2022-2023安徽省蚌埠市五校联考九年级（下）第一次调研数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省蚌埠市五校联考九年级（下）第一次调研数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算的值为( )
A. B. C. D.
2. 二次函数图象的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
3. 如图，是从上面看一个几何体得到的图形，则该几何体可能是( )
A.
B.
C.
D.
4. 如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点的坐标为( )
A. B. C. D.
5. 如图，在正六边形转盘中，有两个正三角形涂有阴影，为可绕点自由转动的指针，转动指针若指针恰好停在分界线上，则重新转动，指针落在有阴影的区域内的概率为( )
A. B. C. D.
6. 关于的二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是( )
A. B. C. D.
7. 主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上长为，则满足的方程是( )
A. B. C. D. 以上都不对
8. “如果二次函数的图象与轴有两个公共点，那么一元二次方程有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若、是关于的方程的两根，且，则、、、的大小关系是( )
A. B. C. D.
9. 如图所示，在中，直径，弦于点，连接若：：，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，且与轴的正半轴交于点，点为该抛物线对称轴上一点，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
11. 如图，在中，是中点，，若的面积为，则的面积为 ．
12. 如图所示，在的方格纸中共有个小方格，每个小方格都是边长为的正方形，，分别是小正方形的顶点，则的长等于 结果保留根号及．
13. 如图，点是函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为点，点为轴上的一点，连接，，若的面积为，则的值为 ．
14. 已知抛物线，其中为实数．
若抛物线经过点，则______；
该抛物线经过点，已知点，，若抛物线与线段有交点，则的取值范围为______．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
15. 计算：．
四、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
在如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给的平面直角坐标系中：按要求作图并完成填空：
作出向下平移个单位的，写出点的坐标______；
作出绕点逆时针旋转的，写出点的坐标______．
17. 本小题分
为了解学生“最喜欢的课外读物类型”，学校对部分学生进行调查，并把调查信息进行整理，绘制成以下两幅不完整的统计图：每个学生只选一种类型其中表示文学类，表示科普类，表示动漫类，表示其他．请你根据统计图提供的信息，解答以下问题：
该校抽样调查的学生人数为______人，______，______．
请补全条形统计图．
小红同学喜欢文学类图书，小明喜欢科普类图书，小华喜欢动漫类图书，学校决定从这三位同学中随机抽取两名同学到校图书馆做“图书管理员”，抽中小红的概率是多少？
18. 本小题分
为了测量白塔的高度，在处用高为米的测角仪 ，测得塔顶的仰角为，再向白塔方向前进米，又测得白塔的顶端的仰角为，求白塔的高度参考数据，，，，结果保留整数
19. 本小题分
如图，四边形内接于，对角线与相交于点，直线与相切于点，交延长线于，弦．
求证：；
若，，求的半径．
20. 本小题分
如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点．点在反比例函数图象上，连接，交轴于点．
求反比例函数的解析式．
求的面积．
21. 本小题分
已知：如图，在中，，，垂足为点点在边上，联结，交于点，且．
求证：∽；
求证：的面积是的面积与的面积的比例中项．
22. 本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点在点的左侧，与轴交于点．
求直线的表达式；
垂直于轴的直线与抛物线交于点，，与直线交于点，若，结合函数的图象，求的取值范围．
23. 本小题分
如图，在平行四边形中，为的中点，点在边上，与交于点．
若为的中点．
求的值；
连接，若，求证：．
如图，若，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
故选：．
根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：二次函数是顶点式，
顶点坐标为，
故选：．
由于二次函数的顶点式为，其顶点坐标为，对照二次函数，即可求出．
本题考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，此题型是中考考查重点，需要熟练掌握．
3.【答案】
【解析】
【分析】
根据俯视图的定义，将各个选项中的几何体的俯视图的形状进行判断即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解俯视图的定义是正确判断的前提．
【解答】
解：由简单几何体的俯视图的意义，对选项中的各个几何体的俯视图的形状进行判断可得，
选项D中的几何体符合题意，
故选：．
4.【答案】
【解析】
【分析】
利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出点坐标．
此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．
【解答】
解：线段的两个端点坐标分别为，，以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，
端点的横坐标和纵坐标都变为点的一半，
点的坐标为：．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：正六边形被分成相等的部分，阴影部分占部分，
指针落在有阴影的区域内的概率为．
故选：．
根据概率公式求出即可．
本题考查了几何概率的知识，解题的关键是利用概率公式解答．
6.【答案】
【解析】解：当时，二次函数的图象开口向下，顶点在轴的负半轴；当时，反比例函数图象在第一、三象限，故选项A正确，选项D错误；
当时，二次函数的图象开口向上，顶点在轴的负半轴；当时，反比例函数图象在第二、四象限，故选项B错误，选项C错误；
故选：．
根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法和二次函数的性质、反比例函数的性质，可以判断哪个选项中的图象符合实际，从而可以解答本题．
本题考查反比例函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答．
7.【答案】
【解析】解：由题意知，点是的黄金分割点，且，米，则米，
，
，
故选：．
点是的黄金分割点，且，米，则米，即可求解．
本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
8.【答案】
【解析】解：依题意，画出函数的图象，如图所示．
函数图象为抛物线，开口向上，与轴两个交点的横坐标分别为，．
方程
转化为，
方程的两根是抛物线与直线的两个交点．
由，可知对称轴左侧交点横坐标为，右侧为．
由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，随增大而减少，则有；在对称轴右侧，随增大而增大，则有．
综上所述，可知．
