2023年广西南宁重点中学5校高考数学一模试卷（文科）（含解析）

2023年广西南宁重点中学5校高考数学一模试卷（文科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若，则( )
A. B. C. D.
2. 关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的是( )
A. 将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化
B. 样本数据、、、、、、、、、的中位数是或
C. 在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数的值越大，说明拟合的效果越好
D. 在调查影院中观众观后感时，从排中每排人数相同每排任意抽取一人进行调查是系统抽样法
3. 已知集合，，，则( )
A. B.
C. D.
4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.
B.
C.
D.
5. 已知函数的图象关于对称，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6. 小明想在个“冰墩墩”和个“雪容融”里随机选取两个吉祥物作为冬奥会纪念品，小明选取到个“冰墩墩”和个“雪容融”的概率( )
A. B. C. D.
7. 函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
8. 已知函数，且，在区间上有最小值，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
9. 如图，圆锥的轴截面为正三角形，点为顶点，点为底面圆心，过轴的三等分点靠近点作平行底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，此圆柱的下底面在圆锥的底面上，则所得圆柱的体积与原圆锥的体积之比为( )
A. ：
B. ：
C. ：
D. ：
10. 设函数在区间恰有三个极值点、三个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
11. 已知双曲线：，左焦点为，虚轴上端点为直线与双曲线交于，两点，直线与直线的倾斜角互补，且点满足，双曲线的离心率为，则( )
A. B. C. D.
12. 设，，，则( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知，与的夹角是，则在方向上的投影为 ．
14. 若，满足约束条件则的最小值为 ．
15. 设，为椭圆：的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 ．
16. 在中，，点在线段上，且，，则面积的最大值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
目前，改编自刘慈欣的三体动漫版正在站热播中，受到了广大学生和科幻迷的热烈追捧，南宁某中学对一年级的全体学生共人，其中男生人，女生人是否观看进行了问卷调查，得到各班观看人数如下表所示：
班 班 班 班 班 班 班 班 班 班
男生
女生
根据表格完成下列列联表；
观看 没观看 合计
男生
女生
合计
判断是否有的把握认为观看该影片与性别有关附：，．
18. 本小题分
记为数列的前项和已知．
证明：是等比数列；
记，求前项和的最小值．
19. 本小题分
已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，，，，，为中点，过，，的平面截四棱锥所得的截面为．
若与棱交于点，画出截面，保留作图痕迹不用说明理由，并证明．
求多面体的体积．
20. 本小题分
设抛物线：的焦点为，点，过的直线交于，两点当直线垂直于轴时，．
求的方程；
若点，，过点的动直线交抛物线于、，直线交抛物线于另一点，连接并延长交抛物线于点证明直线与直线的斜率之和为定值．
21. 本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若，是方程的两个不等实根，且，证明：．
22. 本小题分
已知曲线的参数方程是是参数，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
写出曲线的极坐标方程；
若点，，在曲线上，求的值．
23. 本小题分
已知，，，证明：
；
．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
则，
故．
故选：．
根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：对于，将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数减小，方差不变，所以选项A错误；
对于，样本数据按从小到大顺序排列为、、、、、、、、、，所以中位数是，选项B错误；
对于，刻画回归模型的拟合效果时，相关指数的值越大，说明拟合的效果越好，选项C正确；
对于，调查影院中观众观后感时，从排中每排人数相同每排任意抽取一人进行调查是简单随机抽样，不是系统抽样法，选项D错误；
故选：．
根据平均数与方差、中位数和线性相关系数，以及抽样方法的定义，对选项的问题分析与判断即可．
本题考查了对平均数与方差、中位数和线性相关系数，以及抽样方法的理解与判断问题，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：集合，
，
或，
则．
故选：．
求出集合，，进而求出，由此能求出．
本题考查集合的运算，考查交集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：由三视图知，该几何体是平行六面体，底面是矩形，矩形长为，宽为，看作底面为四边形的四棱柱，则四棱柱的高为，如图所示：
计算该几何体的体积为．
故选：．
由三视图知该几何体是平行六面体，结合图中数据求解即可．
本题考查了利用三视图求几何体的体积问题，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：函数，
且的图象关于对称，
所以，，
解得，．
又，
所以当时，取最小值，即．
故选：．
化函数为正弦型函数，根据的图象关于对称列方程求出的值，再求的最小值．
本题考查了正弦函数的图象和性质、三角恒等变换应用问题，也考查了逻辑推理、数学运算核心素养．
6.【答案】
【解析】解：设个“冰墩墩”为，，个“雪容融”为，，，
在个“冰墩墩”和个“雪容融”里随机选取两个吉祥物作为冬奥会纪念品，
所有可能为，，，，，，，，，，共个，
其中小明选取到个“冰墩墩”和个“雪容融”为，，，，，，共个，
故所求的概率为．
故选：．
根据已知条件，结合列举法，以及古典概型的概率计算公式，即可求解．
本题主要考查古典概型的概率计算公式，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为函数的定义域为关于原点对称，
又，
所以函数为偶函数，则函数的图象关于轴对称，所以选项A，C错误，
因为，故D正确，B错误，
故选：．
利用函数的奇偶性以及函数值即可判断求解．
