第十章《二元一次方程组》单元测试卷（困难）（含解析）

苏科版初中数学七年级下册第十章《二元一次方程组》单元测试卷（困难）（含答案解析）
考试范围：第十章，考试时间：120分钟，总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 根据“比的倍少”的数量关系可列方程为( )
A. B. C. D.
2. 若是关于和的二元一次方程的解，则( )
A. B. C. D.
3. 对于，用的代数式表示，正确的结果是( )
A. B. C. D.
4. 若关于，的二元一次方程组的解满足互为相反数，则的值为( )
A. B. C. D.
5. 下列叙述正确的是( )
A. 方程组不是二元一次方程组
B. 方程不是二元一次方程
C. 既是方程的解，也是方程的解
D. 任何一个二元一次方程组的解都是唯一存在的
6. 已知方程组的解满足，则的值是( )
A. B. C. D.
7. 方程组，下列步骤可以消去未知数的是( )
A. B. C. D.
8. 方程组的解为，则方程组的的解为( )
A. B. C. D.
9. 已知关于，的方程组给出下列结论：
当 时，方程组的解也是 的解；无论 取何值，，的值不可能是互为相反数； ，都为自然数的解有对；若 ，则 正确的有几个( )
A. B. C. D.
10. 一条公路全长约为，一辆小汽车、一辆货车分别从、两地同时开出，相向而行，经过分钟相遇，相遇时小汽车比货车多行，设小汽车和货车的速度分别为、，则下列方程组正确的是( )
A. B.
C. D.
11. 某校去年原计划招收初一新生人，实际招到初一新生人，其中男生超，女生超，设该校去年计划招收男生人，招收女生人，则依据题意列出方程组是( )
A. B.
C. D.
12. 如图，我们可以按竖放、平放两种方式在同一个书架上摆放一定数量的同一本书，并且要求书脊朝外，方便我们查阅．根据图中的数据，可求出每本书的厚度为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 若是二元一次方程的解，则 ．
14. 若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为 ．
15. 已知方程组，则 ．
16. 现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺设绳索长尺，竿长尺，则可列方程组为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
若是关于、的方程的一个解，且，求的值．
18. 本小题分
已知和都是关于、的二元一次方程的解，求关于的一元一次方程的解．
19. 本小题分
小亮在匀速行驶的汽车里，注意到公路里程碑上的数是一个两位数；后，看到里程碑上的两位数与第一次看到的两位数恰好互换了两个数字的位置；再过，看到里程碑上的数是第一次看到的两位数的两个数字之间添加一个所得的三位数．这块里程碑上的数各是多少？
20. 本小题分
已知，关于，的方程组的解为、
____，____用含的代数式表示；
若、互为相反数，求的值；
若，用含有的代数式表示．
21. 本小题分
若关于、的方程组的解满足与均是正数，求整数的值．
22. 本小题分
计算：
解方程组：；
若，求．
23. 本小题分
阅读以下材料：
解方程组：，小阳在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下：
解：由得，将代入得：
请你替小阳补全完整的解题过程；
请你用这种方法解方程组：．
24. 本小题分
已知：用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨．
一辆型车和一辆型车装满货物一次各运多少吨？
某公司有吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且每辆车都装满货物，共有哪几种租车方案．
25. 本小题分
某中学为了九年级毕业班的学生在年中考体育“足球”项目测试中取得优异的成绩现决定从商场购买、两种足球共个，已知购买品牌足球比购买品牌足球少花元，其中品牌足球每个进价是元，品牌足球每个进价是元请同学们计算一下购买、两种品牌足球各多少个？
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意得：．
故选：．
根据“比的倍少”，即可列出关于，的二元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：将代入原方程得：，
解得：．
故选：．
将代入原方程，可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值．
本题考查了二元一次方程的解，牢记“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解”是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，
通过移项得，
，
两边同时除以得，
，
故选：．
直接通过移项，再将前面的系数化成整数即可．
本题考查了解二元一次方程，解题的关键是：掌握相关运算的基本步骤，移项、合并同类项、系数化为．
4.【答案】
【解析】解：，
得：，
，
，
解得．
故选：．
直接用，即可得出，根据，再求出的值即可．
本题考查了解二元一次方程组，掌握整体思想解二元一次方程组是关键．
