专题13 圆锥曲线的定义、方程与性质（原卷版+解析版）- 2023届高考数学二模试题分类汇编（新高考卷）

专题13 圆锥曲线的定义、方程与性质
1．（2023·安徽蚌埠·统考三模）若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ）
A．6 B．或 C． D．或
【答案】D
【解析】当焦点在轴时，由，解得，符合题意，此时椭圆的长轴长为；
当焦点在轴时，由，解得，符合题意，此时椭圆的长轴长为．
故选：D．
2．（2023·河南郑州·统考二模）双曲线：的一条渐近线与圆：交于第一象限的一点，记双曲线的右焦点为，左顶点为，则的值为（ ）
A．0 B．4 C．7 D．12
【答案】B
【解析】由题可知，与圆在第一象限有交点的双曲线的渐近线方程为，双曲线的右焦点坐标为，左顶点坐标为，
由得，，
因为双曲线的一条渐近线与圆交点在第一象限，
所以，即，，
所以点的坐标为，
因为，，
所以，
故选：B．
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线C：，直线l经过定点，且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，满足，则p＝（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【解析】易知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，，．
联立，消去x，得，则，．
∵，∴，∴．
故选：C．
4．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）设是双曲线：的右焦点，以为圆心，以为半径的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】设双曲线的半焦距为c，依题意，焦点到渐近线的距离为，
因此，所以双曲线的离心率.
故选：A
5．（2023·四川成都·统考二模）已知过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则（ ）
A．32 B． C． D．8
【答案】A
【解析】因为抛物线，
所以，，
所以直线的方程为，
由，得，
显然，
设
则有，
所以，
由抛物线定义可知.
故选：A.
6．（2023·辽宁丹东·统考二模）图1是世界上单口径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”——500m口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），其边缘距离底部的落差约为156.25米，它的一个轴截面是一个开口向上的抛物线C的一部分，放入如图2所示的平面直角坐标系xOy内，已知该抛物线上点P到底部水平线（x轴）距离为125m，则点P到该抛物线焦点F的距离为（ ）
A．225m B．275m C．300m D．350m
【答案】A
【解析】令抛物线方程为且，
由题设，在抛物线上，则，得，
又且，则P到该抛物线焦点F的距离为米.
故选：A
7．（2023·河南郑州·统考二模）已知椭圆的上顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于M，N两点，若△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，的中点为，
因为都在椭圆上，
所以，作差可得，
即，所以，
即，因为，所以，
又因为为△BMN的重心，所以，
所以，则，
所以，整理得，即，
所以，则，
所以离心率.
故选: A.
8．（2023·山东·校联考二模）已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为.若在双曲线的渐近线上存在点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】双曲线的右顶点，渐近线方程为，
抛物线的焦点为，
设，则，，
由可得：，
整理可得：，
，
，
，
则：，
由可得：.
故选：B.
9．（2023·山西·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F且斜率为的直线与C交于A，B两点，D为AB的中点，且于点M，AB的垂直平分线交x轴于点N，四边形DMFN的面积为，则（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【解析】由题意知，直线AB的方程为．
设，由，得，
所以，所以，
由，得．
如图所示，作轴于点E，则．
因为，
故，，
又，故，
又，得四边形DMFN为平行四边形．
所以其面积为，解得．
故选：A
10．（2023·山东聊城·统考二模）研究发现椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，这个圆叫做椭圆的蒙日圆．设椭圆的焦点为，，为椭圆上的任意一点，为椭圆的蒙日圆的半径．若的最小值为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为，
不妨设椭圆的焦点在x轴上，中心在坐标原点，显然均为椭圆的切线，
即均在蒙日圆上，
根据对称性分析可得：蒙日圆的圆心为坐标原点，半径，
设椭圆方程为，椭圆上任一点，
∵，则，
可得
，
注意到，
故，当且仅当时，等号成立，
即的最小值为，故，
整理得，即，
整理得，即.
故选：D.
