专题4 数列求和及综合应用（原卷版+解析版）- 2023届高考数学二模试题分类汇编（新高考卷）

专题4 数列求和及综合应用
1．（2023·北京·北京市八一中学校考模拟预测）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河南信阳·校联考模拟预测）在正三棱柱中，若点处有一只蚂蚁，随机的沿三棱柱的各棱或各侧面的对角线向相邻的某个顶点移动，且向每个相邻顶点移动的概率相同，设蚂蚁移动次后还在底面的概率为，有如下说法：①；②；③为等比数列；④，其中说法正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
3.（多选题）（2023·福建漳州·统考二模）已知数列是首项为的正项等比数列，若A，B，C是直线l上不同的三点，O为平面内任意一点，且，则（ ）
A． B．数列的前6项和为
C．数列是递减的等差数列 D．若，则数列的前n项和的最大值为1
4．（2023·江苏南通·模拟预测）弓琴（如图），也可称作“乐弓”，是我国弹弦乐器的始祖．古代有“后羿射十日”的神话，说明上古生民对善射者的尊崇，乐弓自然是弓箭发明的延伸．在我国古籍《吴越春秋》中，曾记载着：“断竹、续竹，飞土逐肉”．弓琴的琴身下部分可近似的看作是半椭球的琴腔，其正面为一椭圆面，它有多条弦，拨动琴弦，音色柔弱动听，现有某研究人员对它做出改进，安装了七根弦，发现声音强劲悦耳．下图是一弓琴琴腔下部分的正面图．若按对称建立如图所示坐标系，为左焦点，均匀对称分布在上半个椭圆弧上，为琴弦，记，数列前n项和为，椭圆方程为，且，则取最小值时，椭圆的离心率为__________.
5．（2023·湖南常德·统考二模）已知数列满足（）.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求的前n项和.
6．（2023·浮梁县第一中学校联考模拟预测）在数列中，，点在直线上.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
7．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）已知公差为正数的等差数列中，，，构成等比数列，是其前项和，满足.
(1)求数列的通项公式及前项和；
(2)若_________，求数列的前项和.
在①，②，③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
8．（2023·辽宁丹东·统考二模）为数列的前n项和，已知．
(1)证明：；
(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入数列的前k项，使它们和原数列的项构成一个新的数列：，，，，，，，，，，…，求这个新数列的前50项和．
9．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数（互质是公约数只有1的两个整数），例如：，.
(1)求，，；
(2)若数列满足，且，求数列的通项公式和前n项和.
10．（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）给出以下条件：①，，成等比数列；②，，成等比数列；③是与的等差中项．从中任选一个，补充在下面的横线上，再解答．
已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，__________．
(1)求的通项公式；
(2)令是以1为首项，2为公比的等比数列，求数列的前n项和．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
11．（2023·辽宁大连·校联考模拟预测）已知数列的前n项之积为．
(1)求数列的通项公式；
(2)设公差不为0的等差数列中，，___________，求数列的前n项和．
请从①；②这两个条件中选择一个条件，补充在上面的问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别作答，则按照第一个解答计分．
12．（2023·四川宜宾·统考模拟预测）已知数列，，，记为数列的前项和，．
条件①：是公差为2的等差数列；条件②：．
从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
13．（2023·山东聊城·统考二模）已知数列满足，，数列满足．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和．
14．（2023·四川遂宁·统考二模）已知数列是公差为2的等差数列，其前3项的和为12，是公比大于0的等比数列，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若数列满足，求的前项和.
15．（2023·新疆阿克苏·校考二模）已知等差数列的前项和为，且，，数列满足，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求满足的最小正整数．
16．（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）若数列的前项和满足．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设，记数列的前项和为，证明：．
17．（2023·湖南岳阳·统考二模）已知数列的前项和为
(1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)设，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
18．（2023·浙江温州·统考二模）已知是首项为1的等差数列，公差是首项为2的等比数列，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列的第项，满足__________（在①②中任选一个条件），，则将其去掉，数列剩余的各项按原顺序组成一个新的数列，求的前20项和．
①②．
19．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且，，数列的前n项和为，且．
(1)求数列，的通项公式．
(2)记，若数列的前n项和为，数列的前n项和为，探究：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
20．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）将正奇数数列1，3，5，7，9…的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如图的三角形数表．
(1)设数表中每行的最后一个数依次构成数列，求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题4 数列求和及综合应用
1．（2023·北京·北京市八一中学校考模拟预测）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】（1）当n为偶数时，恒成立，即转化为恒成立，
而数列是递增数列，故时，，故；
（2）当n为奇数时，恒成立，即，转化为恒成立，
而数列是递增数列，n为奇数时，，故；
综上可得a的范围为.
故选：B.
