于点H．则（　　）
A．10：3 B．3：1 C．8：3 D．5：3
【答案】B
【解析】如图所示，连接AH，CH，设AE与BF交于M，
∵BF⊥AE，∴∠AMB=90°，∴∠BAM+∠ABM=90°，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠ABE=∠BCF=90°，
∴∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE=CF，∴BF=DF，
∵CG=CF，∠DCG=∠BCF，DC=BC，
∴△BCF≌△DCG（SAS），
∴∠CBF=∠CDG，
又∵∠BHG=∠DHF，
∴△BHG≌△DHF（AAS），
∴HG=HF，
又∵HC=HC，CG=CF，
∴△HCG≌△HCF（SSS），
∴∠HCG=∠HCF=45°，
∴A、H、C三点共线，
∵，
∴△ADH∽△CGH，∴，
故答案为：B．
5．三国时期的赵爽利用图1证明了勾股定理，后来日本的数学家关孝和在“赵爽弦图”的启发下利用图2也证明了勾股定理.在图2中，E，B，F在同一条直线上，四边形ABCD，EFGA，HGDJ都是正方形，若正方形ABCD的面积等于100，△IJD面积等于，且已知AH＝2，则△KCD的面积等于（　　）
A． B．39 C． D．52
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD和四边形GDJH是正方形，正方形ABCD的面积等于100，
∴AB＝BC＝AD＝CD＝10，GH＝GD，
设GH＝GD＝x，则AG＝x+2，
∵AG2+DG2＝AD2，
∴（2+x）2+x2＝102，
解得x＝6，x＝﹣8舍去，
∴DJ＝6，
∵△IJD面积等于，
∴，
∴IJ＝，
∴IH＝HJ﹣IJ＝6﹣＝，
∴AI＝＝，
∵AB＝10，AE＝AG＝8，
∴BE＝＝6，
∴BF＝2，
∴AH＝BF，
∵∠EAG＝∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴∠GAD＝∠BAE，∠BAE＝∠FBK，
∴∠GAD=∠FBK，
∵∠BFK＝∠AHI＝90°，
∴△AHI≌△BFK（ASA），
∴AI＝BK＝，
∴CK＝BC﹣BK＝10﹣＝，
∴△KCD的面积＝CD CK＝.
故答案为：A.
6．如图，正方形中，E为的中点，于G，延长交于点F，延长交于点H，交于N下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确结论的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵于G，
∴，
∴，
在△DCE和△CBN中，
，
∴，
∴，故①正确；
∵E为BC的中点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故③正确；
如图，作于点T，交DE的延长线于点R，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，故④正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故⑤正确，
综上，①②③④⑤均正确，
故答案为：D.
7．已知菱形，E、F是动点，边长为5，，，则下列命题中正确的是（　　）
①；②为等边三角形；③的边长最小值为；④若，则．
A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是菱形，，
∴AB＝BC，AD∥BC，∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝60°，
∴∠B＝180° ∠BAD＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝60°，
在△BEC和△AFC中，，
∴△BEC≌△AFC（SAS），①符合题意；
∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，
∴∠BCE＋∠ACE＝∠ACF＋∠ACE，
∴∠BCA＝∠ECF＝60°，
∴△ECF是等边三角形，②符合题意；
∵△ABC是等边三角形，AB＝BC＝5，
∴当CE⊥AB时，的边长取最小值，
∵∠B＝60°，
∴此时∠BCE＝30°，
∴BE＝，
∴CE＝，
∴的边长最小值为，③不符合题意；
过点E作EM∥BC，交AC于点M，
∵△BEC≌△AFC，
∴AF＝BE＝2，
∵AB＝5，
∴AE＝AB BE＝5 2＝3，
∵EM∥BC，
∴∠AEM＝∠B＝60°，∠AME＝∠ACB＝60°，
∴△AEM是等边三角形，
∴AE＝EM＝3，
∵AD∥BC，
∴AF∥EM
∴，
∴，④符合题意；
故答案为：C．
8．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点EF，连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①AE＝FC；②∠PDE＝15°；③；④DE2＝PF FC．其中正确的为（　　）
A．①②③ B．①③ C．②③④ D．①②④
【答案】D
【解析】∵△BPC为等边三角形，
∴PB＝PC，∠PBC＝∠PCB＝60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴FE∥BC，
∴△FEP∽△CPB，
∴，
∴PE＝PF，
∴FC＝EB，
∵∠PBC＝60°，∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝30°，
在Rt△ABE中，∵∠ABE＝30°，
∴AE＝，
又∵BE＝FC，
∴AE＝，故①符合题意；
∵PC＝BC＝CD，∠PCD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DPC＝∠PDC＝＝75°，
∴∠PDE＝∠ADC﹣∠PDC＝90°﹣75°＝15°，故②符合题意；
∵FD∥BC，
∴△FDH∽△CBH，
∴，
又∵△BHC与△DHC同高，
∴，
又∵，
∵∠FDC=90°，∠FCD=30°，
∴CF=2DF，
∴，
∴F不是AD中点，
∴，
∴，故③不符合题意；
∵∠EPD＝180°﹣∠EPF﹣∠DPC＝180°﹣60°﹣75°＝45°＝∠ADB，∠PED＝∠PED，
∴△PED∽△DEB，
∴，
∴ED2＝PE BE，
又∵PE＝PF，BE＝FC，
∴DE2＝PF FC，故④符合题意，
故答案为：D．
9．如图，已知菱形的边长为2，对角线相交于点O，点M，N分别是边上的动点，，连接.以下四个结论正确的是（　　）
①是等边三角形；②的最小值是；③当最小时；④当时，.