11．（多选题）（2023·云南红河·统考二模）已知曲线：，则（ ）
A．当时，是双曲线，其渐近线方程为
B．当时，是椭圆，其离心率为
C．当时，是圆，其圆心为，半径为
D．当，时，是两条直线
【答案】AC
【解析】对于选项A，或，
当时，原方程可化为，所以是焦点在轴上的双曲线，
其渐近线方程为，
当时，原方程可化为，所以是焦点在轴上的双曲线，
其渐近线方程为，故A正确；
对于选项B，当时，，原方程可化为，
所以是焦点在轴上的椭圆，所以，
所以，故B错误；
对于选项C，当时，原方程可化为，所以是圆，
其圆心为，半径为，故C正确；
对于选项D，若，时，原方程可化为，
当时，，此时是两条直线，
当时，上面方程无解，此时不表示任何图形，故D错误．
故选：AC．
12．（多选题）（2023·山东烟台二模）已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，M是双曲线右支上一点，且在第一象限，线段MA被两条渐近线三等分，则（ ）
A． B．
C．的面积为3ab D．若MA垂直于一条渐近线，则双曲线的离心率为3
【答案】AB
【解析】对于A：易知直线的方程为，
设直线与分别交直线于点，，如图所示：
将与联立，解得.
将与联立，解得.
因为线段MA被两条渐近线三等分，
所以，即，得，故A正确.
对于B：设，则，
由，得，则，得，故B正确.
对于C：，
所以，故C错误.
对于D：设为坐标原点，易知，因为，
所以，又，所以，故，
所以双曲线的离心率，故D错误.
故选：AB
13．（多选题）（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考二模）为抛物线的焦点，点在上且，则直线的方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】抛物线的焦点坐标为，准线为，设，
因为，所以，解得，所以，解得，
所以或，则或，
所以直线的方程为或，即或；
故选：BD
14．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考二模）已知是抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，以线段为直径的圆交轴于两点，交准线于点，则下列说法正确的是（ ）
A．以为直径的圆与轴相切
B．若抛物线上的点到的距离为2，则抛物线的方程为
C．
D．的最小值为
【答案】AC
【解析】由题意可得抛物线的焦点，准线方程为，
设，则的中点，
对于A，，则以为直径的圆的半径为，的中点的横坐标为，
所以的中点到轴的距离为，即以为直径的圆与轴相切，所以A正确；
对于B，因为抛物线上的点到的距离为2，所以，得，则抛物线的方程为，所以B错误；
对于C，设直线的方程为，则的中点，
由，得，
所以，
所以，
所以，则以为直径的圆的半径为，的中点的横坐标为，
所以的中点到准线的距离为，即以AB为直径的圆与该抛物线的准线相切，
所以为切点，，，故C正确；
对于D，，所以当时，取得最小值，所以D错误.
故选：AC.
15．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）已知P，Q是双曲线上关于原点对称的两点，过点P作轴于点M，MQ交双曲线于点N，设直线PQ的斜率为k，则下列说法正确的是（ ）
A．k的取值范围是且 B．直线MN的斜率为
C．直线PN的斜率为 D．直线PN与直线QN的斜率之和的最小值为
【答案】ABC
【解析】设点，，，直线与双曲线两支各有一个交点，
则斜率k在两条渐近线斜率之间，即且，选项A正确；
∵，，选项B正确；
设，则，
，
因为，在双曲线上，
所以，两式相减，则，
所以，
又，∴，选项C正确；
，当且仅当，即时取等，即，
但，所以等号无法取得，选项D错误．
故选：ABC.
16．（2023·陕西西安·统考二模）双曲线的实轴长为4，则其渐近线方程为__________.
【答案】
【解析】根据实轴长为4，知，解得，
又因为双曲线的焦点在轴上，
因此该双曲线的渐近线方程为，即.
17．（2023·江西·校联考二模）写出与圆和抛物线都相切的一条直线的方程_____________．
【答案】或（写出其中之一即可）
【解析】由题知：与圆和抛物线都相切的直线存在斜率，
设切线方程为，
所以，化简得：.
又，
因为，所以，解得或.
当时，，.
当时，，舍去.
所以切线方程为或.
18．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知椭圆的左焦点为F，P是椭圆上一点，若点，则的最小值为_______．
【答案】##
【解析】根据椭圆的定义：，
取得最小值时，
即最小，
如图所示：，当，，共线时取得最小值．
的最小值为：﹒
19．（2022·辽宁·东北育才学校校联考二模）青花瓷，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一.如图是一个落地青花瓷，其外形称为单叶双曲面，且它的外形左右对称，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为16，上瓶口圆的直径为20，上瓶口圆与最小圆圆心间的距离为12，则该双曲线的离心率为___________.
