广东省东莞市第四高级中学2022-2023高三下学期数学第8周周测试题（含答案）

东莞四中高三数学周测试题（第8周）
一、单选题
1. 若集合，，满足：，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设在复平面内对应的点为，则“点在第四象限”是“”的（ ）
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
3. 设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
4. 函数的最小正周期不可能是（ ）
A. B. C. D.
5. 过抛物线的焦点作直线l，l交C于M，N两点，若线段中点的纵坐标为2，则（ ）
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
6. 甲、乙、丙、丁、戊名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有，，三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区且每个小区至少有一名志愿者. 则甲不在小区的概率为( )
A. B. C. D.
7. 函数恒有，且在上单调递增，则的值为（ ）
A. B. C. D. 或
8. 双曲线的下焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，若过A，B和点的圆的圆心在x轴上，则直线l的斜率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9．已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与不垂直的是（ ）
A． B． C． D．
10. 记正项等比数列的前n项和为，则下列数列为等比数列的有（ ）
A. B. C. D.
11. 已知正实数x，y满足，则（ ）
A. 的最小值为 B. 的最小值为8
C. 最大值为 D. 没有最大值
12．已知函数的定义域D关于原点对称，且，当时，；且对任意且，都有，则（ ）
A．是奇函数 B．
C．是周期函数 D．在上单调递减
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知空间中三点，则点A到直线的距离为__________．
14. 以下为甲、乙两组按从小到大顺序排列数据：
甲组：14，30，37，a，41，52，53，55，58，80；
乙组：17，22，32，43，45，49，b，56．
若甲组数据的第40百分位数和乙组数据的平均数相等，则__________．
15. 写出一个同时满足下列三个性质的函数__________．
①若，则；②；③在上单调递减．
正方体的棱长为2，O为底面ABCD的中心．
P为线段的中点，则过A，P，O三点的平面截此正方体
外接球所得的截面的面积为 .
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知正项数列前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）将数列和数列中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求的前50项和．
18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求；
（2）已知，求的面积．
19. 如图，在直三棱柱中，，E，F分别为的中点，且平面．
（1）求的长；
（2）若，求二面角的余弦值．
20. 在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层抽取的样本量分别. 第1层和第2层的平均值分别为，样本总平均值为. 第1层和第2层的方差分别为，样本总方差为. 我们可以证明.
（1）在对某校高三年级学生身高的调查中，采用分层随机抽样的方法，抽取了40名男生和60名女生，得到男生身高的平均数为172.3，方差为12.31. 女生身高的平均数为161.8，方差为37.36.
求该样本的总方差。
用表示第1层样本的各个个体的变量值，用表示第2层样本的各个个体的变量值.
（）求证：；
（）证明公式 成立
（提示：）Ⅰ
21. 已知椭圆的离心率为，其左焦点为．
（1）求的方程；
（2）如图，过的上顶点作动圆的切线分别交于两点，是否存在圆使得是以为斜边的直角三角形？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由．
22. 已知函数．
（1）讨论的极值点个数；
（2）若有两个极值点，且，当时，证明：．
参考答案
1.B 2. A 3. D 4. C 5. C 6. C 7. B 8. B 9．ABC 10. AB 11. AC 12. ACD
1. 【详解】由集合，，满足：，，如图所示：
，，
3.解：易知，，，所以.
4. 解：当，时，函数，最小正周期为，故选项A可能；
当，时，函数，最小正周期为，故选项B可能；
当，时，函数，最小正周期为，故选项D可能；
5. 解：由抛物线方程知焦点坐标为，
设直线的方程为，联立得，
设，，则，，
则，解得，
则，
6.解：先计算个人去个地方，且每个地方至少有一个人去，
人被分为，，或，，，
当个人被分为，，时，情况数为，
当个人被分为，，时，情况数为，共有．
所求甲不去，情况数多，反向思考，求甲去的情况数，最后用总数减即可，
当人被分为，，时，且甲去，甲若为，则，
甲若为，则，
共计种，
当人被分为，，时，且甲去，甲若为，则，
甲若为，则，共计种，
甲不在小区的概率为．
7.解：因为恒有，所以当时取得最大值，
所以，得.
因为在上单调递增，所以,即，得.
因为，所以.
因为在上单调递增，
所以,得.
所以，且，，解得，.故.
