2023届陕西省渭南市高三教学质量检测（II）（二模）理科数学试题（含答案）

渭南市2023年高三教学质量检测（ II
数学试题（理科）
注意事项：
l .本试题满分 150 分，考试时间 120 分钟 ．
2. 答卷前务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡和答题纸上 ．
3. 将选择题答案填涂在答题卡上，非选择题按照题号完成在答题纸上的指定区域内
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 ．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的
1. 己知集合A 斗 ly ＝ ｝，叫ltog 2 x＜斗，则 AnB=
A. （叫，2) B. (0,2) c. （咱，2] D. (0之］
2. 己知平面向量 a,b满足｜二 I = 4 , lbl = 2 a . ( a -b) = 20 ，则向量 al§b 的夹角为
1t:
A - B. π . 主一 c. 主 D.
3 6
3. 己知 ｛an ｝ 为等差数列，其前 n 项和为 S ，若 a1 =l ，吗＝ 5 ，正＝64 ，则 n =
n
A. 6 B. 7 c. 8 D. 9
4.在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得 n 次测量分别得到 X1 ’ X2,·.. ' Xn
共 n 个数据．我们规定所测量物理量的 “ 最佳近似值 ” α应该满足与所有测量数据的差的干
方和最小由此规定，从这些数据得出的 “最佳近似值 ” α应是
－－
LX1
A. J.主L 飞lfx:一 c. D. τI X;
n n
s. 辙英弗公式（cosθ＋isinθ）” ＝cosnO +i sin nθ（ i 为虚数单位〉是由法国数学家橡莫弗
做学可阻5 理主l:) 铿 I.亨 f哇 ，P.W
( 1667-1754 ）发现的若复数 z 满足 z.( cos!!._ + i .归主I =11 ＋斗，根据棒莫弗公式可知，复
l 8 8 J
敬z对应的点在复平面内的
A.第一象限 B.第二象限
c. 第三象限 D.第四象限
6.将抛物线 y2 =mx 绕其顶点顺时针旋转90。 之后，正好与抛物线 y=2x2 重合，则 m=
人－土 B. .!.. c. -2 D. 2
2 2
7.函数 f(x) = [In（ －π x)+lnx]cosx 的大致图像为
v
ιr y
x 。 x 。 :r 芷
A B c D
8. 2022年2月28日，国家统计局发布了我国2021年国民经济和社会发展统计公报，在以
习近平同志为核心的党中央坚强领导下，各地区各部门沉着应对百年变局和世纪疫情，构
建新发展格局，实现了 “ 十四五 ” 良好开局. 2021年，全国居民人均可支配收入和消费支
出均较上一年有所增长，结合如下统计图表，下列说法中正确的是
JC %
4创刷 20
IE3公闲股民人均可支配收入 35l.28
4←比上年实际.!ff
32000 30733 lt他用品及II*
28228 15 569元，2.4’也
食品烟翻
24侃）（） 7178元，29..8%
10
““JO
交迦通仿
3156元，13.1%
s 仅:ti
8000 14l9元，s.”
生活用品及应务
1423元 .s.”－
。 。 R位
2017 2018 2019 2020 2021 5“1元，23初也
朋1,2017- 2021年全闷底民人均可支配收入.hOt.Jl't 1豆巡j盒 因2:2021年4号阳启民人均ffl费支出及其构成
A. 2017一2021年全国居民人均可支配收入逐年递减
数学试题（理科）第2页 共6百
B. 2021 年全国居民人均消费支出 24100 元
c. 2020 年全国居民人均可支配收入较前 一年下降
D. 2021 年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比超过 60%
9 ..任一 个棱氏为l分米的正方体形封闭容器中盛有Y升水，若将该容器任意放置均不能使
水平面呈三角形，则Y的取值范围是
I 5
（ · 1 2 1 2
1 1
一 一） （一，一） c. （一，一） ．（－，一）
6 6 3 3 2 3 6 2
IO. 己知直线 l 过双曲线 c:x2 -L=1 的左焦点 F 且与 C 的左、右两支分别交于 A. B 两
2
点．设。为坐标原点， P 为 AB 的中点， 若 liOFP 是以 FP 为底边的等腰三角形、 则直线
l 的斜率为
A. 土豆 B. 土豆 c. 士王 D. 土豆
11.在正方体 ABCD-AiB,CI DI 中， AB=4, G 为 CD1 的中点，点P在线段 BC1 （不含端点〉
上运动，点Q在棱 BC 上运动，M为空间中任意一点，则下列结论不正确的是
A.异面直线 DP 与AD 所成角
I 的取值范围是（主β］
3 2
B. 若 MA+MD=8，则三棱锥 A-MBD 体积的最大值为 5'13
C. PQ+QG 的最小值为2+2Ji
D. A P II 平面 ACD
1 I
12. 己知函数 f(.x) = sinx+ lnx，将f(x） 的所有极值点按照由小主lj大的顺序排列，得到数
列｛x ｝，对于 ＼：／neN＋ ’则下列说法中正确的是n
A. ntr<x < n + I）π 一
n ( B. xn叫 xn<;r
C数列｛I凡咛斗是递增数列 D. f(x2n )<- I+ In坠巳！注
2
敬学试题Cl！利）第3页 共6页
第H卷 （非选择题 共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
a
设 且一 Ir l 2, 衔，则一一2 1 13. a>O, b>O ＋ b= 3x ＋ 一 的最小值是2 JO a+ 1 b