2．（2023·河南信阳·校联考模拟预测）在正三棱柱中，若点处有一只蚂蚁，随机的沿三棱柱的各棱或各侧面的对角线向相邻的某个顶点移动，且向每个相邻顶点移动的概率相同，设蚂蚁移动次后还在底面的概率为，有如下说法：①；②；③为等比数列；④，其中说法正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于①，第一次移动后，可移动到点，其中位于底面上的点有，当时，，①错误；
对于②，当时，记为第次移动后在底面上的概率，则表示第次移动后在平面上的概率，
在底面上移动的概率为，由平面移动到底面的概率为，
，，②正确；
对于③，由得：，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，③正确；
对于④，由③知：，，④正确.
故选：C.
3.（多选题）（2023·福建漳州·统考二模）已知数列是首项为的正项等比数列，若A，B，C是直线l上不同的三点，O为平面内任意一点，且，则（ ）
A． B．数列的前6项和为
C．数列是递减的等差数列 D．若，则数列的前n项和的最大值为1
【答案】BC
【解析】由题知，，，，三点共线，
则，设公比为，，
由是正项等比数列，解得，
，.
所以，故A错误；
所以，故B正确；
因为，
且，
所以数列是为首项，为公差的递减的等差数列，
故C正确；
又，
所以数列的前n项和为
，所以越大，数列的前n项和也就越大，
但不可能为，只是无限接近于，故D错误.
故选：BC
4．（2023·江苏南通·模拟预测）弓琴（如图），也可称作“乐弓”，是我国弹弦乐器的始祖．古代有“后羿射十日”的神话，说明上古生民对善射者的尊崇，乐弓自然是弓箭发明的延伸．在我国古籍《吴越春秋》中，曾记载着：“断竹、续竹，飞土逐肉”．弓琴的琴身下部分可近似的看作是半椭球的琴腔，其正面为一椭圆面，它有多条弦，拨动琴弦，音色柔弱动听，现有某研究人员对它做出改进，安装了七根弦，发现声音强劲悦耳．下图是一弓琴琴腔下部分的正面图．若按对称建立如图所示坐标系，为左焦点，均匀对称分布在上半个椭圆弧上，为琴弦，记，数列前n项和为，椭圆方程为，且，则取最小值时，椭圆的离心率为__________.
【答案】
【解析】设，有，
得，所以数列是等差数列，
，
由题意，的横坐标为八等分，所以，
而，又，所以，
所以
，
当且仅当即时取得等号，此时离心率为，
5．（2023·湖南常德·统考二模）已知数列满足（）.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求的前n项和.
【解析】（1）由题可知（），
当时，；
当时，，
，
两式相减得：，
即，
经检验，当时，也符合上式；
故数列的通项公式为：，.
（2）由（1）得：，
，
故的前n项和.
6．（2023·浮梁县第一中学校联考模拟预测）在数列中，，点在直线上.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【解析】（1）依题意，，即，因此数列是公差为3的等差数列，则，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）得，
则，
于是，
两式相减得，
所以.
7．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）已知公差为正数的等差数列中，，，构成等比数列，是其前项和，满足.
(1)求数列的通项公式及前项和；
(2)若_________，求数列的前项和.
在①，②，③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【解析】（1）解：设等差数列的公差为，
依题意可得，则
解得，，
所以，数列的通项公式为.
综上：
（2）解：选①
由（1）可知：
∴
∵
∴
选②
由（1）可知：
∴
∵
选③
由（1）可知：，∴
∵
则
于是得
两式相减得，
所以.
8．（2023·辽宁丹东·统考二模）为数列的前n项和，已知．
(1)证明：；
(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入数列的前k项，使它们和原数列的项构成一个新的数列：，，，，，，，，，，…，求这个新数列的前50项和．
【解析】（1）由得．
由，可知．
相减得，所以．
又，故，因此．
（2）设数列的前项和为，则．
两边同乘以2得
．
以上两式相减得
．
设是新数列的第N项，则
．
当时，，当时，．
故这个新数列的前50项中包含的前9项，以及列的前k（k＝1，2，3，…，8）项和前5项，
由（1）知，所以这个新数列的前50项和为
．
9．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数（互质是公约数只有1的两个整数），例如：，.
(1)求，，；
(2)若数列满足，且，求数列的通项公式和前n项和.
【解析】（1），，.
（2）∵，∴
∵，∴数列是以1为首项，以为公差的等差数列.
∴，∴，
，
，
∴
∴.