5.【答案】
【解析】解：方程组是二元一次方程组，
的结论不正确；
方程是二元二次方程，
的结论正确；
是方程的解，不是方程的解，
选项的结论不正确；
一般的二元一次方程组的解都有无数组，
选项的结论不正确．
故选：．
利用二元一次方程组的定义和二元一次方程组的解的意义，对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了二元一次方程组的定义和二元一次方程组的解，熟练掌握上述定义与法则是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，
得，
，
，
解得．
故选：．
根据得，再根据，可得，进一步求解即可．
本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法是关键．
7.【答案】
【解析】解：、，得
，
变形后不能消元，故不符合题意；
B、，得
，
变形后不能消元，故不符合题意；
C、，得
，
可以消去，故符合题意．
D、，得
，
变形后不能消元，故不符合题意；
C、，得
，
可以消去，故符合题意．
故选：．
根据加减消元法进行求解即可．
此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：方程组的解为，
二元一次方程组的解为，
方程组的解为，
故选：．
由题意可知方程组的解为，则方程组的解为，求解即可．
本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系，利用整体的数学思想是解题的关键．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
将代入方程组求出方程组的解，代入方程中检验即可；
将和分别用表示出来，然后求出来判断；
由得到、都为自然数的解有对；
把与联立成方程组，求出、，再代入原方程组，就可以求出答案．
【解答】
解：将代入方程组得：
得，
解得，
将代入得：，
此方程组的解为：
，
将代入得，
当时，方程组的解也是的解，
故正确；
方程组
得，
解得，
将代入得，
，
故无论取何值，，的值不可能是互为相反数，
故正确；
方程组
得：，
，都为自然数的解有
故有对，
故正确；
方程组
得：，
得
得，
故正确，
综上所述，正确的有个．
故选D．
10.【答案】
【解析】解：分钟小时，
由题意得：小汽车小时行驶的路程是：，货车小时行驶的路程是：，由两车起初相距，则可得出；
又由相遇时小汽车比货车多行，则可得出．
方程组是，
故选：．
首先把单位化成统一，再表示出小汽车与货车小时行驶的路程，根据关键语句“同时从、两地相向开出，经过分钟相遇，相遇时小汽车比货车多行”可列出方程组．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是弄清题意，根据关键语句找出题目中的等量关系，再列出方程组．
11.【答案】
【解析】解：设该校去年计划招收男生人，招收女生人，则依据题意列出方程组是．
故选：．
根据“新生人，实际招到初一新生人，其中男生超，女生超”列方程组即可．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．
12.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了二元一次方程组的应用，是一道材料分析题，先要读懂材料所给出的用算筹表示二元一次方程组的方法，再解方程组．根据题意设每本书的长为，每本书的厚度为，列方程组解答即可．
【解答】
解：设每本书的长为，每本书的厚度为，
根据题意得
解方程组得：
即每本书的厚度为，
故选C．
13.【答案】
【解析】解：将代入原方程得：，
解得：，
．
故答案为：．
将代入原方程，可得出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出结论．
本题考查了二元一次方程的解，牢记“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解”是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，
，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
所以方程组的解是，
关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，
，
．
故答案为：．
得出，求出，把代入求出，把、的值代入方程得出，再求出即可．
本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能求出和是解此题的关键．
15.【答案】
【解析】解：，
得：，即；
得：，
则原式．
故答案为：．
方程组两方程相加减求出与的值，代入原式计算即可得到结果．
此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16.【答案】
【解析】解：设绳索长尺，竿长尺，则可列方程组为：
．
故答案为：．
分别利用“用绳索去量竿，绳索比竿长尺”，“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺”分别得出等式，即可得出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．
