山东省枣庄市重点中学2022-2023高一下学期4月月考数学试题（彩虹班）（含答案）

高一月考彩虹班数学试卷
一、单选题

1．下列关于向量的结论：（1）任一向量与它的相反向量不相等；（2）向量 a与b 平行，则 a

与b 的方向相同或相反；（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向

量 a 与b 同向，且 | a | | b | ，则 a b .其中正确的序号为
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（3）

2．如图，在 ABC中，D是 BC上的点，则 AB BC AD 等于（ ）

A． AD B．DB C．DC D． AB

3．已知向量 a、b不共线，且 c xa b,d a

2x 1 b，若 c与 d共线，则实数 x的值为（ ）
1 1 1
A．1 B． C．1或 D． 1或
2 2 2
4. 已知复数 = 5+3 1 ，则下列说法正确的是( )
A. 的虚部为 4 B. 的共轭复数为 1 4
C. | | = 5 D. 在复平面内对应的点在第二象限
5. 已知复数 1 = 3 + 4 ， 2 = 3 4 ，则 1 2等于 ( )
A. 8 B. 6 C. 6 + 8 D. 6 8
6. 复数 = 2018 + ( 1+ 20191 ) ( 是虚数单位)的共轭复数 表示的点在 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
7. 在复数范围内，多项式 4 2 + 1 可以因式分解为 ( )
A. 4( + 2 )(

2 ) B. 4(
1
2 )( +
1
2 ) C. (

2 )( +

2 ) D. (
1
2 )( +
1
2 )
8. 若 1 + 2 是关于 的实系数方程 2 + + = 0 的一个复数根，则 ( )
A. = 2， = 3 B. = 2， = 3
C. = 2， = 1 D. = 2， = 1
二、多选题
9. 任何一个复数 = + (其中 , ∈ , 为虚数单位)都可以表示成： = (cos + sin )
的形式，通常称之为复数 的三角形式．法国数学家棣莫弗发现： = [ (cos + sin )] =
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(cos + sin )( ∈ +)，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正
确的是 ( )
A. | 2| = | |2
B. = 1 当 ， = 3时，
3 = 1
C. 当 = 1， = 1 33时， = 2 2
D. 当 = 1， = 时，若 为偶数，则复数 4 为纯虚数
10. 设 1， 2是复数，则下列命题中的真命题是 ( )
A. 若| 1 2| = 0，则 1 = 2 B. 若 1 = 2，则 1 = 2
C. 若 2 21· 1 = 2· 2，则| 1| = | 2| D. 若| 1| = | 2|，则 1 = 2
11. 已知关于 的方程 4 2 + 2 = 0( , ∈ )在复数范围内有一个根为 2 + ，则下
列结论正确的是 ( )
A. 4| |
C. = 16 D. + = 16 + 2 5
12. 若复数 满足 (1 2 ) = 10，则 ( )
A. = 2 4
B. 2是纯虚数
C. 复数 在复平面内对应的点在第三象限
D. 若复数 在复平面内对应的点在角 的终边上，则 sin = 55
三、填空题
13. 设复数 1， 2满足| 1| = | 2| = 2，且 1 + 2 = 2 2 ，其中 为虚数单位，则| 1
2| = ．
14. 如图所示，在复平面内，网格中的每个小正形的边长都为 1，点 ， 对应的复数分别

是 21， 2，则| | = ．1
15. 2设复数 =1+ ，则复数 +
2的共轭复数为 ．

16. 已知复数 1 = 4 ， 2 = 8 + 6
1
，若 为纯虚数，则2
(1)实数 = ；(2)复数 1的平方根为 ．
四、解答题
17. 计算：
(1) (1 + ) (2 3 )(2 + 3 )；
(2)(1 + 2 )2 + 5+3 20211+ + ．
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18. 为何实数时，复数 = 2 + 2 3 + 1 2 1 满足下列要求：
(1) 是纯虚数；
(2) 在复平面内对应的点在第二象限；
19. 已知复数 = ( 1) + ( 2 + 2 3) ，当实数 取什么值时，复数 是(1)零；(2)
纯虚数；(3) = 2 + 5 ．
20. 已知复数 1 = 1 2 ， 2 = 3 + 4 ， 为虚数单位．
(1)若复数 1 + 2在复平面上对应的点在第四象限，求实数 的取值范围；
= (2) 1若 ，求 的共轭复数．2
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21 ．已知向量 a (1,1),b (2, 3).

