福建省漳州市名校2022-2023高二下学期3月质量检测数学试题（含解析）

漳州名校高二年 3 月份教学质量检测数学科试卷
一、单项选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.）
π
1．设函数 f (x) 是函数 f (x) 的导函数，若 f (x) cos x，则 f （ ）
6
3 1 1 3A． B． C． 2 D．2 2 2
【答案】B
【分析】根据余弦函数的导数公式求解.
【详解】因为 f (x) cos x，
所以 f (x) sin x，
f π π 1所以 sin ，
6 6 2
故选：B.
2．在空间直角坐标系Oxyz中，与点 1,2,1 关于平面 xOz对称的点为（ ）
A． 1, 2,1 B． 1,2,1 C． 1, 2, 1 D． 1, 2, 1
【答案】A
【解析】因为点 1,2,1 ，则其关于平面 xOz对称的点为 1, 2,1 ．
故选：A．
3．下列函数中，在 (0， ) 内为增函数的是
A． y cos x B 3． y x x C． y x ln x D． y xex
【答案】D
【解析】因为函数 f (x)在 (0， ) 内为增函数，则 f (x) 0在 (0， ) 内恒成立．
又 y cos x 3， y x x， y x ln x x， y xe 的导数分别为
y sin x， y 3x2 1， y ln x 1， y ex (1 x)，因此只有选项 D 符合题意．故选 D．
4、正方体 ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1， BB1的中点，则异面直线 AE与 FC所成角的余弦值
为（ ）
A 5 B 4 5． ． C 2 5 D 2 5． ．
15 15 15 15
【答案】D
【解析】如图，建立空间直接坐标系，设正方体的棱长为 2，
因为 E，F分别为D1C1，BB1的中点，易知，A（2，0，0），E（0，1，2），

C（0，2，0），F（2，2，1），所以 AE ( 2,1,2)，CF (2,0,1)，

cos A E C F = - 2 5所以 = ．
|AE| |CF| 15
因为异面直线 AE与 FC所成角为锐角．
所以异面直线 AE与 FC 2 5所成角的余弦值为 ．故 A，B，C错误．
15
故选：D．
5．给出以下命题，其中正确的是（ ）
→ →
A．直线 l的方向向量为 = (1， 1，2)，直线 m的方向向量为 = (2，1， 1)，则 l与 m平行
→ →
B．直线 l的方向向量为 = (1， 1，1)，平面α的法向量为 = ( 2，2， 2)，则 l∥α
→ →
C．平面α、β的法向量分别为 1 = (0，1，3)， 2 = (1，0，2)，则α⊥β
65
D．已知直线 l过点 A（1，0，﹣1），且方向向量为（1，2，2），则点 P（﹣1，2，0）到 l的距离为
3
【解题思路】直接利用向量的共线，向量垂直的充要条件，点到直线的距离公式的应用判断 A、B、C、
D的结论．
→ →
【解答过程】解：对于 A：由于直线 l 的方向向量为 = (1， 1，2)，直线 m 的方向向量为 =
→ →
(2，1， 1)，则 ≠ ，故直线 l和直线 m不平行，故 A错误；
→ → → →
对于 B：直线 l的方向向量为 = (1， 1，1)，平面α的法向量为 = ( 2，2， 2)，则 ≠ 0，
故 B错误；
→ → → →
对于 C：平面α、β的法向量分别为 1 = (0，1，3)， 2 = (1，0，2)，则 1 2≠ 0，故 C错误；
→ →
对于 D：由于 A（1，0，﹣1），P（﹣1，2，0），则： = ( 2，2，1)，方向向量为 =（1，2，2），
→ → → 4
所以| | = 3，| → | = 3，故 = 9
16 65
9 = 3 ，故 D正确．| |
故选：D．
6．函数 f x x2 2x ex的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由函数 f (x) 有两个零点排除选项 A，C；再借助导数探讨函数 f (x) 的单调性与极值情况即可判断作答.
【详解】
由 f (x) 0 得， x 0或 x 2 ，选项 A，C 不满足；
2
由 f x x 2x ex求导得 f (x) (x 2 2)e x，当 x 2 或 x 2 时， f (x) 0 ，当 2 x 2 时，
f (x) 0 ，
于是得 f (x) 在 ( , 2) 和 ( 2, )上都单调递增，在 ( 2, 2)上单调递减，f (x) 在 x 2 处取极大值，
在 x 2 处取极小值，D 不满足，B 满足.
故选：B
f (x) x2 a ln x 27．若函数 在 1, 上为单调函数，则 a的取值范围为 ( )
x
A． , 2 B． 4, C． 0, D． , 4
(2) g (x) 2x a 2由题意得 ′ ＝ ＋ － .
x x2
①若 g(x)为[1，＋∞)上的单调增函数，则 g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，
即 a 2≥ －2x2在[1，＋∞)上恒成立，
x
设φ(x) 2＝ －2x2，x∈[1，＋∞)．
x
易知φ(x)在[1，＋∞)上单调递减，
∴在[1，＋∞)上，φ(x)max＝φ(1)＝0，
∴a≥0.
②若 g(x)为[1，＋∞)上的单调减函数，则 g′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，易知其不可能成立，不
符合题意．
综上，实数 a 的取值范围是[0，＋∞)．
8．已知定义在 R 上的函数 f x '满足 f x f x ，且 f 1 0，则关于 x的不等式 f x 0的解集为
（ ）
A． 2, B． ,1 C． , 2 D． 1,
【答案】D
【分析】
'
构造函数 g x 并求导，使得这个求导函数中出现 f x f x ，并由此知道此构造函数的单调性，将求
f x 0转换成求 g x 0的解集，由单调性解题即可.
【详解】
f '∵ x f x
'
∴ f x f x 0
∴构造函数 g x f x
ex
f '' x ex f x ex e
x f ' x f x
则 g x

