2023届全国甲卷仿真卷（七）（含解析）

保密★启用前
2023届全国甲卷仿真卷（七）
数学
（全卷满分120分，考试用时120分钟）
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若直线被圆所截得的弦长为,则实数的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
2．的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
3．设集合，则满足的集合的个数是
A．1个 B．2个 C．4个 D．8个
4．已知函数，则在上的零点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知二次函数的导数为，对于任意的实数都有，则的取值范围是
A． B． C． D．
6．定义在R上的函数为偶函数，，，，则
A． B．
C． D．
7．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，h称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至45℃，大约还需要（参考数据：，）（ ）
A．9分钟 B．10分钟
C．11分钟 D．12分钟
8．某人2018年的家庭总收入为元，各种用途占比如图中的折线图，年家庭总收入的各种用途占比统计如图中的条形图，已知年的就医费用比年的就医费用增加了 元，则该人年的储蓄费用为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
二、多选题
9．月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点 ，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的离心率是 B．线段AB长度的取值范围是
C．面积的最大值是 D．的周长存在最大值
10．已知三棱柱的体积为，底面满足，，，若在底面上的投影恰好在直线上，则下列说法中，正确的有（ ）
A．恒有
B．与底面所成角的最大值为
C．恒有
D．三棱锥外接球表面积的最小值为
11．已知直线与圆，则下列说法中正确的是（ ）
A．直线l与圆M一定相交
B．若，则直线l与圆M相切
C．当时，直线l与圆M的相交弦最长
D．圆心M到直线l的距离的最大值为
12．已知向量，，下列说法正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则与夹角的正弦值为
C．若，则 D．若，则或16
三、填空题
13．已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，A(t，1)是抛物线第一象限上的点，，直线AF与抛物线的另一个交点为B，则_________．
14．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正确的序号是______.
①“等腰四面体”每个顶点出发的三条棱一定可以构成三角形；
②“等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形；
③三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体”的体积为；
④三组对棱长度分别为，，的“等腰四面体”的外接球直径为.
15．已知向量，．若，则__________．
16．设 是定义在R上且周期为2的函数，在区间[）上， 其中 若 ，则的值是 .
四、解答题
17．已知数列满足
（1）证明:数列是等差数列，并求数列的通项公式;
（2）设为数列的前项和，证明
18．已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求.
19．在①（），②（），③（），这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求的值；若不存在，说明理由．
设数列的前项和为，首项，______，数列是等比数列，数列，是否存在，使得对任意的，恒有？
20．已知椭圆：的一个焦点与的焦点重合，点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线：（）与椭圆交于两点，且以为对角线的菱形的一顶点为，求面积的最大值（为坐标原点）.
21．为迎接年北京冬奥会，践行“更快更高更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略.某校高二年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高.
(1)为了解活动效果，该年级对开展活动以来近个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如上图，根据上面的散点图可以认为散点集中在曲线的附近，请根据下表中的数据求出该年级体重超重人数与月份之间的经验回归方程（系数和的最终结果精确到），并预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至人以下？
月份
体重超标人数
(2)在某次足球训练课上，球首先由队员控制，此后足球仅在、、三名队员之间传递，假设每名队员控球时传给其他队员的概率如下表所示：
控球队员
接球队员
概率
若传球次，记队员控球次数为，求的分布列及均值.
附：经验回归方程：中，，；
参考数据：，，，.
22．碳中和，是指企业、团体或个人测算在一定时间内，直接或间接产生的温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放，实现二氧化碳的“零排放”.碳达峰，是指碳排放进入平台期后，进入平稳下降阶段.简单地说就是让二氧化碳排放量“收支相抵”.中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.”减少碳排放，实现碳中和，人人都可出一份力．某中学数学教师组织开展了题为“家庭燃气灶旋钮的最佳角度”的数学建模活动.实验假设：
①烧开一壶水有诸多因素，本建模的变量设定为燃气用量与旋钮的旋转角度，其他因素假设一样；
②由生活常识知，旋转角度很小或很大，一壶水甚至不能烧开或造成燃气浪费，因此旋转角度设定在10°到90°间，建模实验中选取5个代表性数据：18°，36°，54°，72°，90°．
某支数学建模队收集了“烧开一壶水”的实验数据，如下表：
项目 旋转角度 开始烧水时燃气表计数/dm3 水烧开时燃气表计数/dm3
18° 9080 9210
36° 8958 9080
54° 8819 8958
72° 8670 8819
90° 8498 8670
以x表示旋转角度，y表示燃气用量.