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【解析】如图：在菱形ABCD中，AB=BC=AD=CD，，OA=OC，
∵，
∴，与为等边三角形，
又，
，
∴，
在与中
∴，
∴AM=AN，
即为等边三角形，
故①符合题意；
∵，
当MN最小值时，即AM为最小值，当时，AM值最小，
∵，
∴
即，
故②符合题意；
当MN最小时，点M、N分别为BC、CD中点，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
而菱形ABCD的面积为：，
∴，
故③符合题意，
当时，
∴
∴
∴
∴
故④符合题意；
故答案为：D．
10．如图，在正方形中，点E，F分别在边上，点P是的中点，连接.若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接、、、，过点P作交于G，
∵正方形，
∴，，，
∵
∴，，
∴，
∵点P是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，是等腰三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点P是的中点，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴
∵点P是的中点，
∴，
∵，，
∴
∴，
故答案为：C.
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，已知正方形的边长为1，点M是边的中点，将沿直线翻折，使得点C落在同一平面内的点E处，联结并延长交射线于点F，那么的长为　 　．
【答案】
【解析】过B作BH⊥AF于H，连接EC交BM于G
∵正方形的边长为1，点是边的中点，
∴
∴
∵将沿直线翻折，
∴EC⊥BM，，
∵BH⊥AF，
∴
∴
∴
∴
∵
∴∴
∴
故答案为：．
12．如图，在正方形中，点E在上，点F在上，于点M，点H在上，，连接延长交于点G，若，则线段的长为　 　．
【答案】
【解析】∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∵，
设，则，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在正方形中，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
在中，由勾股定理得，
∴，解得，（舍），
∴，，
∴在中，由勾股定理得，
∴，
故答案为：．
13．如图，点、分别在菱形的边、上，为等边三角形，是的中点，延长交于点，已知，四边形的面积是的面积的2倍，则的长为　 　．
【答案】
【解析】如图作AP⊥BC于P，GQ⊥BC于Q，过点G作MN∥AB交AD于M，交BC于N，作MT⊥CD于T，连接CG，设．
则易知，，，，，，
由题意，
，
整理得，
解得或舍弃，
.
故答案为：.
14．如图，矩形中，，，是射线上一动点，连结交对角线于点，当把分成一个三角形和一个四边形时，这个三角形的面积恰好是面积的，则的长为　 　.
【答案】或
【解析】∵四边形是矩形，，，
∴，，
∴，
∴，
①当在线段上时，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，，
∴，
设中，边上的高为，则，
∴===
∵，
即当时，
∴
解得：（负值舍去）
∴；
②当在的延长线上时，如图
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，，
∴
∴
∴===
∵，
∴，
∴
∵的面积为，
∴四边形的面积为，
即
即
解得：或（，不合题意舍去）
∴，
故答案为：或.