ex 2 ex 2
'
∵ f x f x 0
g '∴ x 0 ， g x 为增函数
∴当 g x f x 0时， f x 0
ex
f x f 1
∴
ex
0
e1
， x 1
故选：D.
二、多项选择题：（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对得 5分，部分选对得 2分，有选错的得 0分.）
9．下列结论中不正确的是( )
A．

cos
π π
sin
3 3

B x sin x sin x x cos x．
C． e2x e2x
D．若 y sin x2 ,则y 2x cos x2
9．解析：AC
1
10．若直线 y x b b R 是曲线 y f x 的切线，则曲线 y f x 可以是（ ）
2
A． f x x3 2x2 8 B． f x tan x
C． f x xex D． f x ln 1
2x 1
【答案】AC
【分析】
1 1
由导数的几何意义可知曲线 y f x 某点处的导数值为 ，令 f x2 判断是否有解即可求解.2
【详解】
y 1 1因为直线 x b b R 是曲线 y f x 的切线，直线的斜率为
2 2
，
y f x 1所以 在某点处的导数值为 2 ，
3
对于 A：由 f x x 2x2 8可得： f x 1 3x2 4x，令 f x 3x2 4x ，
2
6x2 8x 1 0 82即 ，因为 4 6 1 0，所以 f x 1 有解，故选项 A 正确；
2
B f x tan x f x sin x对于 ：由 可得
cos 2 x sin 2 x 1
，
cos x cos 2 x cos 2 x
令 f x 1 1 2 可得 cos2 x 2无解，故选项 B 不正确；cos x 2
对于 C：由 f x xex可得 f x ex xex ex x 1 ，令 f x ex x 1 1
2
即 2x 2 e x ，作出 y 2x 2 和 y e x的图象：
所以 f x 1 有解，故选项 C 正确；
2
1 1 1
D 2x 1 0 x f x ln , 对于 ：由 可得 ，所以 的定义域为
2 2x 1 2
，

f x 1 2 2 1 5 1由 ln 可得 f x ，令 f x 可得 x 不满足 x ，所以
2x 1 2x 1 2x 1 2 2 2
f x 2 1 无解，故选项 D 不正确；
2x 1 2
故选：AC.
11．如图，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，以顶点 A为端点的三条棱长都是 1，且它们彼此的夹角都

