湖北省宜城市六校2022-2023高一下学期期中考试数学试题（含答案）

湖北省宜城市六校2022-2023学年高一下学期期中考试
数学试题
考试时间：2023.4.10 15：00-17：00 时限：120分钟 分值：150分
注意事项：
1.答卷前，考生务必将姓名 准考证号等在答题卷上填写清楚.
2.选择题答案用2B铅笔在答题卷上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答，答在试题卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一 单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.复数（其中为数单位）的共轭复数在复平面中对应的点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知平面向量满足与的夹角为，则实数的值为（ ）
A.-2 B.2 C. D.
3.已知为锐角，，则（ ）
A. B. C. D.
4.在中，，则的形状一定是（ ）
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
5.把函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再把图像上所有的点向左平行移动个单位长度，得到的图像所表示的函数是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知单位向量满足，则向量夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.或
7.已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知四边形中，，点在四边形的边上运动，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.-1
二 多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对得2分，错选 多选的0分.
9.下列四个命题为真命题的是（ ）
A.已知非零向量，若，则
B.若四边形中有，则四边形为平行四边形
C.己知，则可以作为平面向量的一组基底
D.已知向量，则在方向上的投影向量的模为
10.已知函数，则下列判断正确的是（ ）
A.为偶函数
B.的图象关于直线对称
C.在上单调递增
D.的图象关于点对称
11.已知角是的三个内角，下列结论一定成立的有（ ）
A.
B.若，则
C.若是锐角三角形，则
D.若角是钝角，则
12.下列命题为真命题的是（ ）
A.函数的图象关于点对称
B.函数是最小正周期为的周期函数
C.若是第二象限角，则，且
D.函数在区间上是增函数
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知复数满足，则在复平面中对应的点所构成的图形的面积为__________.
14.已知函数的最小正周期为，则函数在区间上的最大值与最小值的和是__________.
15.已知点，将向量按顺时针方向旋转后得到向量，则点的坐标为__________.
16.在中，边上的高为2，则满足条件的的个数为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（满分10分）
已知复数.
（1）若为纯虚数，求实数的值；
（2）若在复平面内对应的点在直线上，求.
18.（本小题满分12分）
已知为锐角，
（1）求的值；
（2）求的值.
19.（本小题满分12分）
如图，在四边形中，为等边三角形，是边上靠近的三等分点.设.
（1）用表示；
（2）求的余弦值.
20.（本小题满分12分）
建设生态文明是关系人民福祉 关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系.
（1）求的表达式；
（2）请根据（1）的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长.
21.（本小题满分12分）
设函数.
（1）求函数的最小正周期及图象的对称轴；
（2）在中，若，且的外接圆的面积为，求的最大值.
22.（本小题满分12分）
在中，内角所对应的边分别是的面积为.已知，且.
（1）求角的大小；
（2）若对任意的恒成立，，求的最小值.
湖北省宜城市六校2022-2023学年高一下学期期中考试
数学答案
一 单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 C B A A D B A C
二 多项选择题
题号 9 10 11 12
选项 ABD AB ABC AD
三 填空题
13. 14.1 15. 16.2
四 解答题
17.解：（1）若为纯虚数，则，解得.
（2）由题意可得
解得
所以，所以
18.解：（1）因为为锐角，且，所以，
所以.
（2）由（1）知，
因为为锐角，，所以
则
则
19.解：（1）由图可知，
因为是边上靠近的三等分点，
所以，
（2）因为为等边三角形，
所以，
所以
所以
则
20.（1）因为图像上最低点坐标为，
与之相邻的最高点坐标为，
所以
所以，解得
所以
（2）由（1）得
所以，
所以
解得
因为，
所以或
所以该商场的中央空调应在本天内开启时长为8小时
21.解：（1）因为
所以函数的最小正周期
令，解得
所以函数的周期是，对称轴方程是
（2）因为，所以
又因为.
所以，故有
已知的外接圆的面积为，设半径为
所以，得
设的角所对的边分别为.
由正弦定理.
所以
，其中
所以的最大值是
22.解：（1）因为，所以.
因为，所以
所以，所以或.
因为，所以，所以
（2）因为对任意的恒成立，所以，
即，解得，所以
由（1）可知，则
设，则，
因为，所以，所以
设函数，
则在上单调递增
所以当时，有最小值，即的最小值为1

湖北省宜城市六校2022-2023高一下学期期中考试数学试题（含答案）