河南省郑州市2022-2023下学期期中高二年级十校联考数学试题（含答案）

2022-2023学年下期高二年级期中考试题
数学学科
考试时间：120分钟
分值：150分
注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分。考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然
后在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡）。在试题卷上作答无效。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的，
1.若f(xo)=2,则lim-fo+@=().
Q+0
A.2
B.1
C.-2
D.-1
2.某村镇道路上有10盏照明路灯，为了节约用电，需要关闭其中不相邻
的4盏，但考虑行人夜间出行安全，两端的路灯不能关闭，则关灯方案的种数
有()
A.10
B.15
C.20
D.5
3.己知{a},{也}均为等差数列，4=5且b=0,b2=1,则数列{a+b,}
的前5项和为（)
A.35
B.40
C.45
D.50
4.在二项式(x-)的展开式中，含x项的二项式系数为()
A.15
B.-15
C.10
D.-10
5.若曲线y=在点()处的切线与直线1：2x-y+5=0垂直，则实数
a=().
A.1
B.-月
c
D.2
6.设等差数列a},)的前n项和分别是5，五，若号=密则会
()
A.
公
B.
c.吕
D.7
7.一个矩形铁皮的长为8cm,宽为5cm,在四个角上截去四个相同的小
正方形，制成一个无盖的小盒子，若记小正方形的边长为x(cm),小盒子的容
积为v(cm),则()
A.当x=1时，V有极小值
B.当x=1时，V有极大值
C.当x=时，V有极小值
D.当x=时，V有极大值
高二数学试题卷第1页（共4页）
8.如图，己知图形ABCDEF,内部连有线段.图中矩形总计有()个
A.75
B.111
C.102
D.120
9.设点P是函数f(x)=4V3x-f(1)x+f(2)图象上的任意一点，点P处
切线的倾斜角为a,则角a的取值范围是(
)
A.
B.0,)u[受π)
c.(,)
D.o,)）u(
10.己知函数f(x)=2x-ke*(2x+1),若3x∈(0，+o),使得f(xo)≥0成立，
则实数k的最大值是()
A.日
1
B.Je
C.
2e
D.7
1
ve
11.已知数列{an}各项均不为零，且a1=3,
an
_an-1=1(n≥
an+1-an
an-an-1
2且n∈N),若a21=43,则a,=()
A.19
B.20
C.22
D.23
12.若函数f(x)=lnx-ar与y=-1有3个交点，则实数a的取值范围是()
A.(0,1)
B.(0,]
C.（-1,)
D.（-1,0)U(0,1)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.盲盒常指装有不同公仔手办，但消费者不能提前得知款式的盒装玩具，
一般按系列贩售.它的随机性和一些隐藏款吸引着很多年轻人重复购买.小明
购买了6个冰墩墩单只盲盒，拆开后发现有2个相同的“竹林春熙”以及2个相
同的“冰雪派对”，“青云出岫”、“如意东方”各1个.小明想将这6个摆件排成
一排，要求相同的摆件相邻.若相同摆件视为相同元素，则一共有
种摆放方法
14.二项式(x+(x-)的常数项为
15.已知数列a1,e,}满足a=1,a.=1-,
2，
(2n-10(2n+0·i
数列{c,}的前n项和为工，若存在m使得T.>。对任意的neN,都成立，则正整
数m的最小值为
高二数学试题卷第2页（共4页）2022-2023 学年下期高二年级期中考试题
数学学科
一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求.
1-5 CDAAB 6-10 BBCDD 11-12 AD
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．24 14．10 15．3 16．（0,1）
三、解答题
17．
n
（1） (2x 1) 2 5展开式的第3项与第6 项的二项式系数相等， C =C ...........................1 n n 分
解得：n = 7，..............................................................................................................................2 分
n+3 10
2 2
x = x 展开式所有二项式系数之和为2
10 =1024 .....................................4 分
x x
10 r
2 r 10 r 2 r
（2） x 展开式通项公式为：Tr+1 = C10 (x) = ( 1) 2
r Cr x10 2r ；.........5 分 10
x x
设展开式第 r +1项的系数的绝对值最大，
2r Cr r 1 r 110 2 C10
则 ，.......................................................................7 分
2r Cr 10 2
r+1Cr+110
19 22
解得： r ，...............................................................................................8 分
3 3
又 r N， r = 7，..............................................................................................9 分
7 7 4
15360
展开式中，系数绝对值最大的项为T = 2 C x = .........................................10 分 8 10
x4
18．
S S
（1）由于a =1, n n 1
S a
= 2(n 2)， 1 = 1 =1，................................................1 分 1
n n 1 1 1
Sn
所以数列 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，.......................................................2 分
n
S
所以 n = 2n 1,Sn = 2n
2 n ，.......................................................................................3 分
n
当 n 2时， S = 2(n 1)2 (n 1) = 2n2 5n+3，................................................4 分 n 1
所以an = Sn Sn 1 = 4n 3(n 2)，.............................................................................5 分
a1也符合上式，所以an = 4n 3 ........................................................................................6 分
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an 4n 3（2）b = = ，...........................................................................................7n 分
2n 2n
1 5 4n 3
T = + + + ，...................................................................................8 分 n
2 22 2n
1 1 5 4n 3
Tn = + + + ，..........................................................................................9
2 22 23 2n+1
分
1 1 4 4 4n 3
两式相减得 T = + + + .....................................................................10 n 分
2 2 22 2n 2n+1
1
1 1 2
n 1
4n 3 5 1 4n 3 5 4n +5= + = = ，.........................................11 分
2 1 2n+1 2 2n 2 2n+1 2 2n+1
1
2
4n +5
所以T = 5 ........................................................................................................................12 分 n
2n
19．
（1）根据题意，可知四位“幸福数”中不能有 0，...............................................................................1 分
故只需在数字 1，2，3，…，9 中任取 4 个，将其从小到大排列，即可得到一个四位“幸福数”，......2 分
4
每种取法对应 1 个“幸福数”，则四位“幸福数”共有C =126个..........................................49 分
（2）对于所有的四位“幸福数”，1 在最高数位上的有 38 = 56个，............................................5 分