是 60°，M为 A1C1与 B1D

1的交点，若 AB a, AD b, AA

1 c，则下列正确的是（ ）
1 1
A BM a b c B AC a

． ． b c
2 2 1

C AC 5 D cos AB, AC 6． 1的长为 ． 1 3
【答案】BD
【解析】根据题意，依次分析选项：

对于 A选项， BM BB1 B1M AA
1 BA BC 1 b 1 1 a c，A错误，2 2 2

对于 B选项， AC AB AD CC 1 1 a b c，B正确：
2
C AC

对于 选项， 1 a b c，则 AC1 (a b c)
2 a2 b2 c2 2a b 2a c 2b c 6，
则 AC1 6 ，C错误：

AB
AB A
对于 AC1 a a b c a2 a b a c 2，则 cosAB,AC1 C 1 6 AB AC 3 ，D正确． 1
故选：BD．
12、在正方体 ABCD﹣A'B'C'D'中，E为棱 DC上的动点，F为线段 B'E的中点．则以下结论正确的有：
（ ）
A. B'E⊥AD'；
B.直线 D'F与平面 ABB'A'的夹角不变；
C.点 F到直线 AB的距离不变；
D.点 F到 A，D，D'，A'四点的距离相等．
ABD
【解题思路】以 D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
【解答过程】解：以 D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
设正方体 ABCD﹣A'B'C'D'中棱长为 2，设 DE＝a（0≤a≤2，

则 E（0，a，0），B′（2，2，2），A（ 2，0，0），D′（0，0，2），F（1， + 1，1），B（ 2，2，
2
0），D（0，0，0），A′（2，0，2），
→ → → →
对于 A， ' =（﹣2，a﹣2，﹣2）， ' =（﹣2，0，2）， ' '=4+0+4＝0，∴B'E⊥AD'，故 A
正确；
→ →
对于 B， ' =（1， + 1， 1），平面 ABB'A'的法向量 =（1，0，0），
2
设直线 D'F与平面 ABB'A'的夹角为θ，
→
sinθ= | '
→
| 1
则 → = ，∵0≤a≤2，∴θ不是定值，故 B 错误；
| ' | |→ | 2+( 2+1)2
→ →
对于 C， =（﹣1， + 1，1）， =（0，2，0），
2
→ →
→ +2
点 F到直线 AB的距离 d＝| | 1 [ → → ]2 = 2 + ( + 1)2 1 ( )2 = 2，
| | | | 2 2+( 2+1)2 2
∴点 F到直线 AB的距离不变，故 C 正确；
对于 D，|AF|= ( 1)2 + ( 2+ 1)
2 + (1 2)2 = 2+ ( 22+ 1) ，
|DF|= 12 + ( 2 + 1)
2 + 1 = 2 + ( 2+ 1)
2，
|D′F|= 12 + ( 2+ 1)
2 + (1 2)2 = 2+ ( 22+ 1) ，
|A′F|= (2 1)2 + (0 1)2 + (2 1)22 = 2+ (

2+ 1)
2，
∴点 F到 A，D，D'，A'四点的距离相等，故 D正确．
故选：ABD．
三、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.）
13．已知空间三点 A(1,3, 2)， B(2,5,1) ，C( p,7,q 2)共线，则 p q ________．
【答案】9

14.已知空间四边形 ABCD的每条边和对角线的长都等于 1，点 E，F 分别是 BC，AD的中点，则 AE CF
的值为_________．
1
【答案】
2
【解析】
根据题意 ABCD为正四面体，