17.【答案】解：是关于、的方程的一个解，
，
，
联立方程组，
解得：，
．
的值为．
【解析】首先根据二元一次方程的解得出，然后联立组成二元一次方程组，解方程组即可得出，的值，最后代入中计算即可求出值．
本题考查二元一次方程的解，二元一次方程组的应用及代数式求值．能够求出，的值是解题的关键．
18.【答案】解：和都是关于、的二元一次方程的解，
，
解得：，
一元一次方程为，
解得：，
关于的一元一次方程的解为．
【解析】利用二元一次方程的解，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，将其代入一元一次方程中，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程的解以及解一元一次方程，牢记“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解”是解题的关键．
19.【答案】解：设小亮第一次看到的两位数，十位数为，个位数为，则后，看到里程碑上的两位数个位数为，十位数为，再过，看到里程碑上的数，百位数为，十位数字为，个位数为，
第一个里程碑上的数为，
第二个里程碑上的数为，
第三个里程碑上的数为，
小亮是匀速行驶，
第行驶的路程第行驶的路程，
，
化简得，，
，
，都为整数，且，，
，，
这块里程碑上的数各是，，．
答：这块里程碑上的数各是，，．
【解析】设小亮第一次看到的两位数，十位数为，个位数为，则后，看到里程碑上的两位数个位数为，十位数为，再过，看到里程碑上的数，百位数为，十位数字为，个位数为，根据多位数的表示方法可以表示出这个三个里程碑上的数，再根据是匀速行驶，由每个小时的行程相等，列出方程，便可解答．
本题是一个二元一次方程的应用，考查了求不定方程的解，考查了数学在生活中的运用，及二元一次方程的解法．正确理解题意并列出方程是解题的关键．
20.【答案】解：；；
由题意得，，
解得，；
，
由题意得，，
则．
【解析】
【分析】
本题考查的是积的乘方与幂的乘方，二元一次方程组的解法，相反数的概念，掌握二元一次方程组的解法，幂的乘方法则是解题的关键．
利用二元一次方程组的解法解出方程组；
根据相反数的概念列出方程，解方程即可；
根据幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则得到，代入计算．
【解答】
解：，
得，，
把代入得，，
故答案为；；
见答案；
见答案．
21.【答案】解：方程组，
得，
，
得，
，
与均是正数，
，
解不等式组，得，
整数的值为．
【解析】根据二元一次方程组可得，，根据与均是正数，可得，解一元一次不等式组即可．
本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，找出二元一次方程组的特点是解题的关键．
22.【答案】解：，
方程组整理得：，
得，，解得，
把代入中得，，解得，
则原方程组的解是；
由题意可得：，
得，，
得，，解，
把代入中，解得，
则原方程组的解是，
．
【解析】利用加减消元法解答；
利用绝对值与平方的非负性，转化为解二元一次方程组，利用加减消元法解得原方程组的解是，再代入计算即可．
本题考查了解二元一次方程组，有理数的乘方、绝对值的非负性等知识，掌握解二元一次方程组的方法是关键．
23.【答案】解：由得，
将代入得，
解得，
把代入得，
，
解得，
故原方程组的解是；
整理得，
，
把代入得，
，
解得，
把代入得，
，
解得，
故原方程组的解是．
【解析】利用整体代入法进行求解即可；
利用整体代入法进行求解即可．
本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
24.【答案】解：设辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨，
依题意得：，
解得：，
答：辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨．
依题意得：，
，均为正整数，
或或，
该公司共有种租车方案：
方案：租辆型车，辆型车；
方案：租辆型车，辆型车．
方案：租辆型车，辆型车．
【解析】设辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨，根据“用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨”，即可得出二元一次方程组，解之即可得出结论；
根据租用的车辆可一次运载货物吨且恰好每辆车都载满货物，即可得出关于，的二元一次方程，求出正整数解，即可得出各租车方案．
本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程．
25.【答案】解：设该中学购买品牌足球个，品牌足球个，
根据题意得：，
解得：．
答：该中学购买品牌足球个，品牌足球个．
【解析】设该中学购买品牌足球个，品牌足球个，利用总价单价数量，结合“该中学共购买、两种足球共个，且购买品牌足球比购买品牌足球少花元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
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第十章《二元一次方程组》单元测试卷（困难）（含解析）