8. 解：由题意可知：，设，，的中点为，过点的圆的圆心坐标为，则，
由题意知：直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为：，
联立方程组，消元可得：，
则，，
由韦达定理可得：，，所以的中点的坐标，则，由圆的性质可知：圆心与弦中点连线的斜率垂直于弦所在的直线，所以，
整理可得： （*），则圆心到直线的距离，
由弦长公式可得：，
由垂径定理可得：，
也即，将（*）代入可得：
，即，
整理可得：，则，因为，
所以，则，故选：.
10. 解：由题意可得：等比数列的首项，公比，即，
对A：，且，即为等比数列，A正确；
对B：，且，即为等比数列，B正确；
对C：∵，则有：
，均不为定值，即不是等比数列，C错误；
对D：，均不为定值，即不是等比数列，D错误；
11. 解：因为x，y为正实数，且，所以.
所以，
当时，的最小值为，故A正确；
，
当且仅当时等号成立，故B错误；
，
当且仅当时等号成立，
故，即的最大值为，故C正确；
，
，
当且仅当，即时等号成立，所以.
所以有最大值，故D错误.
12.解: 对于A，令，
则，
所以函数是奇函数，故A正确；
对于B，由，得，
所以，则，
所以，故B错误；
对于C，由，得，
则，
则，即，
所以函数是以为周期的周期函数，故C正确；
对于D，令，则，
则，所以，
，所以，所以，
，
因为，所以，所以，即，
所以在上单调递减，故D正确.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 14. 100 15. （答案不唯一） 16.
14. 解：因为，甲组数据的第40百分位数为第四个数和第五个数的平均数，
乙组数据的平均数为，
根据题意得，
得，故
15. 解:比如，，故，又，也即成立，
又在上单调递减．故答案可为：.
16. 取的中点，因为P为线段中点，连接交与点，
所以，又，
所以，故过A，P，O三点的平面为平面，
取的中点，过作，垂足为，
又平面，平面，所以，
，平面，所以平面，
过球心作，则平面，
所以正方体的外接球的球心到截面的距离为的长，
又，
所以，因为为的中点，所以
故截面圆的半径为，所以截面圆的面积
17. （1）依题意，当时，，解得，
由，当时，有，
作差得：，所以，
因为，所以，
所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，所以.
（2）由（1）得，，又，同时，所以
所以
．所以的前50项和为2150．
18. （1）已知，
代入余弦定理，，
化简得：，所以．
（2）由正弦定理知即，
又，故
，
即，得，故（舍），
此时，，，
则的面积.
19. （1）∵面，又面，∴，
又∵F为的中点，∴，又在、中，，
易证得，故．，，
又，，故．
（2）以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意可知，
则，
不妨设是平面的一个法向量，
那么，即，
令，则．又面，
故是平面的一个法向量．
设为二面角所成平面角，则，
即二面角的余弦值为．
（1）由已知高三年级学生身高总平均数为，所以
（2）
（3）=
=
21. （1）由题意设焦距为，则，由离心率为，所以，
则，的方程为．
（2）不存在，证明如下：假设存在圆满足题意，当圆过原点时，直线与轴重合，
直线的斜率为0，不合题意．
依题意不妨设为：，
：，，，圆的半径为，
则圆心到直线的距离为，
即是关于的方程的两异根，此时，
再联立直线与椭圆方程得，
所以，即，得
所以，同理
由，得，
由题意，，即，此时
，
所以，因为，所以方程无解，命题得证．
22. （1）已知，则，
令，则，当时，，
所以在上单调增减，在上单调递增，
则，
①当时，恒成立，故在上无极值点；
②当时，，显然，
则在上有一个极值点，
又，
令，
故在上单调递增，又，则，则在上有一个极值点，
综上，当时，函数没有极值点；当时，函数有两个极值点．
（2）由（1）中知，则是方程的两根，
不妨令，则，令解得，
所以在单调递减，在单调递增，大致图像如图所示，
由图像可知当时，，，
下先证（*）
由，两边取对数得，作差得，
（*）等价于证明，
令，
，
故在上单调递增，从而，即证得，所以，
再证明，
令，
故在上单调递减，则，
所以，
再令，
则在上单调递增，故，
即证得．

广东省东莞市第四高级中学2022-2023高三下学期数学第8周周测试题（含答案）