2023年四川省成都市新都区中考数学一诊试卷（含解析）

2023年四川省成都市新都区中考数学一诊试卷
A卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个答案是符合题目要求的）
1．﹣2023的倒数是（　　）
A．2023 B．﹣2023 C． D．
2．2023年春节假期全国国内旅游出游达308000000人次，同比增长23.1%．请你将308 000 000用科学记数法表示是（　　）
A．0.308×109 B．3.08×108 C．3.08×109 D．30.8×107
3．分别用一平面去截如图所示几何体，能得到截面是矩形的几何体共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下面计算正确的是（　　）
A．2x2+2x2＝4x4 B．（x﹣y）2＝x2﹣y2
C．﹣x2 （﹣x）2＝x4 D．（﹣2x2）3＝﹣8x6
5．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于直线y＝x对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣2，3） B．（3，﹣2） C．（﹣3，2） D．（﹣2，﹣3）
6．60°角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
7．甲，乙，丙，丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩（单位：环）统计如表：
甲 乙 丙 丁
平均数 9.6 9.5 9.5 9.6
方差 0.25 0.25 0.27 0.27
如果从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对于下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③9a+3b+c＜0；④对于任意的实数m，总有a+b≥am2+bm；其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．因式分解：2x3﹣8x＝　 　．
10．Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB＝　 　．
11．如图，若随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，则能让两灯泡同时发光的概率为 　 　．
12．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x﹣1＝0有两个不等实数根，则实数m的取值范围是 　 　．
13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k（x﹣1）的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，且OB＝2OA，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是 　 　．
三、解答题（本大题共6小题，共48分）
14．计算：2cos30°﹣|﹣2|+（π﹣3.14）0﹣（﹣）﹣1．
15．先化简，再求值：（+）÷，且x为满足﹣3＜x＜2的整数．
16．第31届世界大学生运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行，某校开展了“爱成都，迎大运”系列活动，增设篮球，足球，柔道，射击共四个课外活动项目．为了解全校1500名同学对增设的四个活动项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名同学，对他们喜爱的项目（每人限选一项）进行了问卷调查，将数据进行了统计，并绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题：
（1）参加问卷调查的同学共 　 　名，补全条形统计图；
（2）估计该校1500名同学中喜爱篮球运动的人数；
（3）学校准备组建一支校篮球队，某班甲，乙，丙，丁四名同学平时都很喜欢篮球运动，现决定从这四人中任选两名同学加入球队，请你用树状图或列表法求恰好选中甲，乙两名同学的概率．
17．如图，AB和CD是同一水平地面上的两座楼房，已知楼AB的高为20米，在楼AB的楼顶点A测得楼CD的楼顶C的仰角为37°，楼底D的俯角为30°，求楼CD的高．（结果保留根号，参考数据：sin37°＝，cos37°＝，tan37°＝）
18．《海岛算经》是中国最早的一部测量数学专著，也是中国古代高度发达的地图学的数学基础．某班数学兴趣小组利用《海岛算经》中第一个问题的方法进行如下测量：如图，要测量一栋建筑物的高度AH，立两根高3米的标杆BC和DE，两杆之间的距离BD＝19米，D，B，H成一线，从B处退5米到F，人的眼睛贴着地面观察A点，A，C，F三点成一线；从D处退6米到G，从G观察A点，A，E，G三点也成一线．请你帮助小组同学，试计算该建筑物的高度AH及HB的长．
19．在平面直角坐标系中，点A坐标为（4，3），反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交矩形ABOC的两边AC，AB于点E，F（点E，F不与点A重合），沿着EF将△AEF折叠，点A落在点D处．
