内蒙古赤峰名校2022-2023高二下学期4月第一次月考数学（理）试题（含解析）

参考答案：
1-5 AABAC 6-10 DCDBB 11-12 BA
1．A
【分析】根据复数的除法法则可得，即可得到答案.
【详解】因为，所以，
所以复平面内与对应的点位于第一象限，
故选：A
2．A
【解析】由题可先求样本在,内的频率,再根据总样本容量为30求解即可.
【详解】由题易得在,内的频率为.故样本在,内的数据个数共为.
故选：A
【点睛】本题主要考查了频率与频数的问题.属于基础题型.
3．B
【分析】观察图中数据，逐一判断选项，可得结果.
【详解】对于A，由图知，2013～2020年，随着年份的增加，光伏发电量增加，年光伏发电量与年份成正相关，故A正确；
对于B，由图知，2013～2020年，年光伏新增装机规模同比（与上年相比）增幅不是逐年递减，前几年先递增，再递减，故B不正确；
对于C，由图知，每一年的新增装机规模中，集中式的值都比分布式的值大，所以分布式的平均值小于集中式的平均值，故C正确；
对于D，由图知，2013～2020年，每年光伏发电量占全国发电总量的比重随年份逐年增加，所以每年光伏发电量占全国发电总量的比重与年份成正相关，故D正确.
故选：B
4．A
【答案】A
【分析】由蒙日圆的定义，确定出圆上的一点即可求出圆的半径.
【详解】由蒙日圆的定义，可知椭圆 的两条切线的交点
在圆上，
所以，
故选：A
5．C
【分析】根据直线的斜率大小判断A；求出判断B；再求出经验回归方程判断C；计算残差判断D作答.
【详解】对于A，因为去除两个误差较大的样本点后，经验回归直线的斜率变小，则的估计值增加速度变慢，A错误；
对于B，由及得：，因为去除的两个样本点和，
并且，因此去除两个样本点后，样本的中心点仍为，
因此重新求得的回归方程对应直线一定过点，B错误；
对于C，设去除后重新求得的经验回归直线的方程为，由选项B知，，解得，
所以重新求得的回归方程为，C正确；
对于D，由选项C知，，当时，，则，
因此去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点的残差为，D错误.
故选：C
6．D
【分析】由丙的成绩最低、最高进行推理可得，
【详解】如果丙的成绩最低，则甲乙预测都正确，不合题意，若丙成绩最高，三人预测都错误，也不合题意，因此丙成绩是第二，只有D可选，事实上，这时丙预测是错误的，甲正确，则乙错误．
故选：D．
7．C
【分析】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个，再安排乙丙2人，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧；安排在甲有3个位置的一侧，最后安排其余3人，综上可得答案.
【详解】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个安排有种方法，而甲站好后一边有2个位置，另一边有3个位置，再安排乙丙2人，因乙、丙2人相邻，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧有种方法；安排在甲有3个位置的一侧有种方法，最后安排其余3人有种方法，综上，不同的排队方法有：种.
故选：C.
8．D
【详解】分两个步骤：先分配医生有种方法，再分配护士有，由分步计数原理可得：，
应选答案：D．
【点睛】本题中旨在考查排列数组合数及两个计数原理的综合运用．解答本题的关键是先分步骤分别考虑医生、护士的分配，再运用分步计数原理进行计算．但在第二个步骤中的分配护士时，可能会因为忽视平均分配的问题而忘记除以而致错，解答这类平均分组时，应引起足够的注意．
9．B
【分析】作出辅助线，求出，由三角形相似得到，进而求出，得到抛物线方程，设，，直线，联立抛物线方程，得到两根之积，由焦半径得到，进而求出，从而由焦点弦长公式求出答案.
【详解】设准线l与x轴交于点M，过A作，垂足为D，由抛物线定义知，
，由得，，
因为，所以，即，得，
所以抛物线方程为.
设，，则，所以.
设直线，联立，得到，
则，
∴，
∴.
故选：B.
10．B
【解析】由的通项公式化简，结合分析得到常数项的公式，即可求参数值
【详解】由的通项公式为，结合知：
当为常数项时，有，即(舍去)
当为常数项时，有，即
又∵展开式的常数项为60
∴，解得
故选：B
【点睛】本题考查了二项式定理，已知常数项的值，保证通项公式中x的指数为0且所求的指数r为自然数，即可求得参数值
11．B
【分析】首先利用双曲线的定义求出关系式，进一步利用的最小值为9a，确定m＝a或4a，此时c＝2a或5a，即可求出双曲线的离心率．
【详解】设 ，根据双曲线定义：，
所以 ，
因为 的最小值为 ，
所以（提示：根据“对勾函数”的特征） （不合题意舍去）或 ，
此时，所以双曲线的离心率为5．
故选B
【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程，得到a,c的关系式是解得的关键，对于双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a,c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，转化为a,c的齐次式，然后转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e的取值范围)．
12．A
【分析】设函数，利用导数得出其单调区间，取，从而可判断选项的正误，得出答案.
