专题14 圆锥曲线中的最值、范围、探索问题（原卷版+解析版）- 2023届高考数学二模试题分类汇编（新高考卷）

专题14 圆锥曲线中的最值、范围、探索问题
1．（2023·河南郑州·统考二模）已知椭圆的焦距为，分别为左、右焦点，过的直线与椭圆C交于M，N两点，的周长为8.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求三角形内切圆半径的最大值.
【解析】（1）已知椭圆的焦距，则，又，
所以，则，
所以=1，故椭圆C的方程为.
（2）设，，
联立得：，则，
，仅当等号成立，
设三角形内切圆半径为，则，故，
三角形内切圆半径的最大值为.
2．（2023·山东菏泽二模）在平面直角坐标系中，已知点，点为动点，点为线段的中点，直线与的斜率之积为.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)设过点且不与坐标轴垂直的直线与交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，若点的横坐标，求的取值范围.
【解析】（1）设动点，则的中点，所以
则，依题意，，
整理得，又，
故动点的轨迹方程为；
（2）设直线，设，
联立直线与椭圆方程，得，
则恒成立，
所以由韦达定理可得，
可得的中点的纵坐标
的中点为，
线段的垂直平分线方程为，
，由已知条件得：，解得，
，
，，所以.
3．（2023·浮梁县第一中学校联考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与椭圆交于两点（在轴上方），且，设点在轴上的射影为点，的面积为，抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，斜率为的直线过抛物线的焦点与椭圆交于两，点，与抛物线交于两点.
(1)求椭圆及抛物线的标准方程；
(2)是否存在常数，使为常数？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）由题意可设，可得，
所以，所以，，
所以，所以，
点P坐标代入椭圆方程得，所以椭圆C方程为，
所以，即，所以抛物线E方程为.
（2）设.
直线l的方程为，与椭圆C的方程联立得，
则恒成立，所以
则.
直线l的方程为，与抛物线E的方程联立得.
.
.
要使为常数，则，得.
故存在，使为常数.
4．（2023·辽宁丹东·统考一模）已知O为坐标原点，，为双曲线C：的左右焦点，P为C的右支上一点，当轴时，．
(1)求C的方程；
(2)若P异于C的右顶点A，点Q在直线上，，M为AP的中点，直线OM与直线的交点为N，求的取值范围．
【解析】（1）解：因为，所以．
因为当轴时，，可知．
点P到两个焦点，的距离分别为3和5．
由双曲线定义得，所以．
因此C的方程为．
（2）由题设直线PA的斜率k存在，且．
由，及Q在直线上，可得．
设PA：，．
由，得．
这个关于x的方程两根为，1．因此，．
因为，所以．
设，则，所以．
由，得．
由，得，因为，所以．
因此．
即的取值范围为．
5．（2023·四川广安·统考二模）已知椭圆经过，两点，，是椭圆上异于的两动点，且，若直线，的斜率均存在，并分别记为，.
(1)求证：为常数；
(2)求面积的最大值.
【解析】（1）设直线的倾斜角分别为，
因为，所以，
即，故，
因为，，所以，所以，
所以，
则，
所以为常数；
（2）椭圆经过，两点，
代入得，解得，
所以椭圆方程为，
设，，由（1）得，
则的方程为，的方程为，
联立，消得，则，
同理可得，
则
令，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为.
