2023年甘肃省高考数学一诊试卷（文科）（含解析）

2023年甘肃省高考数学一诊试卷（文科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则子集的个数为( )
A. B. C. D.
2. 复数，在复平面内对应的点关于虚轴对称，若，为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3. 若，则( )
A. B. C. D.
4. 已知是定义域为的奇函数，当时，，则( )
A. B. C. D.
5. “稻草很轻，但是他迎着风仍然坚韧，这就是生命的力量，意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”当读到这些话时，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了名学生进行调查，得到了这名学生一周的平均阅读时间单位：小时，并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图，则从这名学生中随机抽取一人，周平均阅读时间在内的频率为( )
A. B. C. D.
6. 已知焦点在轴上的双曲线，一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的倍，则双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
7. 在长方体中，底面为正方形，，其外接球的体积为，则此长方体的表面积为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数的部分图象如图所示，则( )
A. B. C. D.
9. 南宋数学家杨辉在详解九章算法中提出了垛积问题，涉及逐项差数之差或者高次差成等差数列的高阶等差数列现有一个高阶等差数列的前项分别为，，，，，，则该数列的第项为( )
A. B. C. D.
10. 已知点在抛物线：的准线上，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点若，则( )
A. B. C. D.
11. 在直三棱柱中，，点，分别是，的中点，则直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
12. 设，，，则( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若实数，满足约束条件则的最大值是 ．
14. 已知向量，，若与共线且方向相反，则 ．
15. 在如图所示的平面四边形中，，，则的值为 ．
16. 若直线是曲线与曲线的公切线，则 ， ．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知等差数列的前项和为，且，，等比数列中，，．
求数列和的通项公式；
设，求数列的前项和．
18. 本小题分
某校组织了全体学生参加“建党周年”知识竞赛，从高一、高二年级各随机抽取名学生的竞赛成绩满分分，统计如表：
分数段
高一年级
高二年级
分别估计高一，高二年级竞赛成绩的平均值与同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表；
学校规定竞赛成绩不低于分的为优秀，根据所给数据．完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为竞赛成绩优秀与年级有关？
非优秀 优秀 合计
高一年级
高二年级
合计
附：，其中．
19. 本小题分
如图甲所示的正方形中，，，，对角线分别交，于点，，将正方形沿折叠使得与重合，构成如图乙所示的三棱柱点在棱上，且．
证明：平面；
求三棱锥的体积．
20. 本小题分
已知椭圆：的离心率是，，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且的周长是．
求椭圆的标准方程；
若直线与椭圆交于，两点，是坐标原点，且四边形是平行四边形，求四边形的面积．
21. 本小题分
已知函数．
当时，求函数在处的切线方程；
若时，恒有，求的取值范围．
22. 本小题分
在平面直角坐标系中，已知圆的参数方程为其中为参数以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
将圆的参数方程化为普通方程，直线的极坐标方程化为直角坐标方程；
若是直线上任意一点，过作的切线，切点为，，求四边形面积的最小值．
23. 本小题分
已知函数，．
求不等式的解集；
若对于，，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
则，
的子集的个数为．
故选：．
先求出，由此能求出的子集的个数．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：复数，在复平面内对应的点关于虚轴对称，，
则．
故选：．
根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，
所以两边平方，可得，
则．
故选：．
将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公式即可求解．
本题考查了同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了方程思想，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为是定义域为的奇函数，当时，，
所以，
则．
故选：．
由已知先求出，然后结合奇函数的定义即可求．
本题主要考查了函数的奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题意可得，
解得，
周平均阅读时间在内的频率为．
故选：．
直接利用频率分布直方图的性质求解即可．
本题考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：焦点在轴上的双曲线，一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的倍，
可设一条渐近线的倾斜角为，所以，可得，
依题意 ，．
故选：．
利用一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的倍，求出倾斜角，列出关系式，即可求解双曲线的离心率．
本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查计算能力．
7.【答案】
【解析】解：设外接球的半径为，因为外接球的体积为，所以，所以，
设底面正方形边长为，
因为长方体外接球的球心在体对角线中点，球直径为长方体体对角线，
所以，所以，
所以长方体的表面积为，
故选：．
根据长方体外接球直径为体对角线长求出底面边长，进一步求得长方体的表面积．
本题考查棱柱表面积，外接球的体积，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由图可知，最小正周期，
则，
图象过点，
则，即，即，
，
则，
故，
所以．
故选：．
根据图象求出和，即可求函数的解析式，即可求解．
本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：设该数列为，
数列的前项分别为，，，，，，
