2022－2023中考专题之一证一求《与圆有关的证明与计算》（解析版+学生版）

【2023中考专题复习】
简单几何证明（一证一求）(解析版)
1．如图，在中，，垂足为D，，延长至E，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的周长和面积．
解（1）证明：∵，，
∴是的中垂线，
∴，
∴；
（2）解：在中，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
．
2．如图，是⊙O的内接三角形，是⊙O的直径，D是上一点，过D作交的延长线于点E，连接，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
解（1）证明：如图1，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：如图2，连接，
在中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴阴影部分的面积为．
3．如图，D是以为直径的O上一点，过点D的切线交的延长线于点E，过点B作交的延长线于点C，垂足为点F．
(1)证明；
(2)当，时，求的长．
解（1）证明：∵是⊙O的切线，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
∴．
∴；
（2）解：在中，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
在中，
∵，
∴．
4．如图，在中，，，在上取一点D，使，在上取一点E，使，作的外接圆，连接．
(1)求证：．
(2)求证：是的切线．
解（1）证明：∵，
∴，
∵
∴，
在与中，
，
∴；
（2）证明：连接，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1），
∴，
∵，∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
5．如图，四边形为矩形，对角线交于点，交延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
解（1）证明：四边形为矩形，
，，
，
四边形为平行四边形，
，
；
（2）解：四边形为平行四边形，
，
，
四边形为矩形，
，即是等腰三角形，
，
．
6．如图，点D为上一点，为的直径，延长到点A，连接，，并过点B作，交于点F，交的延长线于点C，已知恰好为的平分线．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求线段的长．
解（1）证明：如图1，连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又是的半径，
为的切线．
（2）如图2，连接，
，，，
，
设，则，
是的切线，
，
，
，解得，
，，
为直径，
，
，
，
，即，
．
7．如图，四边形是的内接四边形，为的直径，点B是弧的中点，在线段的延长线上取一点E，使.
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求线段的长．
解（1）∵为的直径，
∴，
∴，即，
∵点B是弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴为的切线；
（2）∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴在中，有，
又在中，有，
∴，即．
8．如图，直线l上摆放着直角三角形纸板，将三角板沿直线l向左平移到图中的三角板位置，P为与的交点．
(1)求证：；
(2)，，，求阴影部分的面积．
解（1）证明：∵将三角板沿直线l向左平移到图中的三角板位置，
∴，
∴；
（2）解：∵将三角板沿直线l向左平移到图中的三角板位置，
∴，，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积
．
9．如图，在中，的平分线分别与线段交于点F，E，与交于点G．
(1)求证：．
(2)若，求的长度．
解（1）证明：在平行四边形中，，
∴．
∵分别是的平分线，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴；
（2）解：过点C作交于K，交于点I，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵D，
∴．
10．如图，在中，，点O在边上，经过点C且与边相切于点E，D是的中点， ．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径及的长．
解（1）证明：如图，作，连接，
∵，D是的中点，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴，
即是的平分线，
∵点O在上，与相切于点E，
∴，且是的半径，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：在中，，
∴可设，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵D是的中点，
∴，
设的半径为r，则，，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得： ．
11．如图，四边形是矩形，对角线与交于点，过点作于点，作交延长线于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
解（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∵；
（2）证明：过点作交于点，
在矩形中，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
即．
12．如图，为的直径，过点B作的切线，连接，过点A作交于点D，连接交的延长线于点C．
(1)直线与相切吗？并说明理由；
(2)若，求的长．
（1）解：直线与相切，理由如下：
连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵过点B作的切线，，
∴，
∴，
∴，
所以与相切．
（2）连接，设，
∵，，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：．
13．如图，O是直线上一点，，过点A作于点C，过点B作于点D．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：在中，
，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
14．如图，内接于，为的直径，，，是等边三角形．
(1)求证：为的切线；
(2)连接交于点E，求线段的长．
（1）证明：连接 ，
为的直径
，
∵，,
∵是等边三角形
∴
∴
∴是的切线；
（2）解：∵，，,
∴，
∵是等边三角形
∴，
∴，
∴，
∴.