6．（2023·山西·校联考模拟预测）已知椭圆的离心率为，三点中恰有两个点在椭圆上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若C的上顶点为E，右焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点（与椭圆顶点不重合），直线EA，EB分别交直线于P，Q两点，求面积的最小值．
【解析】（1）由椭圆的对称性可知点和在C上，代入方程得．
设C的半焦距为，则离心率为，所以，
所以，解得，以椭圆C的方程为．
（2）设，，，设直线．
由消去x得，
所以，
设点，直线EA的方程为，
由与联立得，
同理可得．
所以
．
整理得，
因为点到直线的距离，
所以．
设，则，
所以，
当，即时，．
7．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知抛物线的焦点为F，直线交抛物线E于A，B两点，当直线过点F时，点A，B到E的准线的距离之和为12，线段AB的中点到y轴的距离是4．
(1)求抛物线E的方程；
(2)当时，设线段AB的中点为M，在x轴上是否存在点N，使得为定值？若存在，求出该定值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）因为直线过焦点F时，A，B到E的准线的距离之和为12，
所以此时AB的中点到的距离为6，
又AB的中点到x轴的距离为4，所以y轴与间的距离为2，即，
所以，
所以抛物线E的方程为；
（2）设，，，
联立方程，得消去并整理得．
，
则．
因为M为线段AB的中点，
所以
．
所以当，是定值．
所以在x轴上存在点，使得为定值．
8．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知椭圆：焦距为2，过点的直线与椭圆交于两点.当直线过原点时，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若存在直线，使得，求的取值范围.
【解析】（1）因为直线过原点时，，设，
由可得：，即设不妨点在第一象限，
所以，
代入椭圆的方程，可得，
又由题意可知，，且，解得，，
所以椭圆的标准方程为；
（2）易知直线的斜率存在，设：，
与椭圆的方程联立，
消去，整理得，
由题意可知，，
整理得，解得，
设，，则，，①
由题意，，
将①代入上式，整理得，有，
由，则，故，即.
9．（2023·山东滨州二模）已知双曲线的一条渐近线的方程为，点在双曲线上．
(1)求双曲线的标准方程．
(2)设点在轴上，，在双曲线上是否存在两点，，使得当，，三点共线时，是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标和直线的方程；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题知：，解得，故双曲线的标准方程为．
（2）假设存在符合题意的点，．由，，三点共线，知直线的斜率存在．
设直线的方程为，，．
由，消去并整理，得，
则.
解得且，，．
设线段的中点为，则，．
设，则，．
则，即，即，整理得．
由，得，
则，
即，
所以．
整理，得，解得．显然满足条件且．
当时，点的坐标为，此时直线的方程为；
当时，点的坐标为，此时直线的方程为．
所以存在满足题意的点，，此时点的坐标为，直线的方程为；或点的坐标为，直线的方程为.
10．（2023·江苏南通·二模）已知椭圆的离心率为，焦距为，过的左焦点的直线与相交于、两点，与直线相交于点．
(1)若，求证：；
(2)过点作直线的垂线与相交于、两点，与直线相交于点．求的最大值．
【解析】（1）证明：设、，因为椭圆的焦距为，所以，解得．
又因为椭圆的离心率，所以，所以，
所以椭圆的方程为.
因为直线经过、，，
所以，直线的方程为，
设点、，联立可得，
由，得，.
所以，
，
因此，.
（2）证明：若直线、中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线平行，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在且不为零，设直线方程为，
则直线方程为，其中．
联立可得，
设、，则，
由韦达定理可得，，
易知且，将代入直线的方程可得，即点，
所以
，
同理可得，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最大值为.
【点睛】圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
11．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）已知椭圆的短轴长为，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线l与圆相切，与椭圆交于不同的两点，求的面积的最大值．
【解析】（1）由题意可得：，解得：.
故椭圆的标准方程为：；
（2）圆的方程为，圆心为，半径为，
①当直线斜率不存在时，的方程为或，
直线与椭圆交点为，的面积为，
根据对称性，直线时，的面积为；
②当直线斜率存在时，设直线方程为，
由得，
由，得，
则，得.
因为，所以，所以恒成立，
设，则，
所以
，
所以，
令，
则的面积为，
令，
令，,
所以
因为，从而的面积的最大值为为,
综上，的面积的最大值为.