15．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AC与BD交于点O，点F为DC延长线上的一点，AF与OB，BC分别交于点E，H，且∠BAF＝45°，连接OH和CE，则下列结论中一定成立的是　 　．
①AD＝DE；②；③；④△ABH≌△FBE．
【答案】①②③
【解析】∵在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AC与BD交于点O，
∴∠BAC=∠DAC=60°，∠ADC=60°，
∴∠ADE=∠CAE=30°，
∵∠BAF＝45°，
∴∠CAF=15°，
∴∠DAE=75°，
∴∠AED=180°-∠ADE-∠DAE=75°，
∴AD=DE，故①符合题意；
过E作EG⊥AB于G，
∵∠GAE=45°，∠AGE=90°，
∴∠AEG=45°=∠GAE，
∴AG=EG，
∴2EG2=AE2，即AE=EG；
∵∠ABE=30°，
∴BE=2EG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴由轴对称得AE=CE，
∴，故②符合题意；
∵AB∥CD，
∴S△ACF=S△BCF，
∴S△ACF-S△CFH=S△BCF-S△CFH，即，故③符合题意
∵∠BEH=∠BHE=75°，
∴BE=BH，
当△ABH≌△FBE时，∠ABH=∠FBE=60°，
∴∠OBC=∠FBC=30°，∠CFB=90°=∠BOC，
∴△OBC≌△FBC，
∴OB=BF，
∴△OBH≌△FBH，
∴∠BOH=∠BFH=180°-120°-15°=45°，
∴∠BOH=∠BAE，
∵∠ABE=∠OBH=30°，BE=BH，
∴△ABE≌△OBH，
∴AB=OB，
但AB≠OB，
故△ABH与△FBE不全等，故④不符合题意；
故答案为：①②③．
16．如图，在正方形中，点，分别在边，上，且，交于点，交于点，的延长线交的延长线于点，且，连接．
（1）　 　．
（2）若，，则　 　．
【答案】（1）90°
（2）
【解析】【解答】（1）如图，连接，可
∵正方形
∴，．
∵
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
设，则，．
在中，，
即，
解得，（舍去），
∴，，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本题有8小题，第17题8分，第18～23题每题10分，第24题12分，共80分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知是四边形的边上一点，的垂直平分线分别交，于点，，交对角线于点，与交于点，连接，．
（1）如图1，若平分，求证：四边形是菱形．
（2）如图2，四边形是矩形，且，，若，求的长．
【答案】（1）证明：∵平分，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵，
∴．
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴．
由（1）可得四边形是菱形，
∴．
设，则．
∵，∴，
∴，即，
∴．
在中，，即，
解得，（舍去），
∴．
18．如图，在正方形ABCD中，，E为AB的中点，连接CE，作交射线AD于点F，过点F作交射线CD于点G，连接EG交AD于点H.
（1）求证：.
（2）求HD的长.
（3）如图2，连接CH，点P为CE的中点，Q为AF上一动点，连接PQ，当与四边形GHCF中的一个内角相等时，求所有满足条件的DQ的长.
【答案】（1）证明：四边形ABCD为正方形，
，.
，
，
，
，
，
.
（2）解：
为AB中点，，
，
.
，
，
，
.
，
，
，
.
（3）解：，
.
，
，
.
①如图2，
当时，
可得，
.
过点P作于点M
为中点，
，
，
，
.
②如图3，
当时，
，，
.，，
，，，.
③如图4，
当时，
，
.
，
，
.
过点M作于点N，
设，则.
.
在中，过点Q作于点J，
设.
，
.
综上所述，DQ的值为.
19．如图，两个全等的四边形和，其中四边形的顶点O位于四边形的对角线交点O．
（1）如图1，若四边形和都是正方形，则下列说法正确的有　 　．（填序号）
①；②重叠部分的面积始终等于四边形的；③．
（2）应用提升：如图2，若四边形和都是矩形，，写出与之间的数量关系，并证明．
（3）类比拓展：如图3，若四边形和都是菱形，，判断（1）中的结论是否依然成立；如不成立，请写出你认为正确的结论（可用表示），并选取你所写结论中的一个说明理由．
【答案】（1）①②③
（2）解：关系为，证明如下：
如图，在图2中，过点O作于点H，于点G
∵于点H， 于点G
∴
∵四边形和都是矩形
∴
∵，
∴
在和中
∴
∴
（3）解：（1）中结论，①成立，②③不成立，符合题意结论②重叠部分的面积始终等于四边形的；③．现证明①如下：
如图，在图3中，过点O作于点H，于点G
∵于点H， 于点G
∴
∵四边形和都是菱形
∴
∴
∵，
∴
在和中
∴
∴
【解析】【解答】（1）如图，在图1中，过点O作于点H，于点G
∵于点H， 于点G
∴
∵四边形和都是正方形
∴
∴
∵，
∴
在和中
∴
∴
故①符合题意
∵
∴
∴
故②符合题意
∵四边形是正方形
∴
∴
故③符合题意
20．综合与实践：
数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．
问题情境：在中，点P是边上一点．将沿直线折叠，点D的对应点为E．
“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P与点A重合，过点E作，与交于点F，连接，则四边形是菱形．
（1）数学思考：请你证明“兴趣小组”提出的问题；
（2）拓展探究：“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P为的中点时，延长交于点F，连接．试判断与的位置关系，并说明理由．
请你帮助他们解决此问题．
（3）问题解决：“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3，当点E恰好落在边上时，，，．则的长为　 　．（直接写出结果）
【答案】（1）解：证法一：由折叠得，，，
∵
∴
∴
∴
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是菱形．
证法二：
证明：由折叠得，，，
∵
∴
∴
∴
∴
∴四边形是菱形．
（2）解： ．
连接