(1)用列表法整理数据（x，y）；
x（旋转角度：度） 18 36 54 72 90
y（燃气用量：dm3）
(2)假定x，y线性相关，试求回归直线方程（注：计算结果精确到小数点后三位）
(3)有队员用二次函数进行模拟，得到的函数关系为．求在该模型中，烧开一壶水燃气用量最少时的旋转角度．请用相关指数R2分析二次函数模型与线性回归模型哪种拟合效果更好？（注：计算结果精确到小数点后一位）
参考数据：，，，，
线性回归模型，二次函数模型．
参考公式：，，．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】利用垂径定理，结合点到线的距离公式求解.
【详解】由圆可知，圆心，半径为：，
若直线被圆所截得的弦长为，
则由垂径定理可知圆心到直线的距离：，
故，解得或.
故选：A.
【点睛】本题考查直线与圆相交时弦长的求解，考查点到线距离公式的应用，属于基础题.
2．C
【分析】把分子中的化为，利用两角差的余弦公式进行计算即可.
【详解】原式=
.
故选：C.
3．C
【详解】试题分析：根据题意，分析可得，该问题可转化为求集合A={1，2}的子集个数问题，再由集合的元素数目与子集数目的关系可得答案．则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合A={1，2}的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有个．
考点：并集及其运算．
4．C
【解析】将函数零点转换为两函数的交点，通过图像即可得到答案.
【详解】∵
∴
设，画出图像
可得在图像上的零点的个数为3.
故选：C.
【点睛】本题考查函数零点的知识点，涉及到将零点的问题转换为函数的交点，考查了数形结合的思想,属于简单题型.
5．B
【分析】由，得，再由，都有，可得，，化简后可得，化简后利用基本不等式可得取值范围
【详解】由题意得，，∵，∴，
又∵，都有，∴，
∴，
∴，∴，
∴，
当且仅当时，等号成立，
∴的取值范围是，
故选：B．
6．C
【分析】由偶函数得到，明确函数的单调性，综合利用奇偶性与单调性比较大小即可.
【详解】∵为偶函数，
∴，即，且其在上单调递减，
又，
∴
故选：C
【点睛】本题考查函数的性质，考查函数的奇偶性与单调性，考查转化思想，属于中档题.
7．B
【分析】根据已知条件代入公式计算可得，再把该值代入，利用对数的运算性质及换底公式即可求解.
【详解】解：由题意，℃，由一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，可得，
所以，
又水温从75℃降至45℃，所以，即，
所以，
所以，
所以水温从75℃降至45℃，大约还需要10分钟.
故选：B.
8．A
【解析】根据 2018年的家庭总收入为元，且就医费用占 得到就医费用，再根据 年的就医费用比年的就医费用增加了元，得到年的就医费用，然后由年的就医费用占总收入 ，得到2019年的家庭总收入再根据储蓄费用占总收入求解.
【详解】因为2018年的家庭总收入为元，且就医费用占
所以就医费用
因为年的就医费用比年的就医费用增加了元，
所以年的就医费用元，
而年的就医费用占总收入
所以2019年的家庭总收入为
而储畜费用占总收入
所以储蓄费用：
故选：A
【点睛】本题主要考查统计中的折线图和条形图的应用，还考查了建模解模的能力，属于基础题.
9．ABC
【分析】由题意可求出半圆和椭圆的方程，即可求得椭圆离心率，判断A；结合半圆的半径以及椭圆的长半轴长，可确定线段AB长度的取值范围，判断B；设坐标，表示出面积，利用基本不等式求得其最大值，判断C；表示出的周长的表达式，结合t的取值范围可判断D.
【详解】由题意得半圆的方程为，
设椭圆的方程为，所以 ，
所以椭圆的方程为．
A．椭圆的离心率是，所以该选项正确；
B． 当时，；当时，，
所以线段AB长度的取值范围是，所以该选项正确；
C．由题得面积，
设，
设，所以，
所以
，当且仅当时等号成立，所以该选项正确；
D．的周长，
所以当时，的周长最大，但是不能取零，所以的周长没有最大值，
所以该选项错误．
故选：ABC.
