湘豫名校联考2023届高三下学期第二次（4月）模拟考试理科数学试题（含解析）

湘豫名校联考
2023年4月高三第二次模拟考试
数学（理科）参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
D
B
A
B
AC
C
B
D
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，
1,D【命题意图】本题考查不等式的求解和集合的交集运算，考查逻辑推理能力和数学运算的核心素养
【解折】由≤0，得-1≤1,所以AnB=2,3.此选D
2.D【命题意图】本题考查复数的模，复数除法以及共轭复数的定义，考查数学运算的核心素养。
【锦折]同为2区+=V @+=3，所以=是得得+易=1+i所以=1-i所以在复
平面内对应的点为(1，一1)，位于第四象限.故选D.
3.C【命题意图】本题考查数据的表示和样本的数字特征，考查数据分析的核心素养.
【解析】2013年至2022年生产的纪录影片时长的中位就为260十290=275分钟，A选项错误：2013年至2022
2
年生产的科教影片时长的平均教大于100+700+600+100+500十900+600+600+500+800=660分钟，
10
B选项错误：由方差的定义可知，科教影片时长的方差大于纪录影片时长的方差，所以科教影片时长的标准
差大于纪最彩片时长的标准差，C进项正确；科教影片时长的极差是620分钟，纪录彩片时长的极差为280
分钟，D选项错误.故选C
4.B【命题意图】本题考查抛物线的标准方程和儿何性质，考查直观想象和数学运算的核心素养.
x=-2,
【解析】由《
=8x,得x=2y=士4，由
x2+y2=20,
。得x=一2，y=士4，所以由A,B,C,D四点所国成
x2+y2=20,
的四边形为矩形，其周长为2X(4十8)=24.故选B.
5,A【命题意图】本题考查比较大小和对数函数的单调性以及换底公式，考查逻辑推理的核心素养，
【解折1方法-：国为a=l6g5=是7>1.6=o6=16g,6=据>a,0<=(兮
0.s
a>c.故
选A.
方法二：因为a=log5,6=号1og:6=1og:6,所以1<a<6又0<c=(号)》
a>c.故选A.
6.B【命题意图】本题考查空间几何体的三视图和体积，考查逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养
【解析】由三视图知，该几何体是由一个校长为4的正方体截去两个相同三被柱与两个相网周柱而得到的，
其中三校柱的底面是腰长为2的等腰直角三角形，圈柱的底面半径为2，所以该几何体的体积为V=4一2X
合×2×2X4-2×号×x×2×4=48-8m说选B
7,A【命题意图】本题考查等差数列的性质，考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.
【解析】设等差数列{a.}的公差为d,因为a1十a1十a,十ao=10,a十as十a十a12=30,所以10十8d=30,所以
8d=20.因为a5十aa十a1十a14=(ag十a6十ag十a12)十8d,所以2(ag十a11）=30十8d=50,所以as十a1=25.
数学（理科）参考答案第1页（共10页）湘豫名校联考
2023年4月高三第二次模拟考试
数学（理科）
注意事项：
1.本试卷共6页。时间120分钟，满分150分。答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.某电影制片厂从2013年至2022年生产的纪录影片、科教影片的时长（单位；分钟）如图所示，则（ ）
A.该电影制片厂2013年至2022年生产的纪录影片时长的中位数为270分钟
B.该电影制片厂2013年至2022年生产的科教影片时长的平均数小于660分钟
C.该电影制片厂2013年至2022年生产的科教影片时长的标准差大于纪录影片时长的标准差
D.该电影制片厂2013年至2022年生产的科教影片时长的极差是纪录影片时长的极差的4倍
4.已知抛物线的准线为，圆与抛物线交于，两点，与交于，两点，则由，，，四点所围成的四边形的周长为（ ）
A.20 B.24 C.28 D.32
5.若，，，则（ ）
A. B. C. D.
6.如图，网格纸上用粗实线绘制了一个几何体的三视图，每一个小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
7.已知等差数列满足，，则（ ）
A.25 B.35 C.40 D.50
8.执行如图所示的程序框图，输出的（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
9.已知函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为，把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.则在上的值域为（ ）
A. B. C. D.
10.若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
11.已知圆台的母线长为，，分别为上、下底面的圆心，上、下底面的半径分别为，，且，则当该圆台的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
12.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线上一点，点，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量，满足，，，的夹角为150°，则与的夹角为______.
14.若的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为______.
15.已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为______.
16.设锐角三角形的内角，，所对的边分别为，，，且，则的取值范围是______.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17 21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（本小题满分12分）
在数列中，，.
（1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18.（本小题满分12分）
如图所示，在三棱柱中，点，，，分别为棱，，，上的点，且，，，.
（1）证明：平面；
（2）若，，四边形为矩形，平面平面，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
19.（本小题满分12分）
2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，新晋“太空教师”刘洋用2米长的吸管成功喝到了芒果汁.这是中国航天员首次在问天实验舱内进行授课，并通过网络向全国进行直播，这场直播极大地激发了广大中学生对航天知识的兴趣.为领悟航天精神，感受中国梦想，某校高一年级组织了一次“寻梦天宫”航天知识比赛，比赛规则：每组两个班级，每个班级各派出3名同学参加比赛，每一轮比赛中每个班级派出1名同学代表其所在班级答题，两个班级都全部答对或者都没有全部答对，则均记0分；一班级全部答对而另一班级没有全部答对，则全部答对的班级记1分，没有全部答对的班级记分，三轮比赛结束后，累计得分高的班级获胜.设甲、乙两个班级为一组参加比赛，每轮比赛中甲班全部答对的概率为，乙班全部答对的概率为，甲、乙两班答题相互独立，且每轮比赛互不影响.
（1）求甲班每轮比赛得分、0分、1分的概率；
（2）两轮比赛后甲班得分为，求的分布列和数学期望；
（3）求甲班没有获胜的概率.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，点到直线的距离为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线交椭圆于，两点，过点作轴的垂线交直线于点，点为的中点，证明：直线的斜率为定值.
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，动点到定点的距离为，记动点的轨迹为曲线.
（1）求直线的普通方程，曲线的直角坐标方程与极坐标方程；
（2）设点，且直线与曲线交于，两点，求的值.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲.
设函数.
（1）作出函数的图象，并求的值域；
（2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.

湘豫名校联考2023届高三下学期第二次（4月）模拟考试理科数学试题（含解析）