【详解】令函数，则.
所以单调递增，由，可得在上恒成立，在上恒成立.
取，则
当时，，即，；
当时，，即，.故B，D不一定成立.
又当时，，所以，由换底公式得；
当时，.所以，得. 所以选项A正确
故选: A
13．14
【分析】根据分层抽样的定义即可求解.
【详解】高一年级被抽取的人数为．
故答案为：14.
14．
【解析】由题意可得甲班的数据波动较小，计算甲班方差即可得解.
【详解】由数据表可得出乙班的数据波动性较大，则其方差较大，甲班的数据波动性较小，其方差较小.则甲班的方差为所求方差，其平均值为7，方差.
故答案为：.
【点睛】本题考查了方差的概念和计算，属于基础题.
15．
【分析】直接建立空间直角坐标系，由两向量的夹角公式，可得两条异面直线所成角的余弦值。
【详解】设正方体棱长为，建立空间直角坐标系如图所示，
，，，，
则，，
设两向量夹角为，则=0，
即，所以直线与直线的夹角为。
故答案为：
【点睛】本题主要考查空间向量在立体几何中的应用，属于基础题。
16．
【分析】把已知等式变形为，利用函数（）的单调性得的关系，这样把转化为的函数，再利用导数求得最大值．
【详解】由得，所以，，
因为，所以，
设（），则，递增，
所以由得，所以，
，
设，则，
所以时，，递增，时，，递减，
所以．
故答案为：．
【点睛】本题考查了导数的单调性的应用，考查用导数求函数的最大值．解题关键是已知等式进行同构变形：，然后利用函数的单调性得出变量间的关系．考查了学生的逻辑思维能力，属于较难题．
17．(1)
(2)
【分析】（1）四件产品逐一取出排成一列共有种方法，前两次取出的产品都是二等品的共有种方法，然后利用古典概型的概率公式解之即可；
（2）四件产品逐一取出排成一列共有种方法，第二次取出的产品是二等品的共有种方法，然后利用古典概型的概率公式解之即可；
(1)
解：四件产品逐一取出排成一列共有种方法，前两次取出的产品都是二等品的共有种方法，
所以前两次取出的产品都是二等品的概率为；
(2)
解：四件产品逐一取出排成一列共有种方法，第二次取出的产品是二等品的共有种方法，
所以第二次取出的产品是二等品的概率为；
18．(1)频率分布直方图见详解，；
(2)列联表见详解，在犯错概率不超过0.100的条件下能认为喜爱程度与性别有关.
【分析】(1)利用频率分布直方图的性质以及平均数的计算公式求解.
(2)利用已知的数据以及公式计算求解.
【详解】（1）各组数据频率之和为1，故[60，70]组频率，
所以纵坐标为.样本频率分步直方图如下图：
样本平均数.
（2）
喜欢 不喜欢 合计
男同学 40 30 70
女同学 20 30 50
合计 60 60 120
，
故在犯错概率不超过0.100的条件下能认为喜爱程度与性别有关.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据散点图及一次函数与二次函数特点得出结论；
（2）令，换元后转化为关于的线性回归方程，根据公式求出系数，得出回归直线方程，再换回即可.
【详解】（1）由散点图可知：散点图与一次函数偏差较大，与二次函数较接近，故模型②更适合.
（2）令，则，
，，
对于回归方程，
可得：，，
故回归方程为，即
20．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）取AD的中点G，连结、、，根据和是正三角形，证明平面即可.
（Ⅱ）根据侧面底面，，易得直线、、两两互相垂直，以G为原点，直线、、所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，再由平面的一个法向量，设平面与平面所成锐二面角为，由求解.