10．（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）给出以下条件：①，，成等比数列；②，，成等比数列；③是与的等差中项．从中任选一个，补充在下面的横线上，再解答．
已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，__________．
(1)求的通项公式；
(2)令是以1为首项，2为公比的等比数列，求数列的前n项和．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
【解析】（1）选①，设递增等差数列的公差为，
由，，，有，
化简得，则，，所以的通项公式为．
选②，设递增等差数列的公差为，
由，，，有，
化简得，即，解得，
则，所以的通项公式为．
选③，设递增等差数列的公差为，
由是与的等差中项，得，即，
则有，
化简得，即，解得，
则，所以的通项公式为．
（2）由是以1为首项，2为公比的等比数列，得，
由（1）知，即有，
则，于是，
两式相减得：，
因此．
11．（2023·辽宁大连·校联考模拟预测）已知数列的前n项之积为．
(1)求数列的通项公式；
(2)设公差不为0的等差数列中，，___________，求数列的前n项和．
请从①；②这两个条件中选择一个条件，补充在上面的问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别作答，则按照第一个解答计分．
【解析】（1）当时，，
当时，，
将代入得，符合
综上，.
（2）若选①，
设等差数列的公差为，
因为，，
所以，解得，
所以，
若选②，
设等差数列的公差为，
因为，所以，
又因为，所以，解得
所以，
，
所以
，
所以.
12．（2023·四川宜宾·统考模拟预测）已知数列，，，记为数列的前项和，．
条件①：是公差为2的等差数列；条件②：．
从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【解析】（1）因为为数列的前项和，所以.
选择条件①：因为是公差为2的等差数列，
首项为，
所以，
整理，得，
所以，
所以，
所以，当时也符合，
所以；
选择条件②：因为，所以，
所以，
所以，整理，得，
所以是以为首项，公差为1的等差数列，
所以，
即.
（2）由（1）知，所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
整理，得.
13．（2023·山东聊城·统考二模）已知数列满足，，数列满足．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【解析】（1），得，
因为，即，解得，
由，得，
又，
故，所以，即，
所以，
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
则，故，
所以；
（2）当为偶数时，
，
当为奇数时，
，
综上所述，.
14．（2023·四川遂宁·统考二模）已知数列是公差为2的等差数列，其前3项的和为12，是公比大于0的等比数列，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若数列满足，求的前项和.
【解析】（1）设公差为，公比为，
则由题可得数列的前3项的和，
因为，所以，所以，
又因为，
所以解得或（舍），
所以.
（2）由（1）可知，，
所以的前项和为：
.
所以
15．（2023·新疆阿克苏·校考二模）已知等差数列的前项和为，且，，数列满足，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求满足的最小正整数．
【解析】（1）设等差数列的公差为，则，解得：，
；
，
当时，；
当时，，
经检验：满足，.
（2）由（1）得：，
，
由得：，解得：，
使得成立的最小正整数.
16．（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）若数列的前项和满足．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设，记数列的前项和为，证明：．
【解析】（1）证明：由，当时，可得；
当时，，所以，
时，，
数列构成以为首项，为公比的等比数列；
（2）证明：由（1）知,，
，
即成立．
17．（2023·湖南岳阳·统考二模）已知数列的前项和为
(1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)设，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）由得，又，
所以数列是以为首项，公差为1的等差数列，
，即
当时，
，
又不满足上式，
所以；
（2）由（1）知，
当时，；
当时，，即
所以的最大值为，
依题意，即，
解得或.
18．（2023·浙江温州·统考二模）已知是首项为1的等差数列，公差是首项为2的等比数列，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列的第项，满足__________（在①②中任选一个条件），，则将其去掉，数列剩余的各项按原顺序组成一个新的数列，求的前20项和．
①②．
【解析】（1）设的公差为的公比为，
因为，所以，
联立消得，解得或与矛盾，
故，代回计算得，
所以
（2）若选①，则有，
所以剩余的项就是原数列的奇数项，
相当于剩余的项以2为首项，4为公比的等比数列，
所以；
若选②，则有，
因为，
所以当时，对应的为整数，满足，
当时，对应的不为整数，不满足，
所以剩余的项就是原数列的奇数项，
相当于剩余的项以2为首项，4为公比的等比数列，
所以
19．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且，，数列的前n项和为，且．
(1)求数列，的通项公式．
(2)记，若数列的前n项和为，数列的前n项和为，探究：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）设等差数列的公差为d，则，
解得，，故，
因为，所以当时，，
当时，，，
两式相减可得，得，由题易知，则，
所以数列是以4为首项，4为公比的等比数列，
故；
（2）由（1）可如，故，
，
所以，
，
两式相减可得，
故，
故，为定值．
20．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）将正奇数数列1，3，5，7，9…的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如图的三角形数表．
(1)设数表中每行的最后一个数依次构成数列，求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【解析】（1）由题意知，，，……，，
所以，
，
得，因为，所以，
经检验满足题意，所以；
（2）由题意得，，
所以，．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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