2023年 九年级数学中考一轮复习 相似三角形 综合复习训练题（含解析）

2023年春九年级数学中考一轮复习《相似三角形》综合复习训练题（附答案）
一、选择题
1．下列四组图形中，一定相似的是（　　）
A．正方形与矩形 B．正方形与菱形
C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形
2．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16
3．如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
4．已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n的值为（　　）
A．10+或5+2 B．15 C．10+ D．15+3
5．如图，在河两岸分别有A、B两村，现测得A、B、D在一条直线上，A、C、E在一条直线上，BC∥DE，DE＝90米，BC＝70米，BD＝20米，则A、B两村间的距离为（　　）
A．50米 B．60米 C．70米 D．80米
6．在平面直角坐标系中，点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为（　　）
A．（2m，2n）
B．（2m，2n）或（﹣2m，﹣2n）
C．（m，n）
D．（m，n）或（﹣m，﹣n）
7．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB＝12，BM＝5，则DE的长为（　　）
A．18 B． C． D．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（　　）
A． B． C． D．6
9．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为（　　）
A．4 B．2 C．3 D．2.5
10．如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：
①AC＝FG；②S△FAB：S四边形CBFG＝1：2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ AC，
其中正确的结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题
11．在比例尺为1：4000000的地图上，两城市间的图上距离为3cm，则这两城市间的实际距离为　 　km．
12．如果，那么＝　 　．
13．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（4，2），B（5，0），以点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为 　 　．
14．如图，在△ABC中，D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，H为AF与DG的交点．若AC＝6，则DH＝　 　．
15．如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC＝4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是　 　．
16．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F．若CD＝5，BC＝8，AE＝2，则AF＝　 　．
17．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝　 　里．
18．如图，点P1，P2，P3，P4均在坐标轴上，且P1P2⊥P2P3，P2P3⊥P3P4，若点P1，P2的坐标分别为（0，﹣1），（﹣2，0），则点P4的坐标为 　 　．
三．解答题
19．如图，四边形ABCD∽四边形GFEH，且∠A＝∠G＝70°，∠B＝55°，∠E＝120°，DC＝20，HE＝15，HG＝21．
（1）写出它们相等的角及对应边的比例式；
（2）求∠D，∠F的大小和AD的长．
20．如图所示，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，AF＝4，AB＝6．求AD的长．
21．如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且DE∥BC，AD：BD＝1：3．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若DE＝2，求BC的长．
22．如图所示，已知AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，AB＝4，CD＝6，BC＝14，P为BC上一点，试问BP为何值时，△ABP与△PCD相似？
23．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H．
（1）求证：AH AB＝AC2；
（2）若过A的直线与弦CD（不含端点）相交于点E，与⊙O相交于点F，求证：AE AF＝AC2．
24．边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P与A、C不重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，QP与BC交于点E，QP延长线与AD（或AD延长线）交于点F．
（1）连接CQ，证明：CQ＝AP；
（2）设AP＝x，CE＝y，试写出y关于x的函数关系式，并求当x为何值时，CE＝BC；
（3）猜想PF与EQ的数量关系，并证明你的结论．
25．在△ABC和△ADE中，BA＝BC，DA＝DE．且∠ABC＝∠ADE＝α，点E在△ABC的内部，连接EC，EB和BD，并且∠ACE+∠ABE＝90°．
（1）如图①，当α＝60°时，线段BD与CE的数量关系为　 　，线段EA，EB，EC的数量关系为　 　；
（2）如图②，当α＝90°时，请写出线段EA，EB，EC的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若BC＝2，请直接写出△BDE的面积．