10．BC
【分析】利用三棱柱体积可求得，知A错误；过作且，由线面角定义可知所求角为，根据可知当最小值，最大，可确定当时满足题意，知B正确；根据，可证得平面，由线面垂直性质可证得C正确；作，取中点，设球心为，，，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用可得之间关系，进而确定的最小值，结合球的面积公式可求得外接球表面积，知D错误.
【详解】对于A，，，，，
，，
解得：，A错误；
对于B，过作且，连接，作直线，如下图所示，
四边形为平行四边形，，，
平面，；
即为与底面所成角，，
直线在平面内的投影为直线，在平面内的投影为，
点到直线的距离即为点到直线的距离，即为点到直线的距离，
又点到直线的距离即为直线与间的距离，
点到直线的距离为点到直线距离的倍；
点到直线距离，，
则当时，取得最小值，此时取得最大值，
，即与底面所成角的最大值为，B正确；
对于C，又，得：；
平面，平面，，
又，平面，平面，
平面，，C正确；
对于D，作，垂足为，则，，
取中点，设三棱锥的外接球球心为，连接，
是以为斜边的直角三角形，为的外心，
平面，
以为坐标原点，正方向为轴，作轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，
设，，则，，
，；
当时，
，，整理可得：；
，，外接球半径，此时外接球表面积；
当时，
，，整理可得：；
则当时，，外接球半径，此时外接球表面积；
综上所述：三棱锥外接球表面积的最小值为，D错误.
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的线线垂直关系、线面角以及外接球问题的求解；本题求解外接球表面积的关键是能够将外接球半径表示为关于某一变量的函数的形式，进而根据函数最小值的求法求得外接球半径的最小值.
11．BCD
【分析】A.由直线l过原点，再判断原点与圆的位置关系即可； B.利用圆心到直线的距离和半径的关系判断；C.由直线l的方程为，判断是否过圆M的圆心即可；D.建立圆心到直线距高公式模型求解判断
【详解】，即，是以为圆心，以1为半径的圆，
A.因为直线，直线l过原点，，原点在圆外，所以直线l与圆M不一定相交，故错误；
B.若，则直线，直线l与圆M相切，故正确；
C.当时，直线l的方程为，过圆M的圆心，故正确；
D.由点到直线距离公式，知(当时，等号成立).故正确，
故选：BCD.
12．BD
【分析】对A，根据向量共线求出可判断；对B，根据数量积关系求出即可判断；对C，根据垂直关系求出可判断；对D，求出，根据模为13求出可判断.
【详解】对A，因为．所以．解得，A错误；
对B，若，则，，，则，B正确；
对C，因为．所以，解得，C错误；
对D，因为，所以，解得或16，D正确．
故选：BD.
13．40
【分析】根据题意可得，，联立直线AF与抛物线的方程可求得点B的坐标，进而可求以及O到直线的距离．
【详解】∵，则
∴抛物线方程为
把A(t，1)代入抛物线方程得：且，则
∵,则直线AF的斜率
∴直线AF的方程：即
联立方程，解得或
即，则
O到直线的距离
∴
故答案为：40．
14．①②③
【分析】将等腰四面体补成长方体，设等腰四面体的对棱棱长分别为，，，与之对应的长方体的长宽高分别为，，，然后结合长方体的性质分别检验各选项即可判断．
【详解】解：将等腰四面体补成长方体，设等腰四面体的对棱棱长分别为，，，与之对应的长方体的长宽高分别为，，，
则，
故，，，
结合图像易得①②正确；
三组对棱长度分别为，，，则，，，
因为等腰四面体的体积是对应长方体体积减去四个小三棱锥的体积，
所以等腰四面体的体积，③正确；
三组对棱长度分别为，，的“等腰四面体”的外接球直径，④错误.
故答案为：①②③.
【点睛】关键点点睛：对棱相等的四面体可以内接于长方体，借助长方体的性质处理问题降低了思维量.
15．1或
【分析】根据平面向量平行的性质进行求解即可.
【详解】因为向量，，，
所以有，或，
故答案为：1或
16．
【详解】，
因此
【考点】分段函数，周期性质
【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否可以取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数分界点处的函数值.