（1）如图1，当点E为AC中点时，求点F的坐标，并直接写出EF与对角线BC的关系；
（2）如图2，当点E位置发生改变时，EF与BC是否存在（1）中的位置关系，请说明理由；
（3）如图3，连接CD，当CD平分∠ACO时，求出此时反比例函数的表达式．
B卷（共50分）一、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
20．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则|x1﹣x2|的值是 　 　．
21．如图，在正方形OABC中，OA＝1，二次函数y＝x2的图象过点O和点B，为了测算该二次函数的图象与边OA，AB围成的阴影部分面积，某同学在正方形OABC内随机投掷900个点，已知恰有300个点落在阴影部分内，据此估计阴影部分的面积为 　 　．
22．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的BC边落在y轴上，其它部分均在第一象限，双曲线y＝过点A，延长对角线CA交x轴于点E，以AD，AE为邻边作平行四边形AEFD，若平行四边形AEFD的面积为7，则k为 　 　．
23．如图，点A的坐标为（，3），点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为（k，4），则k的值为 　 　．
24．如图，在三角形△ABC中，∠BAC＝50°，AB＝AC，BD⊥AC于D，M，N分别是线段BD，BC上的动点，BM＝CN，当AM+AN最小时，∠MAD＝　 　．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
25．某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下：
燃油车 纯电新能源车
油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时
油价：8元/升 电价：0.6元/千瓦时
（1）设两款车的续航里程均为a千米，请用含a的代数式表示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用；
（2）若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元．
①请分别求出这两款车的每千米行驶费用；
②若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为4800元和8100元．问：每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
26．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣6，0），OA＝3OB＝OC，D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D做DG⊥AC于G．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求△ACD面积的最大值；
（3）连接BC，是否存在点D，使得△CDG中有一个角与∠BCO相等？若存在，请求出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
27．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，E是AD上的一个动点．
（1）如图1，连接BD，G是对角线BD的三等分点，且GD＝BD，连接GE．当GE＝GD时，求AE的长；
（2）如图2，连接BE，EC，过点E作EF⊥EC交线段AB于点F，连接CF，与BE交于点P．当BE平分∠ABC时，求PE的长；
（3）如图3，连接EC，点H在CD上，将△EDH沿直线EH折叠，折叠后点D落在EC上的点D'处，过点D'作D'N⊥AD于点N，与EH交于点M，且AE＝2．求△MD'H的面积．
参考答案
A卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个答案是符合题目要求的）
1．﹣2023的倒数是（　　）
A．2023 B．﹣2023 C． D．
【分析】根据倒数的定义解答即可．
解：﹣2023的倒数是﹣．
故选：D．
【点评】此题考查的是倒数的定义，乘积是1的两数互为倒数．
2．2023年春节假期全国国内旅游出游达308000000人次，同比增长23.1%．请你将308 000 000用科学记数法表示是（　　）
A．0.308×109 B．3.08×108 C．3.08×109 D．30.8×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：将308 000 000用科学记数法表示为：3.08×108．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．分别用一平面去截如图所示几何体，能得到截面是矩形的几何体共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用正方体、圆柱、三棱柱、圆锥、球体的结构特征解答即可．
解：用一个平面去截正方体、圆柱、三棱柱，都可以得到截面是矩形，
用一个平面去截圆锥、球体，不可以得到截面是矩形，