【详解】（Ⅰ）如图所示：
取AD的中点G，连结、、．
，
，且，
是正三角形，，
又，
平面．
（Ⅱ）∵侧面底面，
又，底面．．
∴直线、、两两互相垂直，
故以G为原点，直线、、所在直线为x轴、y轴和z轴建立
如图所示的空间直角坐标系．
设，则可求得，，，，．
．．
设是平面的一个法向量，
则且．
解得
取，则．
又∵平面的一个法向量，
设平面与平面所成锐二面角为，
则，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
【点睛】方法点睛：求二面角最常用的方法：1、几何法：二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质．
向量法：分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
21．(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，即可求出，从而求出椭圆方程；
（2）首先表示出直线方程，设、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线、的方程，表示出、，根据得到方程，解得即可；
【详解】（1）解：依题意可得，，又，
所以，所以椭圆方程为；
（2）解：依题意过点的直线为，设、，不妨令，
由，消去整理得，
所以，解得，
所以，，
直线的方程为，令，解得，
直线的方程为，令，解得，
所以
，
所以，
即
即
即
整理得，解得
22．(1)为上的增函数，证明见解析
(2)① ；②当或2时，；当时，
【分析】（1）求导，再根据导函数的符号即可得出函数的单调性；
（2）①恒成立，只要即可，利用导数求出函数的最小值，从而可得出答案；
②先利用作差法判断的单调性，然后结合①中的结论求出的范围，再根据的定义即可得解.
【详解】（1），
记，则，
所以，所以单调递减；
，所以单调递增,
所以，所以，即，且仅有，
所以为上的增函数；
（2）①，
令，则，
则，所以单调递增,
所以，即，
①当时，，所以为递增函数，
所以，满足题意；
②当时，，
有唯一零点，且，
则时，单调递减，
所以，不合题意，舍去，
综上，；
②经计算：，
因为，所以数列单调递增，
所以，当或2时，，
当时，，
当时，由①可知，此时，即，
令，则，则有，
令，
则有，
因为，
所以当时，，
所以，当或2时，；当时，．
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
答案第1页，共2页赤峰名校 2021 级高二下学期第一次月考
理科数学试题
满分：150 分
一、单选题(共 60 分，每小题 5 分)
1．设复数 z满足 1 i z 3 i ，则复平面内与 z对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．一个频数分布表（样本容量为 30）不小心被损坏了一部分，若样本中数据在 20,60 上的频
率为 0.8，则估计样本在 40,50 ， 50,60 内的数据个数共为
A．15 B．16 C．17 D．19
3．太阳能是一种可再生能源，光伏是太阳能光伏发电系统的简称，主要有分布式与集中式两种
方式.下面的图表展示了近年来中国光伏市场的发展情况，则下列结论中不正确的是（ ）
A．2013～2020年，年光伏发电量与年份成正相关
B．2013～2020年，年光伏新增装机规模同比（与上年相比）增幅逐年递减
C．2013～2020年，年新增装机规模中，分布式的平均值小于集中式的平均值
D．2013～2020年，每年光伏发电量占全国发电总量的比重与年份成正相关
4．加斯帕尔·蒙日（图 1）是 18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭
圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙
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” 2 C : x
2 y2
日圆 （图 ）．则椭圆 1的蒙日圆的半径为（ ）
5 4
A．3 B．4 C．5 D．6
5．据一组样本数据 x 1, y1 , x2 , y2 , , x n, y n ，求得经验回归方程为 y 1.2x 0.4，且 x 3．现
发现这组样本数据中有两个样本点 1.2,0.5 和 4.8,7.5 误差较大，去除后重新求得的经验回归
直线 l的斜率为 1.1，则（ ）
A．去除两个误差较大的样本点后， y的估计值增加速度变快
B．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程对应直线一定过点 3,5
C．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为 y 1.1x 0.7
D．去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点 2,2.7 的残差为 0.1
6．在一次数学测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比丙高，乙：我的成绩
比丙高，丙：乙的成绩比我和甲的都高，成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正
确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ）．
A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙
7．甲、乙、丙、丁、戊、己 6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、
丙 2人相邻，则不同的排队方法共有（ ）
A．24种 B．48种 C．72种 D．96种
8．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和 2名护士，不同的分
配方法共有
A．90种 B．180种 C． 270种 D．540种
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9 y2．如图，过抛物线 2 px p 0 的焦点为 F的直线交抛物线于 A，
2
B两点，交其准线 l于点 C，若 AF CF ，且 AF 10，则 AB （ ）
3
95 100A． B． C．18 D．25
6 7
6
10．若 (x 1) x a 展开式中的常数项是 60，则实数 a的值为（ ）
2 x
A．±3 B．±2 C．3 D．2
x2 211 y．已知点 F1、F2 分别为双曲线 2 2 1(a 0,b 0) 的左、右焦点， P 为双曲线左支上的a b
| PF2 |
2
任意一点，若 的最小值为 9a，则双曲线的离心率为
| PF1 |
A．2 B．5 C．3 D．2或 5
a 1
12．已知实数a 0，b 0，a 1，且 lnb ，则必有（ ）
a
A． loga b 1 B． a b C． loga b 1 D． a b
二、填空题(共 20 分,每小题 5分)
13．某中学高一年级有学生 700人，高二年级有学生 600人，高三年级有学生 500人，现在要
用按比例分层随机抽样的方法从三个年级中抽取一部分人参加 6×6方队表演，则高一年级被抽
取的人数为______．
14．某校甲、乙两个班级各有 5名编号为 1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投 10次，
投中的次数如表所示，若以上两组数据的方差中较小的一个为 s2，则 s2 ______.