17．（1）证明见解析，；（2）证明见解析.
【分析】（1）构造数列，根据为等差数列，即可求得结果.
（2）由裂项相消法即可求和，进而证明不等式.
【详解】（1）由题对两边同时除以得
又，所以是首项为，公差为的等差数列，
所以
所以
（2）由
所以
因为所以
即
【点睛】关键点点睛： ，两边同时除以，构造等差数列是本题的关键.本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.
18．（1），；（2）.
【分析】（1）先构建新数列，再求出并构建方程，最后求出即可.
（2）先整理为，再利用裂项相消法求即可.
【详解】（1）由题意，令，设数列的前项和为，则.
当时，；
当时，.
∴数列是常数列，即，
故，；
（2）由（1）知，，
∴
.
【点睛】本题考查由递推关系求通项，裂项相消法求前项和，是基础题.
19．答案不唯一，具体见解析．
【分析】先求出，
选条件①．可判断是等差数列，求出，得到，由题意建立不等式组，解出k符合题意；
选条件②可判断数列是等比数列，求出，得到则，由为递增等比数列，从而判断出不存在，使得对于任意的，恒有成立．
选条件③（），求出，得到，由，当时，，可判断存在，使得符合题意.
【详解】解：根据题意，数列是等比数列，，，
故数列是首项为，公比为的等比数列，即得．
方案一：选条件①．
则有数列是公差为2，首项为1的等差数列，因此可得，
则，由，解之可得，，
因此存在，使得对于任意的，恒有成立．
方案二：选条件②（），
则数列是公比为4，首项为1的等比数列，因此可得，
则，所以，由，可得
数列是首项为，公比为2的递增等比数列，
因此不存在，使得对于任意的，恒有成立．
方案三：选条件③（），
（），
，即，
，当时，，
因此存在，使得对于任意的，恒有成立．
故答案为：①或③．
【点睛】（1）“结构不良问题”是2020年新高考出现的新题型：题目所给的三个可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，而且，在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分；
（2）数列求通项公式的方法：①观察归纳法；②公式法；③由求；④由递推公式求通项公式；
（3）数列求和常用方法：
①公式法； ②倒序相加法；③裂项相消法； ④错位相减法．
20．(1)；
(2)三角形面积最大为1.
【分析】（1）写出抛物线焦点，根据焦点重合及椭圆所过的点坐标求椭圆参数，即可得椭圆方程；
（2）联立直线与椭圆的方程，结合题意得面积关于斜率的函数，结合二次函数的性质即可求三角形面积最大值.
（1）
抛物线的焦点为，故，所以，
因在椭圆上，所以，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）
设的中点为，
将直线（）代入得：，
所以，则，，
因为是以为对角线的菱形的顶点，且不在椭圆上，
所以，即，解得，
设到直线的距离为，则，
当，即时，三角形面积最大为1.
21．(1)，第十个月
(2)分布列见解析，
【分析】（1）令，求出、的值，将参考数据代入最小二乘法公式，求出、的值，即可得出关于的经验回归方程，然后解不等式，即可得解；
（2）分析可知随机变量的可能取值有、、，可得出随机变量的分布列，进而可求得.
【详解】（1）解：由得.
由题意得，，
所以，
.
所以，即关于的经验回归方程为.
令，所以，解得.
由于，所以，
所以从第十个月开始，该年级体重超标的人数降至人以下.
（2）解：由题意得的可能取值为、、，
，，
，
所以的分布列为
所以，.
22．(1)列表见解析；
(2)；
(3)38.7，二次函数拟合效果更好.
【分析】（1）根据题中数据直接填表即可；
（2）根据题中所给的数据和公式进行求解即可；
（3）根据题中所给的公式，结合所给的函数关系进行求解判断即可.
【详解】（1）整理数据如图：
x（旋转角度：度） 18 36 54 72 90
y（燃气用量：dm3） 130 122 139 149 172
（2），，，
，
故回归直线方程为；
（3），即旋转角约为38.7时，烧开一壶水燃气用量最少.
回归直线与二次函数拟合两者关系时，相关指数分别为，，
则，.
因为，所以二次函数拟合效果更好.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

2023届全国甲卷仿真卷（七）（含解析）