浙江省余姚重点中学2022-2023高二下学期3月月考数学试题（含解析）

余姚重点中学2022-2023学年高二下学期3月月考
数学试卷
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 把4本不同的书分给3名同学，每个同学至少一本，则不同的分发数为（ ）
A 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（ ）
A. 0.92 B. 0.93 C. 0.94 D. 0.95
4. 正整数2160的不同正因数的个数为（ ）．
A. 20 B. 28 C. 40 D. 50
5. 如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（ ）
A. 23 条 B. 24 条 C. 25条 D. 26 条
6. 已知二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为，则该展开式中的系数为（ ）
A. B. C. D.
7. 六名同学排成一排照相，则其中甲 乙 丙三人两两不相邻，且甲和丁相邻的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 随机变量的分布列如下：
n
P a b c
其中a，b，c成等差数列，则（ ）
A. 与n有关，有最大值 B. 与n有关，有最小值
C 与n无关，有最大值 D. 与n无关，有最小值
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 若随机变量服从二项分布，则
B. 若随机变量服从正态分布，则
C. 若随机变量服从两点分布，，则
D. 若随机变量的方差，则
10. 甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A. 事件与事件相互独立 B.
C. D.
11. 已知正方体的棱长为为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为S，下列说法中正确的是（ ）
A. 当为线段中点时，S为等腰梯形
B. 当时，S与的交点满足
C. 当时，S为六边形
D. 三棱锥的体积为定值
12. 甲 乙两人进行围棋比赛，共比赛局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为，则（ ）
A B.
C. D. 的最大值为
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 今天是星期四，经过天后还是星期四，那么经过天后是星期______.
14. 某学校组织1200名学生进行“防疫知识测试”．测试后统计分析如下：学生的平均成绩为=80，方差为．学校要对成绩不低于90分的学生进行表彰．假设学生的测试成绩X近似服从正态分布（其中μ近似为平均数，近似为方差，则估计获表彰的学生人数为___________．（四舍五入，保留整数）
参考数据：随机变量X服从正态分布，则，，．
15. 设函数 ，，对任意，，不等式恒成立，则正数的取值范围是__________．
16. 半径为2的球面上有四点，且两两垂直，则，与面积之和的最大值为______．
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出相应的文字说明 证明过程或演算步骤.
17. 在二项式的展开式中．
（1）求该二项展开式中所有项的系数和的值；
（2）求该二项展开式中含项的系数；
（3）求该二项展开式中系数最大的项．
18. 为丰富师生课余文化生活，倡导“每一天健身一小时，健康生活一辈子”，深入开展健身运动，增强学生的身体素质和团队的凝聚力，某中学将举行趣味运动会.某班共有10名同学报名参加“四人五足”游戏，其中男同学6名，女同学4名.按照游戏规则，每班只能选4名同学参加这个游戏，因此要从这10名报名的同学中随机选出4名，记其中男同学的人数为.
（1）求选出的4名同学中只有女生的概率；
（2）求随机变量的分布列及数学期望.
19. 按要求解决下列问题，最后用数字作答.
（1）名男学生、名女学生和位老师站成一排拍照合影，要求位老师必须站正中间，队伍左、右两端不能同时是一男学生和一女学生，则总共有多少种排法？
（2）年月日是澳门回归祖国周年，某高校为庆祝澳门回归周年，特举行了澳门文化周启动仪式文艺晩会，已知该晩会共有个舞蹈类节目，个语言类节目，个歌曲类节目，若规定同类节目不能相邻出场，则不同的出场次序有多少种？
（3）地面上有并排的七个汽车位，现有红、白、黄、黑四辆不同的汽车同时倒车入库.当停车完毕后，恰有两个连续的空车位，且红、白两车互不相邻的情况有多少种？
20. 在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，且．
（1）求的值
（2）若，求周长的取值范围．
21. 如图，在四棱锥中，侧面底面，，且四边形为平行四边形，．
（1）求二面角的大小；
（2）点P在线段SD上且满足，试确定λ的值，使得直线BP与面PCD所成角最大．
22 已知.
（1）讨论的单调性；
（2）若，对，方程只有唯一实数根，求的取值范围.
余姚重点中学2022-2023学年高二下学期3月月考
数学试卷 答案解析
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 把4本不同的书分给3名同学，每个同学至少一本，则不同的分发数为（ ）
A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可知一名同学分得两本书，其余两名同学各分得一本书，利用排列组合数进行计算.
【详解】根据题意可知一名同学分得两本书，其余两名同学各分得一本书，不同的分发数为种.
故选：D
【点睛】本题考查简单的排列组合问题，属于基础题.
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用二倍角的余弦公式以及诱导公式可求得结果.
【详解】.
故选：A.
