河北省石家庄市2023届高三下学期4月教学质量检测(二)数学试题（含答案）

石家庄市2023届高中毕业年级教学质量检测（二）
数学
（时间120分钟，满分150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷 草稿纸上或答题卡非题号对应的答题区或的答案一律无效.不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集，若集合满足，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
3.为实现乡村生态振兴，走乡村绿色发展之路，乡政府采用按比例分层抽样的方式从甲村和乙村抽取部分村民参与环保调研，已知甲村和乙村人数之比是，被抽到的参与环保调研的村民中，甲村的人数比乙村多8人，则参加调研的总人数是（ ）
A.16 B.24 C.32 D.40
4.函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
5.已知非零向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6.中国古代许多著名数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是后项减前项之差组成的新数列是等差数列.现有一个“堆垛”，共50层，第一层2个小球，第二层5个小球，第三层10个小球，第四层17个小球，...，按此规律，则第50层小球的个数为（ ）
A.2400 B.2401 C.2500 D.2501
7.已知圆台的上 下底面圆的半径之比为，侧面积为，在圆台的内部有一球，该球与圆台的上 下底面及母线均相切，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8.已知在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则的值可以是（ ）
A. B.1 C.0 D.+2
10.先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则（ ）
A.与互斥 B.与相互独立
C. D.
11.已知抛物线的焦点为，过点分别向抛物线与圆作切线，切点为分别为（不同于坐标原点），则下列判断正确的是（ ）
A. B.
C.三点共线 D.
12.定义：对于定义在区间上的函数和正数，若存在正数，使得不等式对任意恒成立，则称函数在区间上满足阶李普希兹条件，则下列说法正确的有（ ）
A.函数在上满足阶李普希兹条件.
B.若函数在上满足一阶李普希兹条件，则的最小值为2.
C.若函数在上满足的一阶李普希兹条件，且方程在区间上有解，则是方程在区间上的唯一解.
D.若函数在上满足的一阶李普希兹条件，且，则存在满足条件的函数，存在，使得.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.某工厂生产的一批电子元件质量指标服从正态分布，且，若从这批电子原件中随机选取一件产品，则其质量指标小于2的概率为__________.
14.已知，则__________.
15.已知椭圆的左 右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，且，则椭圆的离心率为__________.
16.长方体中，，平面与直线的交点为，现将绕旋转一周，在旋转过程中，动直线与底面内任一直线所成最小角记为，则的最大值是__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）已知等比数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和.
18.（本小题满分12分）已知内角所对的边长分别为.
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
19.（本小题满分12分）为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局）
（1）求甲队明星队员在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；
（2）求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；
（3）若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员上场的概率.
20.（本小题满分12分）如图（1），在中，，将沿折起，使得点到达点处，如图（2）.
（1）若，求证：；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.
21.（本小题满分12分）已知函数.
（1）当时，求的极小值.
（2）若有两个零点，求实数的取值范围.
22.（本小题满分12分）已知双曲线为双曲线的右焦点，过作直线交双曲线于两点，过点且与直线垂直的直线交直线于点，直线交双曲线于两点.
（1）若直线的斜率为，求的值；
（2）设直线的斜率分别为，且，记，试探究与满足的方程关系，并将用表示出来.
2023届石家庄市高中质量检测（二）
数学答案
一 单选题
1-4CBAA 5-8BDCD
二 多选题
9.BC 10.BD 11.ABC 12.ABC
三 填空题
13.0.1 14. 15. 16.
四 解答题
17.解：（1）设的公比为，由题知，
则，
解得
（2）由（1）知
18.（1）根据余弦定理得，，
即
.
（2）方法一：
为锐角三角形，，
.
，根据正弦定理
由面积公式可得，
即
，
故面积的取值范围为.
方法二：
由，画出如图所示三角形，
为锐角三角形，点落在线段（端点除外）上
当时，
当时，
19.（1）事件“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，
事件“甲队第局获胜”，其中相互独立.
又甲队明星队员前四局不出场，故：，
所以
（2）设为甲3局获得最终胜利，为前3局甲队明星队员上场比赛，则由全概率公式可知：
因为每名队员上场顺序随机，故，
所以.
（3）
20.解：（1）平行四边形中，，可得
又
又
平面
（2）方法一：
如图，过点做，且，连接，
由题意可知，
平面所以
又平面平面平面
取中点，连接，由，得
平面，且
过点作垂直于，建立如图所示的空间直角坐标系，由题可得，
设平面的法向量为，平面的法向量为
取
同理取
所以平面与平面夹角的余弦值为.
方法二：由，建立如图所示的空间直角坐标系
设（其中）
解得
设平面的法向量为，平面的法向量为
取
同理取
所以平面与平面夹角的余弦值为
方法三：
过点作交于，过点作
交于
中，由
可得
同理，在中，，可得
而
即
解得
所以平面与平面夹角的余弦值为
21.解：（1）的定义域为，
当时，，
令，解得.
当变化时，的变化情况如表：
0
- 0 +
单调递减 单调递增
因此，当时，有极小值，极小值为.
（2），
（i）若，则，所以在单调递减，
至多有一个零点.
（ii）若，令，解得.
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增.
所以当时，取得最小值，最小值为.
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，由于，即，故没有零点；
③当时，，即.
当时，，且，故在有一个零点.
先证明当时，，设，则，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减.
当时取到最大值.
所以当时，.
因此在有一个零点.
综上，的取值范围为.
22.解：（1）设
由题意可知，点坐标为，则直线的斜率为，所以直线的斜率为
故直线的方程为：；
联立直线和曲线的方程：，此方程的两根即为
由韦达定理可得：①
所以：
（2）设，则，因为直线垂直直线，故
的直线方程为，代入，可得点的坐标，
所以：，
因为点在双曲线上，故满足双曲线方程，即.
所以，
所以；
.
又直线的斜率，联立直线与双曲线的方程：
，
此方程的两根即为，所以，
所以
即：.
所以：，
即：.

河北省石家庄市2023届高三下学期4月教学质量检测(二)数学试题（含答案）