3
2 在最高数位上的有C = 35个，.......................................................................................................67 分
3 在最高数位上的有C
3
6 = 20个，......................................................................................................7 分
3
4 在最高数位上的有C =10个，..................................................................................................85 分
3
5 在最高数位上的有C = 4个..................................................................................................................94 分
因为56 + 35 + 20 + 10 + 4 = 125，..............................................................................................10 分
所以第 125 个四位“幸福数”是最高数位为 5 的最大的四位“幸福数”，为 5789...........................................12 分
20．
1 2
（1）当a =1时， f (x) = x + 2ln x 3x，
2
2 x2 3x + 2
f (x) = x + 3 = (x 0)，..................................................................................1 分
x x
令 f (x) = 0，解得 x =1或 x = 2，...................................................................................2 分
当 x 1或 x 2时， f (x) 0，当1 x 2时， f (x) 0 ，....................................................3 分
所以 f (x)在(0,1)和 (2,+ ) 上单调递增，在 (1,2)上单调递减，.....................................................4 分
5
所以 f (x)的极大值为 f (1) = ，极小值为 f (2) = 2ln 2 4 ..............................................................5 分
2
f (m) f (n)
（2）假设存在实数 a， 对任意的m ，n (0,+ )，且m n，都有 a 恒成立，
m n
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f (m) f (n)
不妨设0 n m， 若 a ，即 f (m)+ am f (n)+ an ..................................6 分
m n
1 1
g(x) = f (x)+ ax = x2 + 2a ln x (a + 2)x + ax = x2令 + 2a ln x 2x ..................................7 分
2 2
显然只要 g(x)在 (0,+ )为增函数即成立.................................8 分
2
2a x2 2x + 2a (x 1) 1+ 2a
因为 g (x) = x + 2 = = ，.......................................................9 分
x x x
要使 g(x)在 (0,+ )为增函数则 g (x) 0在 (0,+ )恒成立，..............................................................10 分
1
即只需 1+ 2a 0，则a ..................................................................................................................11 分
2
1
故存在a ，+ 满足题意．......................................................................................................12 分
2
21．
(1)解：由 an+1 = 3an 2an 1，
得 an+1 an = 2(an an 1 )， ，..............................................................1 分
又 a2 a1 = 2，则 an an 1 0，∴数列 an+1 an 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，......................2 分
当 时，a n 2 n 1n an 1 = 2 2 = 2 ，..........................................................3 分
则 an = (an an 1 )+ (an 1 an 2 )+ + (a2 a )+ a = 2n 1 + 2n 21 1 + + 21 +1= 2n 1，..................4 分
又当n =1时， a1 =1符合上式，.......................................................................5 分
∴a nn = 2 1．.......................................................6 分
(2)
由（1）得 = 4 log2( + 1)=4n，............................................7 分
1 1 1 1 1 1
2 = = = ( )........9 分 4 (4 )2 4 (4 2)(4 +2) 4 4 2 4 +2
1 1 1
∴ +
2 21 4 2 4
2
4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
( + + + + ) = ( ) = (1 ) < ．......................11 分
4 2 6 6 10 10 4 2 4 +2 4 2 4 +2 8 2 +1 8
1 1 1 1
故对一切 n *N ，有 2 + 2 2 < .....................................12 分 1 4 2 4 4 8
22．
xlnx + a a 1 a x a
(1)函数 f (x) = = lnx + ，定义域为 (0,+ ) , f (x) = = ，...............................................1 分
x x x x2 x2
（i）当 a 0时， f (x) 0, f (x)单调递增；......................................................................2 分
（ii）当 a>0时， x (0,a)时， f (x) 0, f (x)单调递减；
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x (a,+ )时， f (x) 0, f (x)单调递增，......................................................................4 分
综上，当a 0时， f (x)的单调递增区间为 (0,+ )，无单调递减区间；
当 a>0时， f (x)的单调递减区间为 (0,a)，单调递增区间为 (a,+ ) ...........................................5 分
(2)
1
由（1）知，当a =1时， f (x) = lnx + ，且 ( ) ≥ (1)=1........................................................6 分
x
所以 ln + 1 ≥ ,..................................................7 分
xlnx + a
( x因为 f x) = ，所以不等式 xf (x)+ e a 等价于 xlnx + e x 0，..................8 分
x
x
令 g (x) = x+ e x 1，则 g (x) =1 e x
e 1
= 0在 x 0时恒成立，................................9 分
ex
所以当 x 0时， g (x) g (0) = 0，..............................................................10 分
又 ln + 1 ≥ ，所以 ln + ≥ 1 + > 0,......................................................11 分
x
故 xlnx + e x 0，即 xf (x)+ e a .............................................................12 分
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