3. 已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（ ）
A. 0.92 B. 0.93 C. 0.94 D. 0.95
【答案】B
【解析】
【分析】根据甲乙两厂所占比例及对应的合格率，利用全概率公式算即可得解.
【详解】由甲乙两厂所占比例及对应的合格率可得，
故选：B
4. 正整数2160的不同正因数的个数为（ ）．
A. 20 B. 28 C. 40 D. 50
【答案】C
【解析】
【分析】将正整数2160分解质因数，由此确定其正因数的个数.
【详解】因为，所以其质因数属于集合，
该集合的元素个数为，
所以正整数2160的不同正因数的个数为40，
故选：C.
5. 如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（ ）
A. 23 条 B. 24 条 C. 25条 D. 26 条
【答案】D
【解析】
【分析】先假设是实线，计算出所有的最短路径的条数，然后减去经过的最短路径的条数，从而求得正确答案.
【详解】先假设是实线，
则从到，向上次，向右次，最短路径有条，
其中经过的，即先从到，然后到，最后到的最短路径有条，
所以，当不通时，最短路径有条.
故选：D
6. 已知二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为，则该展开式中的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用展开式二项式系数之和求出，再利用展开式的通项公式求解即可.
【详解】由二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为，可得，
则，
其展开式的通项公式为，
令，解得，则其该展开式中的系数是.
故选：A.
7. 六名同学排成一排照相，则其中甲 乙 丙三人两两不相邻，且甲和丁相邻的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】六名同学排成一排照相，共有中不同的排列方法，满足条件的共有种排法，得到概率.
【详解】六名同学排成一排照相，共有中不同的排列方法.
甲 乙 丙三人两两不相邻，且甲和丁相邻共有：
先确定除甲乙丙三人外的位置，共有种方式，再确定甲在丁的两边有种方式，最后将乙丙放入3个空中，（甲旁边不能放入），有种方式，
故共有种不同排法，故概率，
故选：D
8. 随机变量的分布列如下：
n
P a b c
其中a，b，c成等差数列，则（ ）
A. 与n有关，有最大值 B. 与n有关，有最小值
C. 与n无关，有最大值 D. 与n无关，有最小值
【答案】C
【解析】
【分析】求出的表达式，分析其与的关系，求最值即可．
【详解】依题意，，，所以，
．
，
所以，，
所以与无关，且当时，有最大值．
故选：．
【点睛】本题考查离散型随机变量的方差，二次函数的最值等，考查公式的应用能力与字母运算能力．本题属于中档题．
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 若随机变量服从二项分布，则
B. 若随机变量服从正态分布，则
C. 若随机变量服从两点分布，，则
D. 若随机变量的方差，则
【答案】AB
【解析】
【分析】根据二项分布的概率，正态曲线的对称性，两点分布的期望，方差的性质，即可分别求解.
【详解】对于A，若随机变量服从二项分布，则，故选项A正确.
对于B，若随机变量服从正态分布，则，
故，故选项B正确.
对于C，若，，，故选项C错误.
对于D，根据方差的计算公式，，则，故选项D错误.
故选：AB.
10. 甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A. 事件与事件相互独立 B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由题设求出、，利用条件概率公式、全概率公式判断B、C、D，根据是否相等判断事件的独立性判断A.
【详解】由题意，，，
若发生，此时乙袋有5个红球，3个白球和3个黑球，则，
若发生，此时乙袋有4个红球，4个白球和3个黑球，则，
若发生，此时乙袋有4个红球，3个白球和4个黑球，则，
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确；
对于A，，，
则，，，故A错误.
故选：BD.
11. 已知正方体的棱长为为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为S，下列说法中正确的是（ ）
A. 当为线段中点时，S为等腰梯形
B. 当时，S与的交点满足
C. 当时，S为六边形
D. 三棱锥的体积为定值
【答案】ABD
【解析】
【分析】通过空间想象结合图形可判断AC；建立空间直角坐标系，利用向量共面可得G点坐标，可判断B；根据三棱锥与三棱锥等体积，结合图形可知.
【详解】A中，当为线段中点时，易知，
所以，截面S为梯形，A正确；
如图建立空间直角坐标系，则，设，
因为四点共面，所以共面，
所以存在x，y使得
即，即，
解得，所以，B正确，
如图，当时，设，
在平面内作，交于点H，在平面作，交于点G，
则
由得，得
所以，A、E、F、G、H五点共面，即截面为五边形AEFGH，故C错误；
由图知，，D正确.
故选：ABD
12. 甲 乙两人进行围棋比赛，共比赛局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为，则（ ）
A. B.
C. D. 的最大值为
【答案】BC
【解析】
【分析】由题设可得，又，可得，结合各选项即可判断正误.
【详解】由题意知：要使甲赢得比赛，则甲至少赢局，，而，
∴，故C正确；
A： ，错误；
B：，正确；
D：当时，，由A知，显然的最大值不是，错误.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：由题设得到，利用二项式各项系数和的性质求.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 今天是星期四，经过天后还是星期四，那么经过天后是星期______.
