河南省周口市恒大高级中学2022-2023高二下学期4月期中考试数学试题（含解析）

恒大高级中学2022-2023学年高二下学期4月期中考试
数学试题
试卷考试时间：120分钟 满分：150
第I卷（选择题）
单项选择题（每小题5分，共40分）
1．椭圆的焦点坐标为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．已知函数满足，当时，（ ）
A．20 B． C． D．
3．已知直三棱柱，在 中，，，，则异面直线与所成角为（ ）
A． B． C． D．
4．在数列中，，则的值是（ ）
A．11 B．13 C．15 D．17
5．已知圆与圆，则两圆（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
6．已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图，则下列叙述正确的是（ ）
A．函数f(x)在(－∞，－4)上单调递减 B．函数f(x)在x＝2处取得极大值
C．函数f(x)在x＝－4处取得极值 D．函数f(x)有两个极值点
7．已知分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上的点，为坐标原点，且，，则该椭圆的离心率为
A． B． C． D．
8．数列满足，且对于任意都有成立，则数列的前10项和为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）
9．关于双曲线，下列说法正确的有（ ）
A．虚轴长为 B．渐近线方程为
C．焦点坐标为 D．离心率为
10．已知定义在上的函数的导函数为，且， ，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．判断下列结论正确的是（ ）
A．空间中任意两个非零向量，共面．
B．在三个向量的数量积运算中．
C．对于非零向量，由数量积，则．
D．若，，，是空间任意四点，则有．
第II卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．椭圆的焦距为4，则m＝______．
14．设函数,D是由x轴和曲线y＝f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则z＝x－2y在D上的最大值为__________.
15．已知为抛物线上的一个动点，为圆上的一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和的最小值是______.
16．直线l与圆相交于A，B两点，若弦AB的中点为，则直线l的方程为____________.
四、解答题（共6小题，共计70分.第17题10分，第18---22题，每题12分）
17．求曲线在点处的切线方程．
18．如图，在空间直角坐标系中有长方体，且，，，求直线与平面所成角的正弦值．
19．已知函数．
（1）当时，函数的图像上任意一点处的切线斜率为k，若，求实数a的取值范围；
（2）若，求曲线过点的切线方程．
20．已知函数.
(1)求导函数；
(2)当时，求函数的图像在点处的切线方程.
21．已知函数的图像过点，且对任意实数都成立，函数与的图像关于原点对称．
（1）求与的解析式；
（2）若在[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．
22．已知数列满足：，.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设，求数列的前2021项和.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】根据椭圆的标准方程，求得的值，即可求得椭圆的焦点坐标，得到答案.
【详解】由题意，椭圆，可得，则，
所以椭圆的焦点坐标为和.
故选：B.
2．A
【分析】根据导数的定义有时，即可知.
【详解】∵，而，
∴，故.
故选：A
3．A
【分析】根据余弦定理求出AC，再由勾股定理得，以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如图，利用空间向量法求出线线角的余弦值和异面直线夹角的范围，进而得出结果.
【详解】在直三棱柱中，，
由余弦定理，得，
所以，所以，
以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如图，
，
，
设异面直线所成角的平面角为，
有，又，
所以.
故选：A
4．A
【分析】先根据等差数列定义以及通项公式求解.
【详解】因为，所以为公差为2的等差数列，
因此选A.
【点睛】本题考查等差数列定义以及通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
5．C
【分析】求出两圆的圆心与半径，根据圆心距与半径和的大小关系可得答案.
【详解】圆，圆心，半径
圆，圆心，半径，
所以
所以两圆外切.
故选：C
【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，同时考查了由圆的标准方程求圆心与半径，属于基础题.
6．B
【分析】数形结合，由导函数的正负即可判断原函数的单调性以及极值、极值点.
【详解】由导函数的图象可得，
当x≤2时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增；
当x>2时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，
所以函数f(x)的单调递减区间为(2，＋∞)，故A错误．
当x＝2时函数取得极大值，故B正确．
当x＝－4时函数无极值，故C错误．
只有当x＝2时函数取得极大值，故D错误．
故选：B.
【点睛】本题考查导函数图像与原函数之间的关系，属基础题.
7．B
【分析】根据椭圆的定义和勾股定理计算PF1 PF2，再结合三角形的面积即可求出b的值．
【详解】设PF1＝m，PF2＝n，则由椭圆的性质可得m+n＝2a，且m=3n
故，
由勾股定理可得m2+n2＝4c2，故 故
故选：B．
【点睛】本题考查了椭圆的定义和简单性质，考查离心率求解，属于中档题．
8．A
【分析】先对条件取倒数，构造等差数列，求得通项公式，再利用裂项相消法求结果.
【详解】为以2为首项，3 为公差的等差数列，
因此，
则数列的前10项和为
故选：A
【点睛】本题考查等差数列定义、等差数列通项公式以及裂项相消法求和，考查综合分析求解能力，属中档题.
9．AB
【分析】通过双曲线的方程求出即得解.
【详解】解：双曲线，则，，则，，
则，则，
所以双曲线的虚轴长，渐近线方程为，焦点坐标为，离心率.