【答案】
【解析】由题意作出轴截面如图：以花瓶最细处横截面圆的直径为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，
设双曲线的方程为：，
花瓶最细处横截面圆直径为，设B为花瓶上瓶口轴截面上的点，
则由已知可得是双曲线上的点，且,
故,解得，故
故，
20．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考三模）已知曲线C：，点M与曲线C的焦点不重合．已知M关于曲线C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在曲线C右支上，则的值为______．
【答案】12
【解析】设双曲线的实半轴长为，则，
设双曲线的左右焦点分别为，
设的中点为，连接.
∵是的中点，是的中点，
∴是的中位线，
∴.
同理，
∴，
∵P在双曲线上，根据双曲线的定义知：，
∴.
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专题13 圆锥曲线的定义、方程与性质
1．（2023·安徽蚌埠·统考三模）若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ）
A．6 B．或 C． D．或
2．（2023·河南郑州·统考二模）双曲线：的一条渐近线与圆：交于第一象限的一点，记双曲线的右焦点为，左顶点为，则的值为（ ）
A．0 B．4 C．7 D．12
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线C：，直线l经过定点，且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，满足，则p＝（ ）
A． B．1 C．2 D．4
4．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）设是双曲线：的右焦点，以为圆心，以为半径的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
5．（2023·四川成都·统考二模）已知过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则（ ）
A．32 B． C． D．8
6．（2023·辽宁丹东·统考二模）图1是世界上单口径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”——500m口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），其边缘距离底部的落差约为156.25米，它的一个轴截面是一个开口向上的抛物线C的一部分，放入如图2所示的平面直角坐标系xOy内，已知该抛物线上点P到底部水平线（x轴）距离为125m，则点P到该抛物线焦点F的距离为（ ）
A．225m B．275m C．300m D．350m
7．（2023·河南郑州·统考二模）已知椭圆的上顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于M，N两点，若△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·山东·校联考二模）已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为.若在双曲线的渐近线上存在点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·山西·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F且斜率为的直线与C交于A，B两点，D为AB的中点，且于点M，AB的垂直平分线交x轴于点N，四边形DMFN的面积为，则（ ）
A． B．4 C． D．
10．（2023·山东聊城·统考二模）研究发现椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，这个圆叫做椭圆的蒙日圆．设椭圆的焦点为，，为椭圆上的任意一点，为椭圆的蒙日圆的半径．若的最小值为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．（多选题）（2023·云南红河·统考二模）已知曲线：，则（ ）
A．当时，是双曲线，其渐近线方程为
B．当时，是椭圆，其离心率为
C．当时，是圆，其圆心为，半径为
D．当，时，是两条直线
12．（多选题）（2023·山东烟台二模）已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，M是双曲线右支上一点，且在第一象限，线段MA被两条渐近线三等分，则（ ）
A． B．
C．的面积为3ab D．若MA垂直于一条渐近线，则双曲线的离心率为3
13．（多选题）（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考二模）为抛物线的焦点，点在上且，则直线的方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
14．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考二模）已知是抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，以线段为直径的圆交轴于两点，交准线于点，则下列说法正确的是（ ）
A．以为直径的圆与轴相切
B．若抛物线上的点到的距离为2，则抛物线的方程为
C．
D．的最小值为
15．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）已知P，Q是双曲线上关于原点对称的两点，过点P作轴于点M，MQ交双曲线于点N，设直线PQ的斜率为k，则下列说法正确的是（ ）
A．k的取值范围是且 B．直线MN的斜率为
C．直线PN的斜率为 D．直线PN与直线QN的斜率之和的最小值为
16．（2023·陕西西安·统考二模）双曲线的实轴长为4，则其渐近线方程为__________.
17．（2023·江西·校联考二模）写出与圆和抛物线都相切的一条直线的方程_____________．
18．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知椭圆的左焦点为F，P是椭圆上一点，若点，则的最小值为_______．
19．（2022·辽宁·东北育才学校校联考二模）青花瓷，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一.如图是一个落地青花瓷，其外形称为单叶双曲面，且它的外形左右对称，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为16，上瓶口圆的直径为20，上瓶口圆与最小圆圆心间的距离为12，则该双曲线的离心率为___________.
20．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考三模）已知曲线C：，点M与曲线C的焦点不重合．已知M关于曲线C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在曲线C右支上，则的值为______．
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