参考答案
一、选择题
1．解：A、正方形与矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；
B、正方形与菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；
C、菱形与菱形，对应边比值相等，但是对应角不一定相等，故不符合题意；
D、正五边形与正五边形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意．
故选：D．
2．解：∵△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF相似比为1：4，
∴△ABC与△DEF的面积比＝（）2＝．
故选：D．
3．解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；
D、两三角形对应边成比例（4﹣1）：6＝（6﹣4）：4且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．
故选：C．
4．解：当3，4为直角边，6，8也为直角边时，此时两三角形相似，不合题意；
当三边分别为3，4，，和6，8，2，此时两三角形相似，不合题意舍去
当3，4为直角边，m＝5；则8为另一三角形的斜边，其直角边为：＝2，
故m+n＝5+2；
当6，8为直角边，n＝10；则4为另一三角形的斜边，其直角边为：＝，
故m+n＝10+；
故选：A．
5．解：∵BC∥DE，
∴△ABC∽△AED，
∴＝，即＝，
解得，AB＝70，
故选：C．
6．解：点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，
则点P的对应点的坐标为（m×2，n×2）或（m×（﹣2），n×（﹣2）），即（2m，2n）或（﹣2m，﹣2n），
故选：B．
7．解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝12，BM＝5，
∴MC＝12﹣5＝7．
∵ME⊥AM，
∴∠AME＝90°，
∴∠AMB+∠CMG＝90°．
∵∠AMB+∠BAM＝90°，
∴∠BAM＝∠CMG，∠B＝∠C＝90°，
∴△ABM∽△MCG，
∴＝，即＝，解得CG＝，
∴DG＝12﹣＝．
∵AE∥BC，
∴∠E＝CMG，∠EDG＝∠C，
∴△MCG∽△EDG，
∴＝，即＝，解得DE＝．
故选：B．
8．解：如图所示：在AB上取点F′，使AF′＝AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．
在Rt△ABC中，依据勾股定理可知BA＝10．
CH＝＝，
∵EF+CE＝EF′+EC，
∴当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小，最小值为
故选：C．
9．解：连接DO，
∵PD与⊙O相切于点D，
∴∠PDO＝90°，
∵∠C＝90°，
∴DO∥BC，
∴△PDO∽△PCB，
∴＝＝＝，
设PA＝x，则＝，
解得：x＝4，
故PA＝4．
故选：A．
10．解：∵四边形ADEF为正方形，
∴∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，
∴∠CAD+∠FAG＝90°，
∵FG⊥CA，
∴∠GAF+∠AFG＝90°，
∴∠CAD＝∠AFG，
在△FGA和△ACD中，，
∴△FGA≌△ACD（AAS），
∴AC＝FG，①正确；
∵BC＝AC，
∴FG＝BC，
∵∠ACB＝90°，FG⊥CA，
∴FG∥BC，
∴四边形CBFG是矩形，
∴∠CBF＝90°，S△FAB＝FB FG＝S四边形CBFG，②正确；
∵CA＝CB，∠C＝∠CBF＝90°，
∴∠ABC＝∠ABF＝45°，③正确；
∵四边形ADEF为正方形，
∴∠ADE＝∠QBD＝∠E＝90°，
∴∠ADC+∠QDB＝90°，
∵∠QDB+∠DQB＝90°，
∴∠FQE＝∠DQB＝∠ADC，
∵∠E＝∠C＝90°，
∴△ACD∽△FEQ，
∴AC：AD＝FE：FQ，
∴AD FE＝AD2＝FQ AC，④正确；
或：AD2表示正方形的面积；连接AQ，FQ×AC＝FQ×BC＝FQ×GF＝△AFQ面积的2倍（FQ为底，GF为高）＝△AFQ面积的2倍（AF为底，AD为高）＝正方形的面积，所以结论4是对的；
故选：D．
二．填空题
11．解：设这两城市的实际距离是x厘米，由题意，得：
1：4000000＝3：x，
解得：x＝12000000，
12000000厘米＝120km．
故答案为：120．
12．解：∵＝，
∴设x＝2k，y＝5k，
则＝＝＝．
故答案为：．
13．解：以点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，点A的坐标是A（4，2），
则点A的对应点A1的坐标为（4×，2×）或（﹣4×，﹣2×），即（2，1）或（﹣2，﹣1），
故答案为：（2，1）或（﹣2，﹣1）．
14．解：∵D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，
∴BE＝DE＝AD，BF＝GF＝CG，AH＝HF，
∴AB＝3BE，DH是△AEF的中位线，
∴DH＝EF，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴＝，即＝，
解得：EF＝2，
∴DH＝EF＝×2＝1，
故答案为：1．
15．解：作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，
∵△ABC的面积是6，
∴BC AH＝6，
∴AH＝＝3，
设正方形DEFG的边长为x，则GF＝x，MH＝x，AM＝3﹣x，
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴＝，即＝，解得x＝，
即正方形DEFG的边长为．
故答案为．
16．解：过O点作OM∥AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∴OM是△ABD的中位线，
∴AM＝BM＝AB＝，OM＝BC＝4，