所以用一平面去截如图所示几何体，能得到截面是矩形的几何体共有3个．
故选：C．
【点评】本题考查了截一个几何体，熟练掌握正方体、圆柱、三棱柱、圆锥、球体的结构特是解题的关键．
4．下面计算正确的是（　　）
A．2x2+2x2＝4x4 B．（x﹣y）2＝x2﹣y2
C．﹣x2 （﹣x）2＝x4 D．（﹣2x2）3＝﹣8x6
【分析】根据合并同类项的法则，完全平方公式，同底数幂乘法的运算法则以及幂的乘方与积的乘方的运算法则分析判断即可．
解：A、2x2+2x2＝4x2，原式计算错误，故选项不符合题意；
B、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，原式计算错误，故选项不符合题意；
C、﹣x2 （﹣x）2＝﹣x2 x2＝﹣x4，原式计算错误，故选项不符合题意；
D、（﹣2x2）3＝﹣8x6，原式计算正确，故选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项的法则，完全平方公式，同底数幂乘法的运算法则以及幂的乘方与积的乘方的运算法则，熟记相关的运算法则是解题的关键．
5．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于直线y＝x对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣2，3） B．（3，﹣2） C．（﹣3，2） D．（﹣2，﹣3）
【分析】作PM⊥x轴于M，作QN⊥x轴于N，由等腰直角三角形的性质求出ON，QN的长，即可解决问题．
解：如图，点P（2，﹣3）关于直线y＝x对称的点是Q，连接PQ，交直线y＝x于B，交x轴于A，则直线y＝x垂直平分PQ，
作PM⊥x轴于M，作QN⊥x轴于N，
∵直线y＝x与坐标轴的夹角是45°，
∴∠AOB＝45°，
∴∠OAB＝45°，
∴△MAP是等腰直角三角形，
∴AP＝PM，PM＝AM，
∵P的坐标是（2，﹣3），
∴PM＝3，OM＝2，
∴PA＝3，AM＝3，
∴OA＝AM﹣OM＝2﹣2＝1，
∵△ABO是等腰直角三角形，
∴AB＝OA＝，
∴QB＝PB＝PA﹣AB＝，
∴AQ＝QB﹣AB＝2，
∵△AON是等腰直角三角形，
∴AN＝ON＝AQ＝2，
∴ON＝AN+AO＝3，
∴Q的坐标是（﹣3，2），
∴点P（2，﹣3）关于直线y＝x对称的点的坐标是（﹣3，2）．
故选：C．
【点评】本题考查坐标与图形变化—对称，关键是由轴对称的性质，等腰直角三角形的性质，求出ON，QN的长．
6．60°角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据60°角的余弦值为解答即可．
解：cos60°＝，即60°角的余弦值为，
故选：D．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记60°角的余弦值是解题的关键．
7．甲，乙，丙，丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩（单位：环）统计如表：
甲 乙 丙 丁
平均数 9.6 9.5 9.5 9.6
方差 0.25 0.25 0.27 0.27
如果从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
解：∵甲的平均分最高，方差最小，最稳定，
∴应选甲．
故选：A．
【点评】本题考查了方差，正确理解方差的意义是解题的关键．
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对于下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③9a+3b+c＜0；④对于任意的实数m，总有a+b≥am2+bm；其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点位置可判断结论①；把x＝1代入抛物线对称轴公式可判断结论②；由抛物线的对称性的值可判断结论③；由x＝1时，函数y取得最大值可判断结论④．
解：∵抛物线开口向下、对称轴在y轴右侧、抛物线与y轴交于正半轴，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，即2a+b＝0，故②正确；
∵对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的交点在点（﹣1，0）右侧，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（3，0）左侧，
∴当x＝3时，y＜0，
∴9a+3b+c＜0，故③正确；
∵当x＝m时，y＝am2+bm+c，当x＝1时，y＝a+b+c，
∵当x＝1时，函数值最大，
∴am2+bm+c≤a+b+c，
∴a+b≥am2+bm，故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数的开口方向，对称轴，图象与y轴交点，函数增减性并会综合运用是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．因式分解：2x3﹣8x＝　2x（x+2）（x﹣2）　．
【分析】先提公因式2x，分解成2x（x2﹣4），而x2﹣4可利用平方差公式分解．