【答案】五
【解析】
【分析】求出除以后的余数，可得结果.
【详解】因为，
且能被整除，
故除以后的余数为，
故今天星期四，经过天后还是星期四，那么经过天后是星期五.
故答案为：五.
14. 某学校组织1200名学生进行“防疫知识测试”．测试后统计分析如下：学生的平均成绩为=80，方差为．学校要对成绩不低于90分的学生进行表彰．假设学生的测试成绩X近似服从正态分布（其中μ近似为平均数，近似为方差，则估计获表彰的学生人数为___________．（四舍五入，保留整数）
参考数据：随机变量X服从正态分布，则，，．
【答案】27
【解析】
【分析】根据题意得到，结合原则和正态分布的对称性求出，求出获得表彰的学生人数.
【详解】由题意得：，
故，
所以．
故答案为：27.
15. 设函数 ，，对任意，，不等式恒成立，则正数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【详解】分析：当x＞0时，f（x）=e2x+，利用基本不等式可求f（x）的最小值，对函数g（x）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g（x）的最大值，问题转化为，可求正数的取值范围．
详解：∵当x＞0时，f（x）=e2x+≥2 ，
∴x1∈（0，+∞）时，函数f（）有最小值2e，
∵g（x）=，∴=，
当x＜1时，＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增，
当x＞1时，＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减，
∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e，
则有x1、x2∈（0，+∞），f（x1）min=2e＞g（x2）max=e，
∵不等式恒成立且k＞0，
∴，∴k≥1.
故答案为k≥1
点睛：（1）本题主要考查基本不等式、导数和恒成立问题，意在考查学生对这些问题的掌握能力和分析推理能力转化能力.(2)本题的关键是把问题转化为，这一步完成了，后面就迎刃而解了.
16. 半径为2的球面上有四点，且两两垂直，则，与面积之和的最大值为______．
【答案】8
【解析】
【分析】AB，AC，AD为球的内接长方体的一个角，故，计算三个三角形的面积之和，利用基本不等式求最大值．
【详解】如图所示，将四面体置于一个长方体模型中，则该长方体外接球的半径为2．
不妨设，，，则有，即．
记．
从而有，即，从而．
当且仅当，即该长方体为正方体时等号成立．从而最大值为8．
【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值问题，考查了学生解决交汇性问题的能力．解答关键是利用构造法求球的直径．
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出相应的文字说明 证明过程或演算步骤.
17. 在二项式的展开式中．
（1）求该二项展开式中所有项的系数和的值；
（2）求该二项展开式中含项的系数；
（3）求该二项展开式中系数最大的项．
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
【分析】（1）令，即可得该二项展开式中所有项的系数和的值；
（2）在通项公式中，令的幂指数等于4，求得的值，可得含项的系数；
（3）根据，求得的值，可得结论；
【详解】（1）令，可得该二项展开式中所有项的系数和的值为；
（2）二项展开式中，通项公式为，令，求得，
故含项的系数为．
（3）第项的系数为，由，求得，
故该二项展开式中系数最大的项为 ．
【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．
18. 为丰富师生的课余文化生活，倡导“每一天健身一小时，健康生活一辈子”，深入开展健身运动，增强学生的身体素质和团队的凝聚力，某中学将举行趣味运动会.某班共有10名同学报名参加“四人五足”游戏，其中男同学6名，女同学4名.按照游戏规则，每班只能选4名同学参加这个游戏，因此要从这10名报名的同学中随机选出4名，记其中男同学的人数为.
（1）求选出的4名同学中只有女生的概率；
（2）求随机变量的分布列及数学期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，数学期望：
【解析】
【分析】（1）应用组合数计数，结合古典概型概率求法求选出的4名同学中只有女生的概率；
（2）由题设知随机变量X的取值为0，1，2，3，4，进而求各值的概率，即可写出分布列，最后由分布列求期望即可.
【小问1详解】
由题设，设“选出的3名同学中只有女生”为事件A，则.
【小问2详解】
随机变量X的所有取值为0，1，2，3，4，
∴，，，，，
的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
E(Y)=.
19. 按要求解决下列问题，最后用数字作答.