∵AF∥OM，
∴△AEF∽△MEO，
∴＝，
∴＝，
∴AF＝，
故答案为．
17．解：EG⊥AB，FH⊥AD，HG经过A点，
∴FA∥EG，EA∥FH，
∴∠HFA＝∠AEG＝90°，∠FHA＝∠EAG，
∴△GEA∽△AFH，
∴．
∵AB＝9里，DA＝7里，EG＝15里，
∴FA＝3.5里，EA＝4.5里，
∴，
解得：FH＝1.05里．
故答案为：1.05．
18．解：∵点P1，P2的坐标分别为（0，﹣1），（﹣2，0），
∴OP1＝1，OP2＝2，
∵Rt△P1OP2∽Rt△P2OP3，
∴＝，即＝，
解得，OP3＝4，
∵Rt△P2OP3∽Rt△P3OP4，
∴＝，即＝，
解得，OP4＝8，
则点P4的坐标为（8，0），
故答案为：（8，0）．
三．解答题
19．解：（1）∵四边形ABCD∽四边形GFEH，
∴∠A＝∠G，∠B＝∠F，∠C＝∠E，∠D＝∠H，＝＝＝．
（2）∵四边形ABCD∽四边形GFEH，
∴∠C＝∠E＝120°，∠F＝∠B＝55°，＝，
∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝115°，∠F＝55°，
∴＝，
∴AD＝28．
20．解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
∴＝①．
∵EF∥CD，
∴△AEF∽△ACD．
∴＝②．
由①与②，得＝，
∴AD2＝AF AB＝4×6＝24．
∴AD＝2．
21．（1）证明：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
（2）解：∵△ADE∽△ABC，
∴＝．
∵AD：BD＝1：3，
∴AD：AB＝1：4，
∴＝．
又∵DE＝2，
∴BC＝4DE＝8．
22．解：（1）当△ABP∽△PCD时，，，得BP＝2或BP＝12；
（2）当△ABP∽△DCP时，，，BP＝5.6．
综合以上可知，当BP的值为2，12或5.6时，两三角形相似．
23．证明：（1）连接CB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
而∠CAH＝∠BAC，
∴△CAH∽△BAC，
∴，
即AH AB＝AC2；
（2）连接FB，易证△AHE∽△AFB，
∴AE AF＝AH AB，
∴AE AF＝AC2；
（也可连接CF，证△AEC∽△ACF）
24．（1）证明：如图1，∵线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BQ，
∴BP＝BQ，∠PBQ＝90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°．
∴∠ABC＝∠PBQ．
∴∠ABC﹣∠PBC＝∠PBQ﹣∠PBC，即∠ABP＝∠CBQ．
在△BAP和△BCQ中，
∵，
∴△BAP≌△BCQ（SAS）．
∴CQ＝AP；
（2）解：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠BAD＝45°，∠BCA＝∠BCD＝45°，
∴∠APB+∠ABP＝180°﹣45°＝135°，
∵DC＝AD＝2，
由勾股定理得：AC＝＝4，
∵AP＝x，
∴PC＝4﹣x，
∵△PBQ是等腰直角三角形，
∴∠BPQ＝45°，
∴∠APB+∠CPQ＝180°﹣45°＝135°，
∴∠CPQ＝∠ABP，
∵∠BAC＝∠ACB＝45°，
∴△APB∽△CEP，
∴，
∴，
∴y＝x（4﹣x）＝﹣x（0＜x＜4），
由CE＝BC＝＝，
∴y＝﹣x＝，
x2﹣4x+3＝0，
（x﹣3）（x﹣1）＝0，
x＝3或1，
∴当x＝3或1时，CE＝BC；
（3）解：结论：PF＝EQ，理由是：
如图2，当F在边AD上时，过P作PG⊥FQ，交AB于G，则∠GPF＝90°，
∵∠BPQ＝45°，
∴∠GPB＝45°，
∴∠GPB＝∠PQB＝45°，
∵PB＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，
∴△PGB≌△QEB，
∴EQ＝PG，
∵∠BAD＝90°，
∴F、A、G、P四点共圆，
连接FG，
∴∠FGP＝∠FAP＝45°，
∴△FPG是等腰直角三角形，
∴PF＝PG，
∴PF＝EQ．
当F在AD的延长线上时，如图3，同理可得：PF＝PG＝EQ．
25．解：（1）如图①中，
∵BA＝BC，DA＝DE．且∠ABC＝∠ADE＝60°，
∴△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAB＝∠EAC，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD＝EC，∠ABD＝∠ACE，
∵∠ACE+∠ABE＝90°，
∴∠ABD+∠ABE＝90°，
∴∠DBE＝90°，
∴DE2＝BD2+BE2，
∵EA＝DE，BD＝EC，
∴EA2＝BE2+EC2．
故答案为BD＝EC，EA2＝EB2+EC2．
（2）结论：EA2＝EC2+2BE2．
理由：如图②中，
∵BA＝BC，DA＝DE．且∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴∠DAB＝∠EAC，
∵＝，＝，
∴＝，
∴△DAB∽△EAC，
∴＝＝，∠ACE＝∠ABD，
∵∠ACE+∠ABE＝90°，
∴∠ABD+∠ABE＝90°，
∴∠DBE＝90°，
∴DE2＝BD2+BE2，
∵EA＝DE，BD＝EC，
∴EA2＝EC2+BE2，
∴EA2＝EC2+2BE2．
（3）如图③中，
∵∠AED＝45°，D，E，C共线，
∴∠AEC＝135°，
∵△ADB∽△AEC，
∴∠ADB＝∠AEC＝135°，
∵∠ADE＝∠DBE＝90°，
∴∠BDE＝∠BED＝45°，
∴BD＝BE，
∴DE＝BD，
∵EC＝BD，
∴AD＝DE＝EC，设AD＝DE＝EC＝x，
在Rt△ABC中，∵AB＝BC＝2，
∴AC＝2，
在Rt△ADC中，∵AD2+DC2＝AC2，
∴x2+4x2＝40，
∴x＝2（负根已经舍弃），
∴AD＝DE＝2，
∴BD＝BE＝2，
∴S△BDE＝×2×2＝2．

2023年 九年级数学中考一轮复习 相似三角形 综合复习训练题（含解析）