解：2x3﹣8x＝2x（x2﹣4）＝2x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：2x（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．
10．Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB＝　　．
【分析】根据锐角三角函数的定义和勾股定理得出BC＝5a，AC＝12a，AB＝13a，进而得出答案．
解：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝＝，
设BC＝5a，则AB＝13a，AC＝＝12a，
∴tanB＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解决问题的前提，利用勾股定理求出AC是得出正确答案的关键．
11．如图，若随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，则能让两灯泡同时发光的概率为 　　．
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果和能让两盏灯泡同时发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
解：列表如下：
S1 S2 S3
S1 （S2，S1） （S3，S1）
S2 （S1，S2） （S3，S2）
S3 （S1，S3） （S2，S3）
由表格可知一共有6种等可能性的结果数，其中能让两灯泡同时发光的结果数有2种，
∴能让两灯泡同时发光的概率为．
故答案为：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
12．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x﹣1＝0有两个不等实数根，则实数m的取值范围是 　m＞﹣且m≠2　．
【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义得到Δ＝9﹣4（m﹣2）×（﹣1）＞0且m﹣2≠0，求出m的取值范围即可．
解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x﹣1＝0总有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且m﹣2≠0，
∴9﹣4（m﹣2）×（﹣1）＞0且m﹣2≠0，
∴m＞﹣且m≠2．
故答案为：m＞﹣且m≠2．
【点评】本题主要考查了根的判别式以及一元二次方程的意义的知识，解答本题的关键是熟练掌握方程有两个不相等的实数根，则根的判别式Δ＞0，此题难度不大．
13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k（x﹣1）的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，且OB＝2OA，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是 　y＝x﹣1　．
【分析】根据已知条件得到A（1，0），B（0，﹣k），因为OB＝2OA求得k＝2，所以一次函数的解析式为y＝2x﹣2，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB＝AF，根据全等三角形的性质得到AE＝OB＝2，EF＝OA＝1，求得F（3，﹣1），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，解方程组于是得到结论．
解：∵一次函数y＝k（x﹣1）的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，
∴B（0，﹣k），A（1，0），
∵OB＝2OA，
∴令x＝0，得y＝﹣1，令y＝0，则x＝，
∴A（，0），B（0，﹣1），
∴OA＝，OB＝1，
过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，
∵∠ABC＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AB＝AF，
∵∠OAB+∠ABO＝∠OAB+∠EAF＝90°，
∴∠ABO＝∠EAF，
∴△ABO≌△FAE（AAS），
∴AE＝OB＝1，EF＝OA＝，
∴F（，﹣），
设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线BC的函数表达式为：y＝x﹣1，
故答案为：y＝x﹣1．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共48分）
14．计算：2cos30°﹣|﹣2|+（π﹣3.14）0﹣（﹣）﹣1．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
解：2cos30°﹣|﹣2|+（π﹣3.14）0﹣（﹣）﹣1
＝2×﹣（2﹣）+1﹣（﹣3）
＝﹣2++1+3
＝2+2．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
15．先化简，再求值：（+）÷，且x为满足﹣3＜x＜2的整数．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