15．如图，是的直径，，点D是外一点，连接交于点，连接，，，已知．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求线段的长．
（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴是的切线；
（2）解：∵是的直径，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
16．已知为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D，交于点E．
(1)如图①，求证：平分；
(2)如图②，过B作交于点F，连接，若，，求的长．
（1）证明：连接，
，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：连接，，
，
在中，，，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
又，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，即，
解得．
17．如图，是的直径，点，是上两点，连结，，，平分，过点作，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求线段的长．
（1）证明：平分，，
，
，
，
，
，
，
在圆上，
是的切线；
（2）连接，，
∵为直径，
∴，
，
，即，
∵，
∴，即，
解得：（负值舍去），，
∵，∴，同理可得：，，
∵四边形内接于，
∴，又，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：．
18．如图，内接于⊙O，且．直线l过点C，，垂足为F，，垂足为G．
(1)求证：直线l是⊙O的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
（1）证明：如图，连接，
∵ ，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∵为半径，
∴直线l是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接．
∵是圆的直径，
∴
又∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
设，
则，，
解得：，
∴．
在中，，
得．
在中，．
∴．
19．如图，中，点E在边上，，将线段绕点A旋转到的位置，使得．连接，与交于点G．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
（1）证明：∵，
∴．
∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，
∴．
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
20．如图，中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接与交于点G．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
（1）证明：∵，
∴，即．
由旋转的性质得．
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，∴ ，
∴．
∵，
∴，
∴．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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【2023中考专题复习】
简单几何证明（一证一求）(解析版)
1．如图，在中，，垂足为D，，延长至E，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的周长和面积．
2．如图，是⊙O的内接三角形，是⊙O的直径，D是上一点，过D作交的延长线于点E，连接，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
3．如图，D是以为直径的O上一点，过点D的切线交的延长线于点E，过点B作交的延长线于点C，垂足为点F．
(1)证明；
(2)当，时，求的长．
4．如图，在中，，，在上取一点D，使，在上取一点E，使，作的外接圆，连接．
(1)求证：．
(2)求证：是的切线．
5．如图，四边形为矩形，对角线交于点，交延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
6．如图，点D为上一点，为的直径，延长到点A，连接，，并过点B作，交于点F，交的延长线于点C，已知恰好为的平分线．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求线段的长．
7．如图，四边形是的内接四边形，为的直径，点B是弧的中点，在线段的延长线上取一点E，使.
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求线段的长．
8．如图，直线l上摆放着直角三角形纸板，将三角板沿直线l向左平移到图中的三角板位置，P为与的交点．
(1)求证：；
(2)，，，求阴影部分的面积．
9．如图，在中，的平分线分别与线段交于点F，E，与交于点G．
(1)求证：．
(2)若，求的长度．
10．如图，在中，，点O在边上，经过点C且与边相切于点E，D是的中点， ．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径及的长．
11．如图，四边形是矩形，对角线与交于点，过点作于点，作交延长线于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
12．如图，为的直径，过点B作的切线，连接，过点A作交于点D，连接交的延长线于点C．
(1)直线与相切吗？并说明理由；
(2)若，求的长．
13．如图，O是直线上一点，，过点A作于点C，过点B作于点D．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
14．如图，内接于，为的直径，，，是等边三角形．
(1)求证：为的切线；
(2)连接交于点E，求线段的长．
15．如图，是的直径，，点D是外一点，连接交于点，连接，，，已知．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求线段的长．
16．已知为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D，交于点E．
(1)如图①，求证：平分；
(2)如图②，过B作交于点F，连接，若，，求的长．
17．如图，是的直径，点，是上两点，连结，，，平分，过点作，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求线段的长．
18．如图，内接于⊙O，且．直线l过点C，，垂足为F，，垂足为G．
(1)求证：直线l是⊙O的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
19．如图，中，点E在边上，，将线段绕点A旋转到的位置，使得．连接，与交于点G．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
20．如图，中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接与交于点G．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
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