学号 1号 2号 3号 4号 5号
甲班 6 7 7 8 7
乙班 6 7 6 7 9
15．如图，在正方体 ABCD A 'B 'C 'D '中， E是棱 BC的中点，
G是棱DD '的中点，则异面直线GB与 B 'E所成的角为______.
16．已知正实数 x， y满足 ln x ye x ln y ，则 x y x 4 的最大
值为______．
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三、解答题(共 70 分，其中第 17 题 10 分，18-22 题每题 12 分)
17．一种电路控制器在出厂时每四件一等品装成一箱，工人在装箱时不小心把两件二等品和两
件一等品装入了一箱，为找出该箱中的二等品，需要对该箱中的产品逐一取出进行测试．
(1)求前两次取出的都是二等品的概率；
(2)求第二次取出的是二等品的概率．
18．为了满足同学们多元化的需求，某学校决定每周组织一次社团活动，活动内容丰富多彩，
有书法、象棋、篮球、舞蹈、古风汉服走秀、古筝表演等.同学们可以根据自己的兴趣选择项目
参加，为了了解学生对该活动的喜爱情况，学校采用给活动打分的方式（分数为整数，满分 100
分），在全校学生中随机选取 1200名同学进行打分，发现所给数据均在 40,100 内，现将这些
数据分成 6组并绘制出如图 3所示的样本频率分布直方图.
(1)请将样本频率分布直方图补充完整，并求出样本的平均
数 x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
1
(2)从这 1200名同学中随机抽取 ，经统计其中有男同学
10
70人，其中 40人打分在 70,100 ，女同学中 20人打分在
70,100 ，根据所给数据，完成下面的 2 2列联表，并在犯
错概率不超过 0.100的条件下，能否认为对该活动的喜爱程度与性别有关（分数在 70,100 内认
为喜欢该活动）？
喜欢 不喜欢 合计
男同学
女同学
合计
2 n ad bc
2
附：K

， n a b c d .
a b c d a c b d
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P K 2 k0 0.100 0.050 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
19．某新能源汽车公司从 2018年到 2022年汽车年销售量 y（单位：万辆）的散点图如下：
记年份代码为 x x 1,2,3,4,5
(1)根据散点图判断，模型① y a bx与模型② y c dx2 ，哪一个更适宜作为年销售量 y关于
年份代码 x的回归方程？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的判断结果，建立 y关于 x的回归方程；
参考数据：
5 5 5 5
y x2i x4i x 2i yi xi yi
i 1 i 1 i 1 i 1
34 55 979 657 2805
n n
xi x yi y xi yi nxy
b i 1 i 1n n ,a y xb
x x 2 x 2
2
i i nx
i 1 i 1
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20．如图，四棱锥中 P ABCD中，底面 ABCD是直角梯形， AB//CD， DAB 60 ，
AB AD 2CD ，侧面 PAD 底面 ABCD，且 PAD为等腰直角三角形， APD 90 ．
（1）求证： AD PB；
（2）求平面 PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．
2 2
21 x y．已知椭圆： E : 2 2 1(a b 0)的一个顶点为 A(0,1)，焦距为 2 3．a b
(1)求椭圆 E的方程；
(2)过点 P( 2,1)作斜率为 k的直线与椭圆 E交于不同的两点 B，C，直线 AB，AC分别与 x轴交
于点 M，N，当 |MN | 2时，求 k的值．
22．已知函数 f x x 1 ln x ax a ．
(1)若a 2，试判断 f x 的单调性，并证明你的结论；
(2)若 x 1, f x 0恒成立．
①求 a的取值范围：
1 1 1 1
②设 an ， x 表示不超过 x的最大整数．求 10a ．（参考数据：n 1 n 2 n 3 2n n
ln 2 0.69）
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内蒙古赤峰名校2022-2023高二下学期4月第一次月考数学（理）试题（含解析）