解：原式＝[+]÷
＝（+） x
＝x﹣1+x﹣2
＝2x﹣3
由于x≠0且x≠1且x≠﹣2
所以x＝﹣1
原式＝﹣2﹣3＝﹣5
【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
16．第31届世界大学生运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行，某校开展了“爱成都，迎大运”系列活动，增设篮球，足球，柔道，射击共四个课外活动项目．为了解全校1500名同学对增设的四个活动项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名同学，对他们喜爱的项目（每人限选一项）进行了问卷调查，将数据进行了统计，并绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题：
（1）参加问卷调查的同学共 　60　名，补全条形统计图；
（2）估计该校1500名同学中喜爱篮球运动的人数；
（3）学校准备组建一支校篮球队，某班甲，乙，丙，丁四名同学平时都很喜欢篮球运动，现决定从这四人中任选两名同学加入球队，请你用树状图或列表法求恰好选中甲，乙两名同学的概率．
【分析】（1）用喜爱足球的人数除以其所占的百分比可得参加问卷调查的同学的人数；用参加问卷调查的同学的人数分别减去喜爱篮球、足球、射击的人数，求出喜爱柔道的人数，补全条形统计图即可．
（2）根据用样本估计总体，用1500乘以参加问卷调查的同学中喜爱篮球运动的人数的百分比，即可得出答案．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数和恰好选中甲、乙两名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）参加问卷调查的同学的人数为12÷20%＝60（名）．
故答案为：60．
喜爱柔道的人数为60﹣18﹣12﹣14＝16（名）．
补全条形统计图如图所示．
（2）1500×＝450 （人）．
∴该校1500名同学中喜爱篮球活动的人数大约450人．
（3）画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
17．如图，AB和CD是同一水平地面上的两座楼房，已知楼AB的高为20米，在楼AB的楼顶点A测得楼CD的楼顶C的仰角为37°，楼底D的俯角为30°，求楼CD的高．（结果保留根号，参考数据：sin37°＝，cos37°＝，tan37°＝）
【分析】在题中两个直角三角形中，知道已知角和其邻边，只需根据正切值求出对边后相加即可．
解：延长过点A的水平线交CD于点E，则有AE⊥CD，四边形ABDE是矩形，
∴BD＝AE，DE＝AB＝20米．
∵BD＝＝20（米），
∴AE＝20米．
∴CE＝AE tan37°＝20×＝15（米）．
∴CD＝CE+ED＝（15+20）米．
答：楼CD的高是（15+20）米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，涉及到特殊角的三角函数值及等腰三角形的判定，熟知以上知识是解答此题的关键．
18．《海岛算经》是中国最早的一部测量数学专著，也是中国古代高度发达的地图学的数学基础．某班数学兴趣小组利用《海岛算经》中第一个问题的方法进行如下测量：如图，要测量一栋建筑物的高度AH，立两根高3米的标杆BC和DE，两杆之间的距离BD＝19米，D，B，H成一线，从B处退5米到F，人的眼睛贴着地面观察A点，A，C，F三点成一线；从D处退6米到G，从G观察A点，A，E，G三点也成一线．请你帮助小组同学，试计算该建筑物的高度AH及HB的长．
【分析】根据题意得出AHF∽△CBF，△EDG∽△AHG，进而利用相似三角形的性质求出即可．
解：由题意，得：AH⊥HG，CB⊥HG．
∴BC∥HA．
∴△AHF∽△CBF．
∴＝．
同理，△EDG∽△AHG，
∴＝．
又∵BC＝DE＝3米，
∴＝．
∵BF＝5米，BD＝19米，DG＝6米，
∴HF＝HB+BF＝HB+5．
∴HG＝HB+BD+DG＝HB+19+6＝HB+25．
∴＝，
解得：HB＝95．
∴＝，
解得：AH＝60．
答：该建筑物的高度AH为60米，HB长为95米．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，得出△FCB∽△FAH，△EDG∽△AHG是解题关键．
19．在平面直角坐标系中，点A坐标为（4，3），反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交矩形ABOC的两边AC，AB于点E，F（点E，F不与点A重合），沿着EF将△AEF折叠，点A落在点D处．
（1）如图1，当点E为AC中点时，求点F的坐标，并直接写出EF与对角线BC的关系；
（2）如图2，当点E位置发生改变时，EF与BC是否存在（1）中的位置关系，请说明理由；
（3）如图3，连接CD，当CD平分∠ACO时，求出此时反比例函数的表达式．
【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数表达式，得到EF分别为AC、AB的中点，进而求解；
（2）求出点F的坐标为（4，），得到AF＝3﹣＝，则＝＝＝，得到△AEF∽△ACB，即可求解；
（3）求出AD表达式，又因为CD平分∠ACO，C （0，3），得到AD的中点M的坐标，进而求解EF的表达式，进而求解．