由折叠可得，，
∵四边形是平行四边形
∴
又∵
∴
∵点P是的中点
∴
∴
∴
∴
∴
∴（SSS）
∴
又∵，即
∴
∴．
（3）
【解析】【解答】（3）解：延长BA、CP相交于点F，
由题意，△AFP∽△DCP
∴ 即
∴
∵∠DCP=∠ECP，∠DCP=∠F
∴∠F=∠ECP
∴EF=EC=DC=10
∴．
故答案为．
21．如图
（1）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE，判断线段DG与BE的数量关系并说明理由；
（2）如图2，四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝6，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE＝1：2，连接DG、BE．判断线段DG与BE又有怎样的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG，求2BG+BE的最小值．
【答案】（1）解：DG＝BE．
理由：
∵正方形ABCD，
∴CD＝CB，∠BCD＝90°，
∵正方形ECGF，
∴CG＝CE，∠ECG＝90°，
∴∠ECG＝∠BCD＝90°，
∴∠DCG＝∠BCE，
在△DCG和△BCE中，
，
∴△DCG≌△BCE（SAS），
∴DG＝BE．
（2）解：DG＝ BE．
理由如下：延长BE、GD相交于点H．
∵矩形ECGF、矩形ABCD，
∴∠ECG＝∠BCD＝90°，
∴∠DCG＝∠BCE，
∵CD：CB＝3：6＝1：2，
CG：CE＝1：2，
∴CD：CB＝CG：CE，
∵∠DCG＝∠BCE，
∴△DCG∽△BCE，
∴ ，∠BEC＝∠DGC，
∴DG＝ BE．
（3）解：作EN⊥BC于N，GM⊥BC交BC的延长线于M，
∴∠ENC＝∠CMG＝90°．
∵∠ECN+∠CEN＝90°，∠ECN+∠GCM＝90°，
∴∠CEN＝∠GCM．
∴△ECN∽△CGM，
∴ ＝2，
∵EN＝AB＝2，
∴CM＝1，
∴点G的运动轨迹是直线MG，
作点D关于直线GM的对称点G′，连接BG′交GM于G，此时BG+GD的值最小，最小值＝BG′．
由（2）知，DG＝ BE，
∴BE＝2DG，
∴2BG+BE＝2BG+2DG＝2（BG+DG），
∴2BG+BE的最小值就是2（BG+DG）的最小值．
∵BG′＝ ＝2 ，
∴2BG+BE的最小值为4 ．
22．在正方形中，点，分别在边，上，且．
（1）若点在边的延长线上，且，如图，求证：≌；
（2）若直线与，的延长线分别交于点，如图，求证：；
（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形如图，，，，请你直接写出的面积．
【答案】（1）证明：绕着点顺时针旋转，得到，
，，
，
，
在与中，
，
≌
（2）证明：设正方形的边长为．
将绕着点顺时针旋转，得到，连接．
则≌，．
由（1）知≌，
．
，
、、均为等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，，
；
（3）解：如图所示，延长交延长线于点，交延长线于点，
将绕着点顺时针旋转，得到，连接，．
由（1）知≌，
则由勾股定理有，
即
又，，，所以有，
即，
，，
，
是等腰直角三角形，
．
23．定义：若一动点P到一条线段的两个端点的距离满足，则称P为线段的点，但点P不是线段的点.
（1）如图1，在中，，，若点C是线段的点，求的长.
（2）如图2，在中，D是边上一点，连结，若点A分别是线段，线段的点.求证：C是线段的点（提示：证明与相似）.
（3）如图3，在菱形中，，，点E，F分别是，上的点，且满足.连结，若点E是线段的点.求的长.
【答案】（1）解：∵点C是线段的点，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵点A分别是线段，线段的点，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴C是线段的点；
（3）解：如图3中，在上截取，使得.
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵点E是线段的点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
即：，
∴，
∴.
24．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对矩形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
（1） [观察与猜想]
如图①，在正方形中，点E、F分别是、上的两点，连接、，，则的值为＝　 　；
（2）如图②，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，，且，则的值为　 　．
（3） [性质探究]
如图③，在四边形中，．点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F．求证：；
（4） [拓展延伸]已知四边形是矩形，，
如图④，点P是上的点，过点P作，垂足为O，点O恰好落在对角线上．求的值；
（5）如图⑤，点P是上的一点，过点P作，垂足为O，点O恰好落在对角线上，延长、交于点G．当时，　 　．
【答案】（1）1
（2）
（3）证明：过F作于K，如图：
，，
四边形是矩形，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（4）解：过O作于点M，于点N，如图：
，
四边形是矩形，
，，，
四边形是矩形，
，
于点O，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
同理，
，
，
；
（5）
【解析】（1）如图：
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：1；
（2）如图：
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，，
，
故答案为：；
（5）连接、，如图：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（4）知，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
故答案为：．
()

【中考压轴题专题训练】特殊平行四边形几何综合专题训练（含解析）