BC,BD,BA两两成60 角，
1
所以 AE BE BA BC BA，
2
1 1 CF BF BC BA BD BC，
2 2

所以 AE CF
1
( BC BA) 1 ( BA 1 BD BC)
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
．
4 2 4 2 2 2 2 2 2 2
1
故答案为：
2
15. 已知函数 f (x) ln x x2 f (1) ，则 f(x)的极值______.
【详解】因为 f (x) ln x x2 f (1) ，
所以 f (x)
1
2xf (1)，
x
将 x 1代入得 f (1) 1 2 f (1) ，
所以 f (1) 1，
所以 f (x) ln x x2 ，
x3－3x， x≤a，
16.已知函数 f(x)＝ －2x， x>a. 若 a＝0，则 f(x)的最大值为________；若 f(x)无最大值，则实数 a
的取值范围是________．
x3－3x，x≤0，
16. 2 (－∞，－1) 解析：若 a＝0，则 f(x)＝ 当 x>0 时，f(x)的值域为(－∞，0)；当 x≤0
－2x，x>0，
时，f(x)＝x3－3x，则 f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)·(x－1)，∴ 当 x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当 x∈(－1，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，∴ f(x)max＝f(－1)＝2，∴ f(x)的值域为(－∞，2].综上，f(x)
x3－3x，x≤a，
的值域为(－∞，2]，且最大值为 2；函数 f(x)＝ 当 x>a时 f(x)的值域为(－∞，－2a)，∴
－2x，x>a，
要使 f(x)无最大值，则需 x≤a时，f(x)的最大值小于－2a，由 f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)
知，当 a≤－1 时，f(x)在(－∞，a]上单调递增，f(x)max＝f(a)＝a3－3a，∴ a3－3a<－2a，解得 a<－1；当
a>－1 时，f(x)max＝f(a)或 f(－1)，∴ a3－3a<－2a且 2<－2a，无解．综上，要使 f(x)无最大值，则 a<－
1.
四、解答题（本题共 4个小题，共 48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．(本小题满分 10 分)
→ → → → → → →
已知： =（x，4，1）， =（﹣2，y，﹣1）， =（3，﹣2，z）， ∥ ， ⊥ ，求：
→ → →
（1） ， ， ；
→ → → →
（2） + 与 + 所成角的余弦值．
【解题思路】（1）由向量的平行和垂直可得关于 x，y，z的关系式，解之即可得向量坐标；
→ → → →
（2）由（1）可得向量 + 与 + 的坐标，进而由夹角公式可得结论．
→ →
【解答过程】解：（1）∵ ∥ ，
4 1
∴ = = ，
2 1
解得 x＝2，y＝﹣4，
→ →
故 =（2，4，1）， =（﹣2，﹣4，﹣1），
→ → → →
又因为 ⊥ ，所以 =0，即﹣6+8﹣z＝0，解得 z＝2，
→
故 =（3，﹣2，2）；
→ → → →
（2）由（1）可得 + =（5，2，3）， + =（1，﹣6，1），
→ → → →
设向量 + 与 + 所成的角为θ，
cosθ= 5 12+3则 = 2
38 38 19
．
18.(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) x3 3ax2 2bx在点 x 1处有极小值 -1.
(1) 求 a,b的值；
(2) 求函数 f(x)在区间 0，2 上的值域．
19．已知函数 f (x) e x 2ax(a R) .
(1)讨论函数 f (x) 的单调区间；
(2)当 x 2,3 时 f (x) 0 恒成立，求实数的 a的取值范围；
20．如图，在正三棱柱 ABC - A1B1C1 中，点D为 A1B的中点， AA1 3AB 2 3 ．
(1)证明： BC∥平面 AC1D；
(2)求平面 AC1D与平面 ABC所成二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
【分析】(1)根据线面平行判定定理证明即可.
(2)把 BC到平面 AC1D的距离转化为C到平面 AC1D的距离,应用空间向量法求解即可.
【详解】（1）连接 A1C交 AC1于点 E，点 E为 A1C的中点,点D为 A1B的中点
∵DE是 A1BC的中位线，
∴ BC∥DE， BC 平面 AC1D ,DE 平面 AC1D .
∴ BC∥平面 AC1D．
（2）如图建立空间直角坐标系
由（1）得，直线BC到平面 AC1D的距离即为点 C到平面 AC1D的距离 d，

因为 A 0, 1,0 ，C 0,1,0 D 3 1， , , 3 ，C1 0,1, 2 3 ，
2 2

所以 AC 0, 2,0 ，
3 1
且 AC1 0, 2,2 3 ， AD , , 32 2 ，
设平面 AC D n
r
1 的法向量为 x, y, z ，

AC n 1 0 y 3z 0
由于 可得 ，
AD n 0 3x y 2 3z 0

故取 n 1, 3, 1 ，
．
21．如图，四棱锥P ABCD中，底面 ABCD是边长为 2的正方形，PB BC，PD CD，且PA 2 ，
E为 PD的中点.
（1）求证： PA 平面 ABCD；
（2）求 PC与平面 ACE所成角的正弦值；
（3 2 5）在线段 BC上是否存在点 F，使得点 E到平面 PAF的距离为 ？若存在，确定点的位置；
5
若不存在，请说明理由．
1
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）存在，且点 E为线段 BC的中点.
3
【分析】（1）分别证明BC 平面 PAB，CD 平面 PAD，可得出 PA BC， PA CD，利用
线面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）以点A 为坐标原点， AB、 AD、 AP所在直线分别为 x、 y、 z轴建立空间直角坐标系，
利用空间向量法可求得结果；
（3）设点F 2, t,0 0 t 2 ，利用空间向量法可得出关于 t的方程，解出 t的值，即可得出结
论.
【详解】（1）因为四边形 ABCD为正方形，则BC AB，CD AD，
因为PB BC，BC AB， PB AB B， BC 平面 PAB，
PA 平面 PAB， PA BC，
因为 PD CD，CD AD，PD AD=D，\ CD ^ 平面 PAD，
PA 平面 PAD， PA CD，
BC CD C， PA 平面 ABCD；
（2）因为 PA 平面 ABCD， AB AD ，不妨以点A 为坐标原点， AB、 AD、 AP所在直线分
别为 x、 y、 z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
答案第 1页，共 4页
则 A 0,0,0 、C 2,2,0 、 P 0,0,2 、 E 0,1,1 ，