解：（1）∵点E为AC中点，
由中点坐标公式得：E （2，3），
将点E的坐标代入反比例函数表达式得：3＝，
解得：k＝2×3＝6，
当x＝4时，y＝＝，即点F的坐标为（4，），
∴E、F分别为AC、AB的中点，
∴EF∥BC，EF＝BC；
（2）EF∥BC，理由如下：
将y＝3代入y＝，得x＝，
∴点E的坐标为（，3）
∴AE＝4﹣＝，
将x＝4代入y＝，得y＝，
∴点F的坐标为（4，），
∴AF＝3﹣＝，
∴＝＝＝，
又∵∠A＝∠A，
∴△AEF∽△ACB，
∴EF∥BC；
（3）在矩形ABOC中，B （4，0），C （0，3），
设直线BC的表达式为：y＝mx+n，则，
解得：，
故直线BC表达式为：y＝﹣x+3，
∵△AEF沿着EF折叠至△DEF，
∴AD⊥EF，
∵EF∥BC，
∴AD⊥BC，
∴设直线AD表达式为：y＝x+b，
将点A的坐标代入上式得4＝+b，
解得：b＝﹣，
∴AD表达式为：y＝x﹣，
又∵CD平分∠ACO，C （0，3），
∴CD表达式为：y＝﹣x+3
联立，解得，
∴D点坐标为（，）
∴AD的中点M的坐标为（，），
设直线EF表达式为：y＝﹣x+m，代入（，），
∴EF的表达式为：y＝﹣x+，
当x＝4时，y＝，
∴点F坐标为（4，），
∴k＝4×＝，
∴此时反比例函数的表达式为y＝．
【点评】本题考查的是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，翻折的性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
B卷（共50分）一、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
20．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则|x1﹣x2|的值是 　4　．
【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，原式利用完全平方公式变形后代入计算即可求出值．
解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣3，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝4+12＝16，
∴|x1﹣x2|＝＝4．
故答案为：4．
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
21．如图，在正方形OABC中，OA＝1，二次函数y＝x2的图象过点O和点B，为了测算该二次函数的图象与边OA，AB围成的阴影部分面积，某同学在正方形OABC内随机投掷900个点，已知恰有300个点落在阴影部分内，据此估计阴影部分的面积为 　　．
【分析】根据正方形的面积公式得到正方形OABC的面积＝1，根据阴影部分的面积占正方形OABC的面积的即可得到结论．
解：在正方形OABC中，OA＝1，
∴正方形OABC的面积＝1，
∵在正方形OABC内随机投掷900个点，已知恰有300个点落在阴影部分内，
∴阴影部分的面积＝正方形OABC的面积×＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，正方形的面积的计算，正确地求得阴影部分的面积占正方形OABC的面积的是解题的关键．
22．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的BC边落在y轴上，其它部分均在第一象限，双曲线y＝过点A，延长对角线CA交x轴于点E，以AD，AE为邻边作平行四边形AEFD，若平行四边形AEFD的面积为7，则k为 　7　．
【分析】延长CD，EF交于H，延长DA交x轴于G，延长AB交EF于N，根据题意得到△DHF≌△AGE≌△AEN，于是得到结论．
解：延长CD，EF交于H，延长DA交x轴于G，延长AB交EF于N，
则△DHF≌△AGE≌△AEN，
∴S四边形ABOE＝S四边形ADHE，
∴S四边形ABOG＝S四边形AEFD＝7，
∵双曲线y＝过点A，
∴k＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，矩形的性质，平行四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
23．如图，点A的坐标为（，3），点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为（k，4），则k的值为 　　．
【分析】过A点作AF⊥x轴于F，C作CD⊥x轴于点D，CE⊥AF于点E，则四边形DCEF是矩形，根据将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，可得△ABC是等边三角形，AB＝AC＝BC，由点A的坐标为（，3），C（k，4），有AC＝＝，而BD＝＝，FB＝＝，根据OF+BF+BD＝OD＝k，可得++＝k，解方程可得答案．
解：过A点作AF⊥x轴于F，C作CD⊥x轴于点D，CE⊥AF于点E，则四边形DCEF是矩形，如图：
∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，
∵点A的坐标为（，3），C（k，4），
∴CE＝k﹣＝FD，CD＝4，AF＝3，