12．（2023·山东济南二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆与椭圆，且椭圆过椭圆的焦点．过点的直线l与椭圆交于A，B两点，与椭圆交于C，D两点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若存在直线l，使得，求t的取值范围．
【解析】（1）因为椭圆过点，所以，
所以，即椭圆的标准方程为．
（2）易知直线l的斜率存在，设，，，，，
联立直线l与椭圆，，消去y，整理得，
则，，
，即，
联立直线l与椭圆，，消去y，整理得，
则，，
，即
所以，
，
因为，所以，
即，平方整理得，
因为，所以，即t的取值范围为．
13．（2023·山东临沂二模）已知动圆过定点，且与直线相切．
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)过点且斜率为的两条直线分别交曲线于点，点分别是线段的中点，若，求点到直线的距离的最大值．
【解析】（1）由题意知：动圆圆心到定点的距离与到直线的距离相等，
动圆圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
动圆圆心的轨迹的方程为：.
（2）设直线，，，
由得：，则，
，，
，同理可得：，
直线，
又，直线，
直线恒过定点，
点到直线距离的最大值为.
14．（2023·江西九江·统考二模）已知P是抛物线上一动点，是圆上一点，的最小值为．
(1)求抛物线E的方程；
(2)是圆M内一点，直线l过点N且与直线MN垂直，l与抛物线C相交于两点，与圆M相交于两点，且，当取最小值时，求直线的方程．
【解析】（1）解：取，则，
∵的最小值为，
故的最小值为8，
令，则的最小值为8，
∵开口向上，对称轴，
且，则有：
若，即时，当时，取到最小值9，不合题意；
若，即时，当时，取到最小值，解得或（舍去）；
综上所述：，
所以抛物线E的方程.
（2）
已知是圆上一点，所以，解得，
所以圆，圆心，半径，
因为是圆M内一点，当直线MN的斜率不存在时，直线l垂直于y轴，不可能有，
所以直线MN的斜率存在且不为0，，所以直线l的斜率，
设直线l的方程为，联立抛物线方程，
可得，则，
设，，，，
已知，则，所以①，
由于，所以，
当取最小值时，即（当且仅当，即时等式成立），
此时，所以，
故直线l的方程为，整理得.
15．（2023·山东东营二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上异于左、右顶点的动点，的最小值为2，且的离心率为．
(1)求椭圆的方程．
(2)若圆与的三边都相切，判断是否存在定点，，使为定值．若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设，．由对称性，不妨设，
则，所以，．
因为，，
所以，
所以当时，取得最小值，所以．
由；解得；
所以椭圆的方程为．
（2）设圆的半径为，．
由（1）不妨设，则的面积，
所以，
所以，．
由，，得直线的方程为，
则点到直线的距离为．
整理，得．
把代入上式，得，
即．
由题意得，，，
所以，则．
把，代入椭圆的方程，得，
所以点在椭圆上，
所以存在定点，，使为定值2．
16．（2023·天津·大港一中校联考二模）已知椭圆的离心率为，直线与椭圆相交于两点、，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)设点是椭圆上除长轴端点外的任一点，、为左、右焦点，连接、，设的角平分线交椭圆的长轴于点，求的取值范围．
【解析】（1）因为，且，则，
所以，椭圆的方程可化为，
联立，消去可得，
，可得，
设点、，则，，
所以，
解得：，从而，故所求椭圆的方程为：．
（2）解：在椭圆中，，，，则点、，
因为的角平分线交椭圆的长轴于点，
在点到直线、的距离相等，则，
由椭圆的定义可得，
所以，，解得，
设点，其中，且，
所以，
，
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
17．（2023·贵州·统考模拟预测）已知抛物线及离心率为的椭圆，直线过椭圆的左焦点且与抛物线只有1个公共点.
(1)求抛物线及椭圆的方程；
(2)若直线与曲线交于，两点，直线，与直线分别交于，两点，试判断椭圆上是否存在点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由，得，
因为直线与抛物线只有1个公共点，
所以，解得，
故抛物线的方程为.