数列满足，，
，
．
故选：．
利用等差数列的求和公式，累加法求解即可．
本题考查了等差数列的求和公式，累加法的运用，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：抛物线：，则抛物线的准线为，
点在抛物线的准线为，
，解得，
抛物线的焦点为，
过焦点且斜率为的直线方程为，
联立，整理得，
，
设，，
，，则，，
，
，，
又，则，
，即，解得．
故选：．
由题意得抛物线的准线为，可得，求出，则过焦点且斜率为的直线方程为，联立方程组，利用韦达定理，即可得出答案．
本题考查双曲线的性质和直线与双曲线的综合，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：如图所示，取的中点，连接，
则根据题意易得四边形为平行四边形，
，
直线与所成角为，
又根据题意易知平面，且平面，
，又，，
，
故选：．
将两异面直线平移成相交直线，再解三角形，即可求解．
本题考查异面直线所成角问题，化归转化思想，属基础题．
12.【答案】
【解析】解：令，，
则恒成立，
故在上单调递增，，
故，
所以，
所以，
又，
所以，
所以，即，
故．
故选：．
先构造函数，，对其求导，结合导数分析函数的单调性，结合单调性可比较，的大小，然后可比较，的大小即可判断．
本题主要考查了函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由约束条件，画出可行域如图，
目标函数可化为：，得到一簇斜率为，截距为的平行线，
要求的最大值，须满足截距最大，
当目标函数过点或时截距最大，
由可得，
由可得，
的最大值为．
故答案为：．
先根据约束条件件画出可行域，再转化目标函数，把求目标函数的最值问题转化成求截距的最值问题，找到最优解代入求值即可．
本题考查线性规划，要求可行域要画准确，还需特别注意目标函数的斜率与边界直线的斜率的大小关系，即要注意目标函数与边界直线的倾斜程度．属简单题．
14.【答案】
【解析】解：向量，，与共线且方向相反，
则，解得或舍去，
故，，
所以，即．
故答案为：．
根据已知条件，结合向量平行的性质，求出，再结合向量的坐标运算，以及向量模公式，即可求解．
本题主要考查平面向量平行的性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意得，
，，
，即．
故答案为：．
由余弦定理得，结合题意可得，求解即可得出答案．
本题考查余弦定理，考查转化思想，考查运算能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：设直线与曲线相切于点，
由函数，得，则，解得，
，即，
设与曲线相切于点，
由函数，得，则，
又，
，而，则，．
故答案为：；．
设切点坐标，利用导数求得在切点处的切线方程，结合切线为，即可求得与的值．
本题考查利用导函数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：设等差数列的公差为，
因为，，
所以，，
解得，所以，
设等比数列的公比为，则，解得，
则，所以．
由得：，
所以
．
【解析】根据等差数列和等比数列性质结合题中已知条件，便可求出，，，的值，进而求得数列和的通项公式；
由可知，然后利用分组求和法求出数列的和．
本题考查了等差数列和等比数列的基本知识和分组求和法的应用，考查了学生的计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：高一年级随机抽出名学生竞赛成绩的平均值估计为 ，
高二年级随机抽出名学生竞赛成绩的平均值估计为 ，
故估计高一，高二年级竞赛成绩的平均值分别为与．
列联表如下：
非优秀 优秀 合计
高一年级
高二年级
合计
，
故没有的把握认为竞赛成绩优秀与年级有关．
【解析】本题主要考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力，属于基础题．
根据表格的数据，结合平均值公式，即可求解．
根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
19.【答案】证明：过作，交于，连接，，
由于，则，所以，，，共面，
且平面平面，
因为，，所以，
又在正方形中，，
所以，，，
由，得，
所以四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，所以平面；
解：由知，所以，
因为，即，
所以．
【解析】过作，连接，，证明四边形为平行四边形，根据线面平行的判定定理即可证明结论；
根据三棱锥的等体积法，将三棱锥的体积转化为求的体积，结合二者之间的数量关系，可得答案．
本题考查了线面平行的证明和三棱锥的体积计算，属于中档题．
20.【答案】解：由题意可得，可得，，，
所以椭圆的方程为：；
设，，
联立，整理可得：，
，即，
，，，
因为四边形是平行四边形，所以的中点与的中点重合，
所以，而在椭圆上，
所以，整理可得：，
，
到直线的距离，
所以，
即四边形的面积为．
【解析】由离心率的值及三角形的周长，可得，的值，进而求出的值，求出椭圆的方程；
联立直线的方程与椭圆的方程，可得两根之和及两根之积，进而求出的中点的坐标，由平行四边形的性质，可知点坐标，代入椭圆的方程，可得参数的关系，求出的表达式及到直线的距离，由平行四边形的面积为三角形面积的倍，代入三角形的面积公式，求出四边形的面积．
本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，平行四边形性质的应用及平行四边形面积的求法，属于中档题．
21.【答案】解：函数，，
当时，，
，又，
切线方程为，化为．
当时，恒有，即，变形为，
构造 ，
即函数在区间为减函数，
则在恒成立，
令，则在恒成立，
化为，
，，
，
的取值范围为．
【解析】函数，，利用导数的运算法则可得，可得，利用点斜式即可得出切线方程．
当时，恒有，即，变形为，构造 ，利用导数研究其单调性即可得出的取值范围．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22.【答案】解：圆的参数方程为其中为参数，转换为圆的普通方程．
直线的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为．
圆心到直线：的距离，因为点是直线上任意一点，
所以，所以四边形面积．
即当时四边形面积取得最小值为．
【解析】直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
直接利用点到直线的距离公式和四边形的面积公式求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式，四边形的面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
23.【答案】解：因为，
由，得或或，
解得或或，故所求不等式的解集为．
因为，当且仅当时等号成立，即或时等号成立，
所以，解得或，则的取值范围为．
【解析】去绝对值，写出的分段形式，然后分段解不等式即可得解；
根据绝对值三角不等式可得的最大值，然后解不等式即可得解．
本题主要考查函数恒成立求参数范围问题，绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．
第1页，共1页

2023年甘肃省高考数学一诊试卷（文科）（含解析）