本题考查了函数的图象，涉及到函数的奇偶性，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：，
因为，
所以，解得，
所以，，，
所以在，上，单调递减，
在上，单调递增，
所以，
所以实数的取值范围为，
故选：．
求导得，由，得，分析的符号，的单调性，再结合在区间上有最小值，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：设圆锥轴截面的边长为，则圆锥的底面半径为，高为，
由题意可知，，则圆柱的底面半径为，高为，
圆柱的体积为，
圆锥的体积为，
圆柱的体积与原圆锥的体积之比为：．
故选：．
由题意设圆锥轴截面的边长为，分别求得圆锥和圆柱的底面半径与高，进一步求得体积，则答案可求．
本题考查了柱体和锥体体积的计算，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，
又因为在区间恰有三个极值点、三个零点，
由正弦函数的图象可得：，
解得．
故选：．
由题意可得，求解即可．
本题考查了三角函数的图象，关键点是由函数和题意列出不等式组，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由，虚轴上端点为，，
，
点满足，
点是线段的中点．
设，，
则，，
相减可得：，
，
化为：，
，
，
解得，
故选：．
由，虚轴上端点为，可得，进而得出根据点满足，可得点是线段的中点．设，，分别代入双曲线方程可得，，相减化简整理即可得出结论．
本题考查了双曲线的标准方程及其性质、斜率计算公式、中点坐标公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：，，
，令，，
则，故在上单测递减，
可得，即，所以；
，令，，
则
令，所以，
所以在上单调递增，可得，即，
所以在上单调递增，可得，即，所以．
故．
故选：．
与比较大小，构造函数，；与比较大小，构造函数，，通过单调性即可比较．
本题考查导数的应用，考查利用单调性比较大小，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：已知，与的夹角是，
则在方向上的投影为，
故答案为：．
结合在方向上的投影为，然后求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的投影的运算，属基础题．
14.【答案】
【解析】解：作出可行域，如图所示：
由题意可得，在点处取最小值，
由，可得，即，
所以．
故答案为：．
作出可行域，找出的最优解，代入即可得答案．
本题考查了简单的线性规划，作出可行域是关键，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由条件可知四边形为矩形，
设，，则可得，，
所以，
即，即四边形的面积为．
故答案为：．
由条件可知四边形为矩形，设，，利用椭圆定义和勾股定理可求得，从而得面积．
本题主要考查椭圆的定义及其应用，四边形面积的计算等知识，属中档题．
16.【答案】
【解析】解：在中，，点在线段上，且，，
设，，，
，
整理得：，
又，
整理得：，
，
即，
，
，
，
当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为．
故答案为：．
根据余弦定理，结合基本不等式，转化求解三角形面积的最大值即可．
本题考查了余弦定理和基本不等式的应用，属于中档题．
17.【答案】解：根据表格完成下列列联表，如下：
观看 没观看 合计
男生
女生
合计
，
有的把握认为观看该影片与性别有关．
【解析】由各班观看人数表格能完成列联表．
求，从而有的把握认为观看该影片与性别有关．
本题考查独立检验等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】证明：已知，，
当时，，
当时，，，
得：，
所以常数，
故数列：是以为首项，为公比的等比数列．
解：由得：．
所以，
故，
当或时，的最小值为．
【解析】直接利用数列的递推关系求出数列为等比数列；
利用的结论和对数的运算求出数列的和，进一步求出最小值．
本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，对数的运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
19.【答案】解：延长交于，连接交于，连接，
如图，四边形为截面，
证明：中，，由，则为的中点，为的中点，
过作交于，则，，
∽，，
，即，．
，
，，
．
【解析】延长交于，连接交于，连接，可得截面，可证∽，进而易证结论；
利用，可求多面体的体积．
本题考查截面的作法，考查体积的求法，属中档题．
20.【答案】解：直线垂直于轴时，，可得的横坐标为，又因为，由抛物线的性质可得，解得，
所以抛物线的方程为：；
证明：由题意之直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，设，，
联立，整理可得，
，即，，，可得，
直线的方程为，即，代入抛物线的方程，可得，
可得，即，，即的纵坐标，
同理可得的纵坐标，
所以，
即证得为定值．
【解析】由抛物线的性质可得的表达式，由题意可得的值，即求出抛物线的方程；
设直线的方程，与抛物线的方程联立，求出两根之和及两根之积，求出直线的方程，与抛物线的方程联立，可得的纵坐标，讨论可得的纵坐标，求出直线，的斜率之和，整理可证得其值为定值．
本题考查抛物线的性质的应用及直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
21.【答案】解：当时，函数，，则，
所以切线的斜率为，
又，
所以切线的方程为，即．
因为，是方程的两个不等实数根，，且，，
则，即，
所以，即，
令，则，
则，
令，
，
令，
则，
所以在上单调递增，
所以，即，
所以在，上单调递增，
所以，
所以，
所以，
所以．
【解析】当时，函数，求导得，由导数的几何意义可得切线的斜率为，又，进而可得切线方程为，化简，即可得出答案．
由于，是方程的两个不等实数根，，且，，则，即，进而可得，即，令，则，则，令，求导分析单调性，极值，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
22.【答案】解：曲线的参数方程是是参数，转换为直角坐标方程为，再根据，转换为极坐标方程．
点，，在曲线上，
故．
【解析】直接利用转换关系，把曲线的参数方程转换为直角坐标方程，再转换为极坐标方程；
利用极径的关系式，根据三角函数的关系式的变换求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的关系式，三角函数的关系式的变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
23.【答案】解：证明：由柯西不等式可得：，当且仅当取等号；
证明：，
由于，则，
即，故．
【解析】由柯西不等式即可；
由均值不等式以及立方和公式即可．
本题考查基本不等式、柯西不等式，以及基本的代数变形，属于基础题．
第1页，共1页

2023年广西南宁重点中学5校高考数学一模试卷（文科）（含解析）