故选：AB.
10．CD
【分析】构造函数，根据条件判断单调性，根据单调性比较大小.
【详解】令，，则.
因为，所以在上恒成立，所以函数在上单调递减，所以，即，，故A错误；
又，所以，所以在上恒成立，
因为，所以，故B错误；
又，所以，即，故C正确；
又，所以，即，故D正确.
故选：CD.
11．BD
【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得.
【详解】解：对于A：，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确；
故选：BD
12．AD
【分析】由向量共面的条件判断A，由数量积的性质判断B，由向量垂直判断C，由向量的加法法则判断D
【详解】对于A：空间中任意两个非零向量，可以构成一个平面，故A正确；
对于B：向量的数量积不满足结合律，故B错误；
对于C：当互相垂直时，C错误；
对于D：根据向量的加法法则可知：，
故,故D正确；
故选：AD
13．9或17
【分析】对椭圆的焦点在轴上或在轴上分情况讨论，然后根据椭圆中即可求解.
【详解】解：因为表示椭圆，所以且，
又椭圆的焦距为4，所以，即，
当椭圆的焦点在轴上时，，所以，即；
当椭圆的焦点在轴上时，，所以，即；
故答案为：9或17.
14．2
【分析】先求出曲线在点（1，0）处的切线，然后画出区域D，利用线性规划的方法求出目标函数z的最大值即可．
【详解】当x＞0时，f′（x）=，
则f′（1）=1，所以曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线为y=x﹣1，
D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域如下图阴影部分．
z=x﹣2y可变形成y=x﹣，当直线y=x﹣过点A（0，﹣1）时，截距最小，此时z最大．最大值为2．
故答案为2．
【点睛】本题考查了线性规划，以及利用导数研究函数的切线，同时考查了作图的能力和分析求解的能力，属于中档题．
15．##
【分析】根据题意可得抛物线的焦点坐标、准线方程及圆的圆心坐标、半径，利用抛物线的定义可得点到抛物线准线的距离即为点到焦点的距离，进而得到动点位于线段上时距离最小，计算即可求解.
【详解】解：由题可知，抛物线的准线方程为，焦点坐标为，
圆的圆心坐标为，半径为，
设点到抛物线准线的距离为，则，故，
所以当动点位于线段上时，点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和最小，
此时.
故答案为：.
16．
【详解】由圆的方程可得，圆心为，
所以直线的斜率为，
故直线的斜率为，
所以直线方程为，即.
故答案为：.
17．
【分析】根据先求出的导数，再根据导数的几何意义，以及点斜式，即可求出结果.
【详解】解：由题意可知，，
所以,
所以曲线在点处的切线方程为，即.
18．
【分析】求出平面的法向量，用空间向量求解线面角的正弦值.
【详解】，，，，，，设平面的法向量为，则，解得：，令得：，则，设直线与平面夹角为，则
故直线与平面所成角的正弦值为
19．（1）；（2）y＝﹣x或
【分析】（1）利用导数的几何意义转化为恒成立问题；（2）设点写切线，代入点即得．
【详解】（1）函数f（x）＝x2（x﹣a）的导数为
f′（x）＝2x（x﹣a）+x2＝3x2﹣2ax，
由题意可得当x∈（0，1）时，3x2﹣2ax≥﹣1恒成立，
即有，由，
当且仅当 即有x＝ ∈（0，1）时，取得等号．
即有,则 即有a的取值范围是
（2）函数f（x）＝x2（x+2）的导数为f′（x）＝2x（x+2）+x2＝3x2+4x，
设切点为（m，n），则n＝m3+2m2，
f（x）在x＝m处的斜率为3m2+4m，
即有切线方程为y﹣n＝（3m2+4m）（x﹣m），
代入Q（﹣1，1），可得1﹣m3﹣2m2＝（3m2+4m）（﹣1﹣m），
整理可得（m+1）2（2m+1）＝0，
解得m＝﹣1或 ，
即有所求切线的方程为y﹣1＝﹣（x+1）或 ，
即为y＝﹣x或 .
20．(1)
(2)
【分析】（1）利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算即可求解；
（2）求出，利用点斜式写出切线方程.
【详解】（1）由，得.
（2）由（1）知当时，，则.
又，
所以函数的图像在点处的切线方程为，即.
21．（1）， （2）(－∞，0]．
【分析】（1）根据二次函数的图象特征可求，根据点对称可求，（2）单调递增，转化成恒成立，求最值即可.
【详解】（1）的图像过点，所以，对任意数都成立，可知 的对称轴为，解得：
设函数图象上的任意一点关于原点的对称点为 ,
则，因为在上，
⑵
单调递增， 恒成立
即 在 恒成立
由在上为减函数，当 时取最小值0，故
22．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）设，依题意可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而得证；
（2）由（1）可得，再利用错位相减法求和即可；
【详解】解：（1）设，则，所以，
又，所以是以为首项，为公比的等比数列，
即数列是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）可得，即
所以
所以，
，
，
相减得，，
所以，
所以.
试卷第4页，共4页

河南省周口市恒大高级中学2022-2023高二下学期4月期中考试数学试题（含解析）