（1）名男学生、名女学生和位老师站成一排拍照合影，要求位老师必须站正中间，队伍左、右两端不能同时是一男学生和一女学生，则总共有多少种排法？
（2）年月日是澳门回归祖国周年，某高校为庆祝澳门回归周年，特举行了澳门文化周启动仪式文艺晩会，已知该晩会共有个舞蹈类节目，个语言类节目，个歌曲类节目，若规定同类节目不能相邻出场，则不同的出场次序有多少种？
（3）地面上有并排的七个汽车位，现有红、白、黄、黑四辆不同的汽车同时倒车入库.当停车完毕后，恰有两个连续的空车位，且红、白两车互不相邻的情况有多少种？
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）分两种情况讨论：①队伍左、右两端是两名男生；②队伍左、右两端是两名女生.利用分步计数原理和分类计数原理可得结果；
（2）先考查歌曲类节目不相邻的排法种数，以及语言类节目相邻且歌曲类节目不相邻的排法种数，两者作差即可得解；
（3）根据题意，首先用捆绑法计算恰有两个连续空位必须相邻的排法种数，再计算红、白两辆车相邻且恰有两个连续空位必须相邻的排法种数，两者作差即可得解.
【小问1详解】
解：分以下两种情况讨论：
①若队伍左、右两端是两名男生，则不同的排法种数为种；
②若队伍左、右两端是两名女生，则不同的排法种数为种.
综上所述，总共有种不同的排法.
【小问2详解】
解：先考虑歌曲类节目不相邻，只需将个歌曲类节目插入其余个节目所形成的空中，
此时共有种不同的排法，
其次考虑语言类节目相邻且个歌曲类节目不相邻，只需将个语言类节目捆绑，
则只需将个语言类节目与舞蹈类节目插入个歌曲类节目形成中间的两个空位，
此时共有.
因此，不同的排法种数为种.
【小问3详解】
解：根据题意，分两步进行：
①首先将四辆车排列有种排法，
再把两个连续的空位捆绑与另一个空车位往辆车所形成的空位中插入，有种排法，
由乘法原理可知有种不同的排法；
②考虑红、白两辆车相邻且恰有两个连续的空车位，
将红、白两辆车捆绑，以及两个连续的空位捆绑，
先将红、白两辆车捆绑形成的“大元素”与其它两辆车进行排序，
然后将两个连续的空位捆绑与另一个空车位插入“大元素”与其它两辆车所形成的空位中，
此时，不同的排法种数为.
因此，符合条件的排法种数为种.
20. 在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，且．
（1）求的值
（2）若，求周长的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）代入，然后逐步化简，即可求解；
（2）由，得，，然后借助二倍角公式，即可求得周长的取值范围.
【小问1详解】
在中，由三角形面积公式得:，
由正弦定理得：，
整理得：，由余弦定理得：，
又，故．
【小问2详解】
因为，，由正弦定理得，
，
即的周长
，
因为，则，故，
所以，即的周长的取值范围是.
21. 如图，在四棱锥中，侧面底面，，且四边形为平行四边形，．
（1）求二面角的大小；
（2）点P在线段SD上且满足，试确定λ的值，使得直线BP与面PCD所成角最大．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件及余弦定理，利用线面垂直的性质定理及面面垂直的性质定理，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，分别求出平面和平面的法向量，再利用向量的夹角公式，结合向量的夹角与二面角的关系即可求解.
（2）根据（1）结论及向量的关系的得出坐标的关系，利用向量的夹角公式求线面角，结合二次函数的性质即可求解.
【小问1详解】
连接在，
由余弦定理得，，
解得，
所以，即.
因为侧面底面，平面底面，
所以面，面，
所以,．
以为原点,建立空间直角坐标系，如图所示
则．
设平面法向量为，
由，得，令，则，所以．
由面，得为平面的法向量，
即为平面的法向量．
设二面角为，则
所以．
因为二面角为锐角，所以．
所以二面角的大小为．
【小问2详解】
由（1）知，
设，得，
，所以，所以．
由（1）知平面的法向量为．
设直线BP与面PCD所成角为，则
.
所以当时，值最大，即当时，与平面所成角最大.
22. 已知.
（1）讨论的单调性；
（2）若，对，方程只有唯一实数根，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，对参数a分类讨论；
（2）构造函数，将原问题转化为曲线与曲线只有一个交点的问题.
【小问1详解】
， ，
当 时 无解， ，在上单调递增；
当 时，令 ，则 ，时 递减， 时 递增；
【小问2详解】
即，即，令，x > 0,
则原问题转化为：曲线 与直线 只有一个交点，求m的取值范围；
，令 ，即，
当 即时， 在上单调递减，
，前半部分时开口向下的二次函数，后半部分是对数函数，
当x趋于0时，趋于0，趋于，趋于，
当x趋于时，趋于，也趋于，所以趋于，
的值域是R，并且是单调的， 均满足题设方程有唯一实根；
当 即时， 有两个不等实数根，
易知 ，不妨取，
在和上单调递减，在单调递增，
对于 ，令 ，则 ，，同理可得 ，
，故在上单调递减，，
，故在上单调递增，，
函数 的大致图像如下图：
综上：要对，方程只有一个实数根，则 ；

浙江省余姚重点中学2022-2023高二下学期3月月考数学试题（含解析）