设平面 ACE的法向量为m x, y, z ，则 AC 2, 2,0 ， AE 0,1,1 ， PC 2,2, 2 ，
m A C 2x 2 y 0

由 ，取 y 1，可得m 1,1, 1 ，
m AE y z 0

cos m,PC m PC 2 1
m PC 3 2 3 3
，
所以， PC与平面 ACE 1所成角的正弦值为 ；
3

（3）设点F 2, t,0 0 t 2 ，设平面 PAF的法向量为 n a,b,c ，

AF 2,t ,0 ， AP 0,0,2 ，
n A F 2a tb 0

由 ，取 a t，则 n t , 2,0 ，
n AP 2c 0

AE n 2 2 5
所以，点 E到平面 PAF的距离为 d ， t 0， t 1 .
n t 2 4 5
因此，当点 F为线段BC 2 5的中点时，点 E到平面 PAF的距离为 .
5
a
22．（本题满分 12 分）已知函数 f (x) x (a 1) ln x 2,其中(a R)。
x
（1）当 a 0时，求 f (x)在 1，f (1) 处的切线方程；
（2）若 f (x) 存在唯一极值点，且极值为0 ，求 a的值；
（3）讨论 f (x) 在区间 1，e 上的零点个数。
25．
解：1）当 a 0时，求 f (x)在 1，f (1) 处的切线方程为 y=2x-3；
a
（2） f (x) x (a 1) ln x 2，定义域是 (0, )，x
f (x) 1 a a 1 (x 1)(x a)
x2
2 (x 0)，x x
①若 a 0 ，则当 x (0, )时， f (x) 0恒成立，
故 f (x) 在 (0, )单调递增，与 f (x)存在极值点矛盾，
②若 a 0时，则由 f (x) 0解得： x a，
故 x (0,a) 时， f (x) 0，当 x (a, ) 时， f (x) 0，
故 f (x) 在 (0,a)单调递减，在 (a, ) 单调递增，
故 f (x) 存在唯一极小值点 x a，
故 f a a 1 (a 1)ln a 2 (a 1)(1 ln a) 0，
故 a 1或 a e；
f (x) 1 a a 1 (x 1)(x a)(3)解： 2 2 (x 0)，x x x
① a 1时， f (x) 0在[1， e]上恒成立，
故 f (x) 在[1， e]上单调递增，
f a a（1） a 1 0， f （e） e a 1 (e 1)(1 ) 0，e e
由零点存在性定理， f (x) 在[1， e]上有 1 个零点；
②当1 a e 时，当 x [1， a)时， f (x) 0， x (a， e]时， f (x) 0，
f (x)在[1， a)上单调递减，在 (a， e]上单调递增，
f (x)min f （a） (a 1)(1 ln a) 0 ，此时 f (x) 在[1， e]上无零点；
③当a e时， f (x) 0在[1， e]上恒成立，
f (x)在[1， e]上单调递减，
f a（1） a 1 0， f （e） (e 1)(1 ) 0，e
f (x)在[1， e]上有 1 个零点；
综上：当1 a e 时， f (x) 在[1， e]上无零点，
当 a 1或 a e时， f (x) 在[1， e]上有 1 个零点．
【点睛】
本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及函数零点问题，考查转化思想，分
类讨论思想，是难题．漳州名校高二年 3 月份教学质量检测数学科试卷
一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.）
1．设函数 f (x) 是函数 f (x) 的导函数，若 f (x) cos x f
π
，则 （ ）
6
A 3
1 1 3
． B． C． 2 D．2 2 2
2．在空间直角坐标系Oxyz中，与点 1,2,1 关于平面 xOz对称的点为（ ）
A． 1, 2,1 B． 1,2,1 C． 1, 2, 1 D． 1, 2, 1
3．下列函数中，在 (0， ) 内为增函数的是（ ）
A． y cos x B 3． y x x C． y x ln x D． y xex
4、正方体 ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1， BB1的中点，则异面直线 AE
与 FC所成角的余弦值为（ ）
A 5 4 5 2 5 2 5． B． C． D．
15 15 15 15
5．给出以下命题，其中正确的是（ ）
→ →
A．直线 l的方向向量为 = (1， 1，2)，直线 m的方向向量为 = (2，1， 1)，则 l与 m平行
→ →
B．直线 l的方向向量为 = (1， 1，1)，平面α的法向量为 = ( 2，2， 2)，则 l∥α
→ →
C．平面α、β的法向量分别为 1 = (0，1，3)， 2 = (1，0，2)，则α⊥β
65
D．已知直线 l过点 A（1，0，﹣1），且方向向量为（1，2，2），则点 P（﹣1，2，0）到 l的距离为
3
6．函数 f x x2 2x ex的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
7．若函数 f (x) x2 a ln x 2 在 1, 上为单调函数，则 a的取值范围为 ( )
x
A． , 2 B． 4, C． 0, D． , 4
8．已知定义在 R上的函数 f x f '满足 x f x ，且 f 1 0，则关于 x的不等式 f x 0的解集为（ ）
A． 2, B． ,1 C． , 2 D． 1,
二、多项选择题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分.）
9．下列结论中不正确的是( )