(1)求 a 2b 和 a b ；

(2) 当 k为何值时， ka 2b与 a b平行？平行时它们是同向还是反向？
22．在 ABC中，b 2 3，再从下面两个条件中，选出一个作为已知，解答下面问题．
(1)若a 2，求 ABC的面积;
(2)求 a c的取值范围．
条件① 3ccosB bsinC；条件 ② 2a c 2bcosC．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
第 4页，共 4页高一月考彩虹班数学参考答案
1. D 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.2 3 14. 5 15.1
2. 16.3 , 2 或 2 +
17.解: (1) (1 + ) (2 3 )(2 + 3 ) = 1 (4 + 9) = 14；(2)(1 + 2 )2 + 5+3 + 20211+ ．
(5+ 3 )(1 )
= 1 + 4 4 + (1+ )(1 ) +
= 5 3 + 4
= 1 + 4 ．
18.解： = (2 + ) 2 3( + 1) 2(1 )
= 2 2 + 2 3 3 2 + 2
= (2 2 3 2) + ( 2 3 + 2) ．
2
(1)由 是纯虚数，可得 2 3 2 = 02 ，解得 =
1
，
3 + 2 ≠ 0 2
= 1即 2时， 是纯虚数．
2
(2)由 2 3 2 < 0，得 1 < < 1，
2 3 + 2 > 0 2
1
即 ∈ ( 2 , 1)时， 在复平面内对应的点在第二象限．
19. ( 1) = 0,解：(1)由 2 + 2 3 = 0,可得 = 1．
( 1) = 0,
(2)由 2 可得 = 0．+ 2 3 ≠ 0,
( 1) = 2,
(3)由 2 + 2 3 = 5,可得 = 2．
综上，当 = 1 时，复数 是 0；
当 = 0 时，复数 是纯虚数；
当 = 2 时，复数 = 2 + 5 ．
20.解：(1)因为 1 + 2 = 1 2 + 3 + 4
= 1 + 3 + 4 2 ，
1 + 3 > 0
由题意可得： 4 2 < 0，
1 1
解得 3 < < 2，
1 1
所以实数 的取值范围为 3 , 2 ；
(2)由 = 1 = 1 2 (1 2 )(3 4 ) 5 10 1 2 1 2 2 3+4
= (3+4 )(3 4 ) = 25 = 5 5 ，所以 = 5 + 5 ．

21 ．（1）因为向量 a (1,1),b (2, 3)，则 a 2b ( 3,7)， a b (3, 2)，
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所以 | a 2b | ( 3) 2 7 2 58 ， | a b | 32 ( 2) 2 13 .

（2）依题意， ka 2b (k,k) (4, 6) (k 4,k 6)，由（1）知 a b (3, 2)，

由3(k 6) ( 2)(k 4) 0，解得 k 2，于是当 k 2时， ka 2b 与 a b 共线，

且 ka 2b 2(a b)，即有 ka 2b 与 a b 方向相反，

所以当 k 2时， ka 2b 与a b 共线，并且它们反向共线.
22．（1）选条件①， 3c cos B b sinC ， 3 sinC cos B sin BsinC ，又 sinC 0，
tan B 3，而 B 0, π ，故 B ；
3
2 2 2 2 2 2
选条件②， 2a c 2bcosC， 2a c 2bcosC 2b a b c a b c ，
2ab a
2 2 2
即 a2
a c b ac 1
c2 b2 ac， cos B ，
2ac 2ac 2
又 B 0, π ，故 B .
3
在 ABC π中，当b 2 3， a 2， B 时，3
2 1
由余弦定理b2 a2 c2 2ac cosB 得：12 4 c 4c ，
2
即 c2 2c 8 0， c 4，
S 1所以 ABC ac sin B
1
2 4sin π 2 3 .
2 2 3
π
（2）由题设及小问 1可知： B ，b 2 3，故由正弦定理得：3
a c b sin A sinC 2 3 π sin A sinC 4 sin A sinC sin B sin
3
4 sin C π

sinC 4 3 sin

C
π

3 6
B ， C
2π 0, ，故2 3 4 3sin
C π π 4 3 (当且仅当 A C 时等号成立)，3 3 6 3
即 2 3 a c 4 3 .
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