故选：．
依题意画出函数图象草图，根据二次函数的增减性求解．
本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，考查了数形结合的数学思想．解题时，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，避免了繁琐复杂的计算．
9.【答案】
【解析】解：，
，
：：，
，
在中，，
，
，
故选：．
根据题意求出，根据勾股定理求出，根据垂径定理计算，得到答案．
本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：连接、，，作于，于，如图，
当时，，解得，，则，
，则，
，
而，
，
为等边三角形，
，
，
垂直平分，
，
，
当、、共线时，的值最小，最小值为的长，
而，
的最小值为．
故选：．
连接、，，作于，于，如图，解方程得到得，利用配方法得到，则，从而可判断为等边三角形，接着利用得到，利用抛物线的对称性得到，所以，根据两点之间线段最短得到当、、共线时，的值最小，最小值为的长，然后计算出的长即可．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路径的解决方法．
11.【答案】
【解析】解：，
∽，
是的中点，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由平行可知∽，且，再利用三角形的面积比等于相似比的平方可求得的面积．
本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：
，
，
，
，
由勾股定理得：，
则的长度为，
故答案为：．
求出的度数，求出、长，再根据弧长公式求出即可．
本题考查了等腰三角形、直角三角形、勾股定理和弧长公式等知识点，能熟记弧长公式是解此题的关键．
13.【答案】
【解析】解：轴，
，
，
而，
，
，
．
故答案为：．
利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的的值．
本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
14.【答案】
【解析】解：将代入得，
解得，
故答案为：．
将代入得，
解得，
，
抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，抛物线开口向上，顶点在点下方，
抛物线经过，
点在抛物线上方，
抛物线与线段无交点，
当时，抛物线开口向下，
，
抛物线顶点在点上方，
当点在抛物线上或抛物线上方时满足题意，
即，
解得，
故答案为：．
将代入解析式求解．
分类讨论，两种情况，将二次函数解析式化为顶点式，讨论点与顶点位置，点与抛物线的位置关系，进而求解．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，通过分类讨论求解．
15.【答案】解：
．
【解析】
【分析】
把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：如图所示．．
故答案为．
的即为所求，点的坐标为，
故答案为．
分别作出，，的对应点，，即可．
分别作出，，的对应点，，即可．
本题考查作图旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17.【答案】
【解析】解：抽样人数为人，
，即，
，即．
故答案为：，，；
类的人数为人，
类的人数为人，
补全图形如下：
画树状图如下：
由图知，共有种等可能结果，其中抽中小红的有种结果，
故抽中小红的概率为．
根据类的人数以及类所占的百分比即可求出总人数，根据类的人数以及总人数可求，进一步可求；
根据总人数以及类的百分比即可求出类的人数，进一步得到类的人数，从而补全条形统计图；
画树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．
本题考查的是列表法与树状图法，条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
18.【答案】
解：设，
在中，，
在中，，
由题意得，，
解得：，
故AB米．
答：这个电视塔的高度为米．
【解析】设，在中表示出，在中表示出，再由米，可得出关于的方程，解出即可得出答案．
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，难度一般．
19.【答案】证明：，
，
，
；
连接，，设与交于点，
直线与相切于点，
，
，
，
，
，
，
设的半径为，
在中，，
，
，
的半径为．
【解析】根据平行线的性质可得，再利用同弧所对的圆周角相等可得，即可解答；
连接，，设与交于点，利用切线的性质可得，从而可得，进而利用垂径定理可得，然后在中利用勾股定理可求出，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，圆内接四边形法的性质，切线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20.【答案】解：点，是反比例函数图象上的点，
，解得或舍去，
则，
点的坐标为，点的坐标为，
反比例函数的解析式为．
反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点，且．
点的坐标为，
设直线的函数关系式为，
把点，点分别代入得，解得，
直线的函数关系式为，
点的坐标为，
如图，分别过、作轴的垂线，垂足分别为点、点，
则，，
．
【解析】由点，是反比例函数图象上的点，可得，解得或舍去，所以，所以反比例函数的解析式为．
由反比例函数的对称性可知，点的坐标为，由点和点的坐标可求得直线的函数关系式为，所以点的坐标为，分别过、作轴的垂线，垂足分别为点、点，则，，由可求得的面积．
本题主要考查反比例函数与一次函数交点的问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积等知识，利用反比例函数上点的坐标特征求得反比例函数的解析式是解题关键．
21.【答案】证明：，，
，
，
，
，
，
∽；
过点作交的延长线于点，
，
∽，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
的面积是的面积与的面积的比例中项．
【解析】根据同角的余角相等得到，根据等腰三角形的性质得到，进而得到，根据相似三角形的判定定理证明结论；
过点作交的延长线于点，根据相似三角形的性质得到，根据相似三角形的面积公式计算，证明结论．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
22.【答案】解：由得到：，．
所以，，
设直线的表达式为：，
则，
解得，
所以直线的表达式为；
由得到：，
所以抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
，
．
，结合函数图象，
可得，即，
，即．
【解析】本题考查了二次函数综合题，属于中档题．
利用抛物线解析式求得点、的坐标，利用待定系数法求得直线的表达式即可；
由抛物线解析式得到对称轴和顶点坐标，结合函数图象解答．
23.【答案】解：如图，过点作交于，
，
，
，
为的中点，
，
，，
，
；
证明：如图，连接，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
；
证明：如图，在的延长线上取一点，使，连接，
则，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
．
【解析】过点作交于，根据平行线分线段成比例定理得到，，得出结论；
连接，证明四边形为平行四边形，得到，根据线段垂直平分线的性质证明结论；
在的延长线上取一点，使，连接，证明∽，根据相似三角形的性质证明即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
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