A π π． cos 3
sin B． x sin x sin x x cos x
3
C． e2x e2x D．若 y sin x2 ,则y 2x cos x2
1
10．若直线 y x b b R 是曲线 y f x 的切线，则曲线 y f x 可以是（ ）
2
A． f x x3 2x2 8 B． f x tan x
C． f x xex D． f x ln 1
2x 1
11．如图，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，以顶点 A为端点的三条棱
长都是 1，且它们彼此的夹角都是 60°，M为 A1C1与 B1D1的交点，若
AB a, AD b, AA 1 c，则下列正确的是（ ）

A．BM
1 1
a b c B AC a ．
2 2 1
b c

C． AC 61的长为 5 D． cos AB, AC1 3
12、在正方体 ABCD﹣A'B'C'D'中，E为棱 DC上的动点，F为线段 B'E的中点．则
以下结论正确的有（ ）
A. B'E⊥AD'； B.直线 D'F与平面 ABB'A'的夹角不变；
C.点 F到直线 AB的距离不变； D.点 F到 A，D，D'，A'四点的距离相等．
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）
13.已知空间三点 A(1,3, 2) ， B(2,5,1) ，C( p,7,q 2)共线，则 p q ________．

14.已知空间四边形 ABCD的每条边和对角线的长都等于 1，点 E，F分别是 BC，AD的中点，则 AE CF
的值为_________．
15.已知函数 f (x) ln x x2 f (1) ，则 f(x)的极值为______.
x3 3x , x a
16.已知函数 f x , x a ,若 a＝0，则 f(x)的最大值为________；若 f(x)无最大值，则实数 a的取 2x
值范围是________．
四、解答题（本题共 4 个小题，共 48 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．(本小题满分 10 分)
已知： a x,4,1 ， b 2, y, 1 ， c 3, 2, z ， a //b，b c，求：
（1） a，b， c；
（2） a c与b c所成角的余弦值．
18.(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) x3 3ax2 2bx在点 x 1处有极小值 1 .
(1) 求 a,b的值；
(2) 求函数 f(x)在区间 0，2 上的值域．
19．（本题满分 12 分）如图，在正三棱柱 ABC - A1B1C1 中，点D为 A1B的中点， AA1 3AB 2 3 ．
(1)证明： BC∥平面 AC1D；
(2)求平面 AC1D与平面 ABC所成二面角的正弦值．
20．（本题满分 12 分）已知函数 f x e x 2ax a R .
(1)讨论函数 f (x) 的单调区间；
(2)当 x 2,3 时 f (x) 0恒成立，求实数的 a的取值范围．
21．（本题满分 12 分）如图，四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是边长为 2 的正方形，PB BC，
PD CD，且 PA 2 ，E为 PD的中点.
（1）求证：PA 平面 ABCD；
（2）求 PC与平面 ACE所成角的正弦值；
（3）在线段 BC上是否存在点 F，使得点 E到平面 PAF 2 5的距离为 ？若存在，确定点的位置；若
5
不存在，请说明理由．
f (x) x a22．（本题满分 12 分）已知函数 (a 1) ln x 2 , a R
x
（1）当 a 0时，求 f (x)在 1，f (1) 处的切线方程；
（2）若 f (x) 存在唯一极值点，且极值为 0 ，求 a的值；
（3）讨论 f (x) 在区间 1， e 上的零点个数．

福建省漳州市名校2022-2023高二下学期3月质量检测数学试题（含解析）