∴AE＝EF﹣AF＝CD﹣AF＝1，
∴AC＝＝＝BC＝AB，
在Rt△BCD中，BD＝＝＝，
在Rt△AOB中，FB＝＝＝，
∵OF+BF+BD＝OD＝k，
∴++＝k，
设k﹣＝x，则+＝x，
化简变形得：3x4﹣46x2﹣49＝0，
解得x2＝﹣1（舍去）或x2＝，
∴x＝或x＝﹣（不符合题意，舍去），
∴k﹣＝，
∴k＝，
故答案为：．
【点评】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含k的代数式表示相关线段的长度．
24．如图，在三角形△ABC中，∠BAC＝50°，AB＝AC，BD⊥AC于D，M，N分别是线段BD，BC上的动点，BM＝CN，当AM+AN最小时，∠MAD＝　12.5°　．
【分析】在BC下方作△CNA'，使△CNA'≌△BMA，连接AA'，则AM+AN最小值为AA'，此时A、N、A'三点在同一直线上，推出∠A'AC＝∠A'＝＝37.5°，所以∠BAM＝37.5°，即可得到∠MAD＝∠BAC﹣∠BAM＝50°﹣37.5°＝12.5°．
解：在BC下方作△CNA'，使△CNA'≌△BMA，连接AA'．
则∠NCA'＝∠MBA，AM＝A'N．
∴AM+AN＝A'N+AN≥AA'，
即AM+AN最小值为AA'，此时A、N、A'三点在同一直线上．
∵∠BAC＝50°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝65°，
∵BD⊥AC，
∴∠ABD＝90°﹣50°＝40°，
∴∠NVA'＝40°，
∴∠ACA'＝65°+40°＝105°，
∴∠A'AC＝∠A'＝＝37.5°，
∴∠BAM＝37.5°，
∴∠MAD＝∠BAC﹣∠BAM＝50°﹣37.5°＝12.5°，
故答案为：12.5°．
【点评】本题考查了最短路线问题以及等腰三角形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
25．某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下：
燃油车 纯电新能源车
油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时
油价：8元/升 电价：0.6元/千瓦时
（1）设两款车的续航里程均为a千米，请用含a的代数式表示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用；
（2）若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元．
①请分别求出这两款车的每千米行驶费用；
②若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为4800元和8100元．问：每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
【分析】（1）根据表中的信息，可以表示出燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用；
（2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.55元和表中的信息，列出分式方程，解方程，即可解决问题；
②设每年行驶里程为x千米时，由年费用＝年行驶费用+年其它费用，列出一元一次不等式，解不等式即可．
解：（1）燃油车每千米行驶费用为＝（元），纯电新能源车每千米行驶费用为＝（元），
答：燃油车每千米行驶费用为元，纯电新能源车每千米行驶费用为元；
（2）①由题意得：﹣＝0.55，
解得：a＝600，
经检验，a＝600是分式方程的解，且符合题意，
∴＝0.64（元），＝0.09（元），
答：燃油车每千米行驶费用为0.64元，纯电新能源车每千米行驶费用为0.09元；
②设每年行驶里程为x千米时，买新能源车的年费用更低，
由题意得：0.64x+4800＞0.09x+8100，
解得：x＞6000，
答：当每年行驶里程大于6000千米时，买新能源车的年费用更低．
【点评】本题考查分式方程的应用、列代数式以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）正确列出代数式；（2）①找准等量关系，正确列出分式方程；②找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
26．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣6，0），OA＝3OB＝OC，D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D做DG⊥AC于G．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求△ACD面积的最大值；
（3）连接BC，是否存在点D，使得△CDG中有一个角与∠BCO相等？若存在，请求出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由S△ACD＝S△ADF+S△CDF，即可求解；
（3）①当∠BCO＝∠DCG，即∠1＝∠2时，证明△QMA∽△AOC，得到＝＝，进而求解；②当∠BCO＝∠CDG，即∠1＝∠3时，同理可解．
解：（1）∵OA＝3OB＝OC＝6，
故点B（2，0）、点C（0，﹣4），