由直线过椭圆的左焦点得，又椭圆的离心率为，
得，，则，，
所以椭圆的方程为.
（2）设，，
由得，
所以，
，.
所以，
，
直线的方程为，同理可得，直线的方程为，
令得，，，
假设椭圆上存在点，恒有.
则，
即，
即，
即，
令，可得或.
点不在椭圆上，点在椭圆上，
所以椭圆上存在点，使恒成立.
【点睛】方法点睛：处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为），
（2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，
①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；
②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.
18．（2023·湖南岳阳·统考二模）已知点，点分别为椭圆的左 右顶点，直线交于点是等腰直角三角形，且.
(1)过椭圆的上顶点引两条互相垂直的直线，记上任一点到两直线的距离分别为，求的最大值；
(2)过点且斜率不为零的直线与椭圆相交于两点试问：是否存在轴上的定点，使得.若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由.
【解析】（1）由是等腰直角三角形，得，.
设，则由，得，
代入椭圆方程得，所以椭圆的方程为.
由几何关系可知：，
设，则且
于是当时，，
的最大值是；
（2）设点的坐标为，点的坐标为.
假设存在轴上的定点，使得，即
由题意可知直线的斜率不为0，
所以可设直线的方程为.
联立方程消去得，，
且
直线的斜率为，直线的斜率为
由得：，
，
即恒成立.
解得
即存在轴上的定点使得.
19．（2023·北京海淀·校考模拟预测）已知椭圆E：过点，长轴长为4．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设O为原点，点A为椭圆E的左顶点，过点的直线与椭圆E交于M、N两点，且直线l与x轴不重合，直线AM、AN分别与y轴交于P、Q两点．判断是否为定值，如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由．
【解析】（1）由题意知，，则，
所以，
将代入得：，
所以椭圆E方程为.
（2）是定值，为.
设直线MN的方程为，
，
设，，则，，
因为，
所以设直线AM的方程为，
令得，
同理可得：，
故是定值，为.
20．（2023·江西·校联考模拟预测）已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点分别作两条互相垂直的直线与抛物线分别交于与，记的面积分别为，求的最小值.
【解析】（1）由，知，
所以，所以抛物线的方程为.
（2）由题意知直线与的斜率均不为0，
设，
联立消去得，则，
因为，用替换得
所以，
，
所以
，当且仅当时等号成立.
所以的最小值为32.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "()
" ()
专题14 圆锥曲线中的最值、范围、探索问题
1．（2023·河南郑州·统考二模）已知椭圆的焦距为，分别为左、右焦点，过的直线与椭圆C交于M，N两点，的周长为8.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求三角形内切圆半径的最大值.
2．（2023·山东菏泽二模）在平面直角坐标系中，已知点，点为动点，点为线段的中点，直线与的斜率之积为.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)设过点且不与坐标轴垂直的直线与交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，若点的横坐标，求的取值范围.
3．（2023·浮梁县第一中学校联考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与椭圆交于两点（在轴上方），且，设点在轴上的射影为点，的面积为，抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，斜率为的直线过抛物线的焦点与椭圆交于两，点，与抛物线交于两点.
(1)求椭圆及抛物线的标准方程；
(2)是否存在常数，使为常数？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
4．（2023·辽宁丹东·统考一模）已知O为坐标原点，，为双曲线C：的左右焦点，P为C的右支上一点，当轴时，．
(1)求C的方程；
(2)若P异于C的右顶点A，点Q在直线上，，M为AP的中点，直线OM与直线的交点为N，求的取值范围．
5．（2023·四川广安·统考二模）已知椭圆经过，两点，，是椭圆上异于的两动点，且，若直线，的斜率均存在，并分别记为，.
(1)求证：为常数；
(2)求面积的最大值.
6．（2023·山西·校联考模拟预测）已知椭圆的离心率为，三点中恰有两个点在椭圆上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若C的上顶点为E，右焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点（与椭圆顶点不重合），直线EA，EB分别交直线于P，Q两点，求面积的最小值．
7．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知抛物线的焦点为F，直线交抛物线E于A，B两点，当直线过点F时，点A，B到E的准线的距离之和为12，线段AB的中点到y轴的距离是4．
(1)求抛物线E的方程；
(2)当时，设线段AB的中点为M，在x轴上是否存在点N，使得为定值？若存在，求出该定值；若不存在，说明理由．
8．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知椭圆：焦距为2，过点的直线与椭圆交于两点.当直线过原点时，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若存在直线，使得，求的取值范围.
9．（2023·山东滨州二模）已知双曲线的一条渐近线的方程为，点在双曲线上．
(1)求双曲线的标准方程．
(2)设点在轴上，，在双曲线上是否存在两点，，使得当，，三点共线时，是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标和直线的方程；若不存在，请说明理由．
10．（2023·江苏南通·二模）已知椭圆的离心率为，焦距为，过的左焦点的直线与相交于、两点，与直线相交于点．
(1)若，求证：；
(2)过点作直线的垂线与相交于、两点，与直线相交于点．求的最大值．
11．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）已知椭圆的短轴长为，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线l与圆相切，与椭圆交于不同的两点，求的面积的最大值．
12．（2023·山东济南二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆与椭圆，且椭圆过椭圆的焦点．过点的直线l与椭圆交于A，B两点，与椭圆交于C，D两点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若存在直线l，使得，求t的取值范围．
13．（2023·山东临沂二模）已知动圆过定点，且与直线相切．
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)过点且斜率为的两条直线分别交曲线于点，点分别是线段的中点，若，求点到直线的距离的最大值．
14．（2023·江西九江·统考二模）已知P是抛物线上一动点，是圆上一点，的最小值为．
(1)求抛物线E的方程；
(2)是圆M内一点，直线l过点N且与直线MN垂直，l与抛物线C相交于两点，与圆M相交于两点，且，当取最小值时，求直线的方程．
15．（2023·山东东营二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上异于左、右顶点的动点，的最小值为2，且的离心率为．
(1)求椭圆的方程．
(2)若圆与的三边都相切，判断是否存在定点，，使为定值．若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由．
16．（2023·天津·大港一中校联考二模）已知椭圆的离心率为，直线与椭圆相交于两点、，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)设点是椭圆上除长轴端点外的任一点，、为左、右焦点，连接、，设的角平分线交椭圆的长轴于点，求的取值范围．
17．（2023·贵州·统考模拟预测）已知抛物线及离心率为的椭圆，直线过椭圆的左焦点且与抛物线只有1个公共点.
(1)求抛物线及椭圆的方程；
(2)若直线与曲线交于，两点，直线，与直线分别交于，两点，试判断椭圆上是否存在点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
18．（2023·湖南岳阳·统考二模）已知点，点分别为椭圆的左 右顶点，直线交于点是等腰直角三角形，且.
(1)过椭圆的上顶点引两条互相垂直的直线，记上任一点到两直线的距离分别为，求的最大值；
(2)过点且斜率不为零的直线与椭圆相交于两点试问：是否存在轴上的定点，使得.若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由.
19．（2023·北京海淀·校考模拟预测）已知椭圆E：过点，长轴长为4．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设O为原点，点A为椭圆E的左顶点，过点的直线与椭圆E交于M、N两点，且直线l与x轴不重合，直线AM、AN分别与y轴交于P、Q两点．判断是否为定值，如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由．
20．（2023·江西·校联考模拟预测）已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点分别作两条互相垂直的直线与抛物线分别交于与，记的面积分别为，求的最小值.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "()
" ()

专题14 圆锥曲线中的最值、范围、探索问题（原卷版+解析版）- 2023届高考数学二模试题分类汇编（新高考卷）