设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则y＝a（x+6）（x﹣2）＝a（x2+4x﹣12），
即﹣12a＝﹣4，
解得：a＝，
∴y＝x2+x﹣4；
（2）过点D作DE⊥x轴于点E，交AC于点F．
∵A（﹣6，0），C（0，﹣4），
设直线AC的表达式为：y＝kx+b，
则，
解得：，
则直线AC的表达式为：yAC＝﹣x﹣4，
设D（x，x2+x﹣4），则F（x，﹣x﹣4），
则DF＝（﹣x﹣4）﹣（x2+x﹣4）＝﹣x﹣2x，
则S△ACD＝S△ADF+S△CDF＝DF |xC﹣xA|＝6×（﹣x﹣2x）＝﹣（x+3）2+9≤9，
∴当x＝﹣3时，△ACD面积的最大值为9；
（3）过点A作AC垂线交CD延长线于点Q，过点Q作QM⊥x轴于点M．
①当∠BCO＝∠DCG，即∠1＝∠2时，
∵∠5+∠6＝∠6+∠4＝90°，
∴∠5＝∠4，又∠QMA＝∠AOC＝90°，
∴△QMA∽△AOC，
∴＝＝，
又tan∠2＝＝tan∠1＝＝，
∴＝＝，
∴QM＝3，MA＝2，
∴Q（﹣8，﹣3）又C（0，﹣4），
∴直线QC的表达式：y＝﹣x﹣4，
联立得：，
解得：x＝0或x＝﹣，
∴x＝﹣；
②当∠BCO＝∠CDG，即∠1＝∠3时，
由①可知△QMA∽△AOC，
∴＝＝，
又∵DG⊥AC，QA⊥AC，
∴DG∥AQ，
∴∠3＝∠AQC，
∴tan∠AQC＝＝tan∠3＝tan∠1＝＝，
∴＝＝＝2，
∴QM＝12，MA＝8，
∴Q（﹣14，﹣12），
又∵C（0，﹣4），
∴直线QC的表达式：y＝x﹣4，
联立得：，
解得：x＝0或x＝﹣，
∴x＝﹣，
综上，存在，点D其横坐标为：﹣或﹣．
【点评】本题考查了二次函数综合题，运用待定系数法求函数解析式，二次函数最值应用，相似三角形的判定和性质，三角函数定义应用等知识点，解题关键是熟练应用待定系数法求函数解析式，应用解方程或方程组求点的坐标，应用二次函数最值求线段最大长度．
27．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，E是AD上的一个动点．
（1）如图1，连接BD，G是对角线BD的三等分点，且GD＝BD，连接GE．当GE＝GD时，求AE的长；
（2）如图2，连接BE，EC，过点E作EF⊥EC交线段AB于点F，连接CF，与BE交于点P．当BE平分∠ABC时，求PE的长；
（3）如图3，连接EC，点H在CD上，将△EDH沿直线EH折叠，折叠后点D落在EC上的点D'处，过点D'作D'N⊥AD于点N，与EH交于点M，且AE＝2．求△MD'H的面积．
【分析】（1）过点G作GF⊥AD于点F．求出DF，再利用等腰三角形是三线合一的性质求解；
（2）证明Rt△EAF≌Rt△CDE（HL）．推出AE＝DC＝6，推出AF＝DE＝10﹣6＝4，推出FB＝AB﹣AF＝2，过点P作PM⊥BC于点M，设PM＝BM＝x则MC＝10﹣x由△PMC∽△FBC得＝，构建方程求出x，可得结论；
（3）设HD＝HD'＝x，在Rt△HD'C中，D'C2+HD’2＝HC2，可得22+x2＝（6﹣x）2解得 x＝，再证明∠1＝∠3，∠2＝∠4，可得tan∠1＝tan∠3＝3，tan∠2＝tan∠4＝，过点H作KH⊥MD’于点K，设MK＝m，KH＝3m，KD'＝4m，得D’H＝5m，由HD'＝5m＝得m＝，可得结论．
解：（1）过点G作GF⊥AD于点F．
∵GD＝BD，
∴＝，
∵FG∥AB，
∴＝＝，
∴DF＝，
∵GD＝GE，
∴DE＝2DF＝，即AE＝10﹣；
（2）如图2中，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝45°，
∴AB＝AE，
又矩形ABCD中，DC＝AB，
∴AE＝DC，
∵EF⊥EC，
∴∠1+∠3＝90°，
又∠3+∠2＝90°，
∴∠1＝∠2，
∴Rt△EAF≌Rt△CDE（HL）．
∴AE＝DC＝6，
∴AF＝DE＝10﹣6＝4，
∴FB＝AB﹣AF＝2，
过点P作PM⊥BC于点M，
∵∠PBM＝45°，△PMB是等腰直角三角形，
设PM＝BM＝x则MC＝10﹣x
由△PMC∽△FBC得＝，即＝，得x＝，
在等腰Rt△PMB中，PB＝，
又EB＝＝＝＝6，
∴PE＝BE﹣BP＝．
（3）如图3中，
∵AE＝2，AD＝10，
∴DE＝8，
又DC＝6，
∴EC＝＝＝＝10，
由翻折得△EDH≌△ED'H，
∴HD'＝HD，ED'＝ED＝＝8，△HD'C是直角三角形，
∴D'C＝10﹣8＝2，
设HD＝HD'＝x，
在Rt△HD'C中，D'C2+HD’2＝HC2，
∴22+x2＝（6﹣x）2，
解得 x＝，
∴HD＝HD'＝，
在Rt△EDH中，tan∠3＝＝＝3，
在Rt△HD'C中，tan∠4＝＝＝，
∵ND'∥DC，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∴tan∠1＝tan∠3＝3，tan∠2＝tan∠4＝，
过点H作KH⊥MD’于点K，
设MK＝m，KH＝3m，KD'＝4m，得D’H＝5m，
由HD'＝5m＝，
∴m＝，
∴S△MD’H＝MD' HK＝ 5m 3m＝m2＝×（）2＝，
即S△MD’H＝．
【点评】此题是四边形和相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握判定两三角形相似的方法是解本题的关键．

2023年四川省成都市新都区中考数学一诊试卷（含解析）