14. 写出与圆x2 + y2 2=1 和圆x + y2 + 6x -8y + 9 = 0 都相切的一条直线的方程
15. 甲、乙、丙3人去食堂用餐，每个人从 A, B, C, D, E 这5种菜中任意选用2种．
则A菜恰有2人选用的情形共有一一一一一种．〈用数字作答）
｜
16. 若函数 y=f(x), x εR 的关系式由方程xJxJ+ YIYI = 4 确定则下述命题中所有真命题的
序号为一一一－
①函数 y=f(x）是减函数： ②函数 y= f(x） 是奇函数：
③函数y=f(x） 的值域为［－2,2]: ＠方程f(x)+x=O 无实数根：
⑤函数 y= f(x） 的图像是轴对称图形．
三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17 - 21 题为必考题．
每个试题考生都必须作答第 22、 23 题为选考题，考生根据要求你答．
（一）必考题：共 60 分
17. (12 分〉随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼．涵过 “ 小步道n， 走出
“大健康 ”， 健康步道成为引领健康生活的一道亮丽
B
风景线． 如图， 一A-B-C -A 为某区的 条健康 步
'2,./3
道， AB, AC 为线段，五号是以 BC 为直径的半圆， D
础＝2岳阳， AC 斗胁， LBAC 气
< I ）求庚的长度： A
< II ）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道
A-D-C ( B、D在 AC 两侧），其中 AD, CD 为线段．若 LADC ＝主， 求新建的健康
3
步道 A-D-C 的路程最多可比原有健康步道A-B-C 的路程增2日多少长度？
敢学试题〈理科〉第 4 页 共 6 页
18. ( 12分〉在数字通信中，信号是由数字“。”和“尸组成的序列．现连续发射信号n次·
每次发射信号”。”和“l”是等可能的．记发射信号“1”的次数为x.
( I ）当 n=6 时，求 P(x:::;2);
D(Y)
C II ）己知切比雪夫不等式：对于任一随机变量
）和方差
y，若其数学期望 E(Y
均存在则对任意正实如，有同jY-E(Y)j<a) J－于根
据该不等式可以对事件
”
“ “ 的
jY-E(Y)j<a
” 的概率作出下限估计．为了至少有98%的把握使发射信号 l 频
率
在 0.4与0.6之间，试估ii－信号发射次数n的最小值．
19. (12分〉在斜三棱柱（侧棱不垂直于底面） ABC -A B C 中，侧面AA c c i底面 AB1 1 C,1 1 1
底面 MBC是边长为2的正三角形，
A A
1 = .4ic, A.A .1A C.1
C、
< I ）求证： A.C, .1 B C:
1
<II ）求二面角B － A.C-C 的正弦值． A
』 ，
20.叫〉在直角坐标系咐 ， 叫困斗Y 2 =1的右顶点、下顶点、右焦点分
别为A B, F.
( I ）若直线 BF与椭圆E的另一个交点为 c， 求四边形 ABOC的面积；
(II ）设川是椭圆叫两个动点，直线仰与 ω的斜率之积为÷若点 P 满
足r OP ＝ 研＋2历·问：是否存在两个定点G, H，使得IPGI＋阳｜为定值？若存在，
求出G, H的坐标：若不存在，请说明理由．
l. ( 12 分〉己知函数 f(x) Z=e .
l+ln
g(x x ) = -m.(m ε R)
-;-
( I ）证明： f(x）注x+ I:
数学试题〈理科〉 第5页 共6页
( 1I ）若 f(x）二三g(x） ，求实数m的取值范围：
（囚〉证明：全 cl.／＜一乙 ( n EN+)
t:i' k e 一 1
（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则接所做的第
一题计分
22.［选修4-4：坐标系与参数方程J <10 分〉
x ＝ 一一一一－
在直角坐标系x句F中，曲线C的参数方程为 吵 〈 α 为参数， a-::t:k1r号“z ),
、／jSJnα
y ＝ 一一一一－
cosα
以坐标原点。为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
μ咛
C I ）求曲线C的普通方程和直线 l 的直角坐标方程：
I 1
c II ） 已知点 P(2，的，若直线l与曲线C交于 A, B 两点，求｜一一一－I的值
IPAI IPBI
23. f选修4寸：不等式选讲J (10 分〉
己知函数 f(x)=jx ＋ αj+2jx-lj.
( I ）当 a =1 时，求 f(x） 的最小值；
( lI ）若 a>O, b>O 时，对任意 x E [1,2］使得不等式 f(x)>x2 -b+l 惺成立，证明：
2
f寸 +(b+H>2-
曲丘坠.！，！＇阳 r菩慧和D 第6页 共6页
渭南市2023年高三教学质量检测（ II )
数学试题（理科）参考答案
一、选择题〈每小题5分，共60分〉
题号｜ 2 I 3 I 4 I s I 6 I 7 8 9 I 10 I 11 12
答案｜ B c I c I A c I A I c B A I D I B D
二、填空题〈共20分〉
8
13. -
14. x = I或3x-4y+5 ＝ 喊口＋24y+25 =0三条中任写 一 条即可 。
15. 288
16. ①④⑤ （不全得2分，有错为零分〉
三、解答题〈共70分〉
17. Cl2分）解：（ I ）联络 BC，在6.ABC 中，由余弦定理可得，
叫
所以sc=.!.x2×万×I＝万，RPBC的长度为JT(km); ...................................................6 分
( II ）记 AD=a, CD=b，则在6.ACD 中，由余弦定理可得：
2 2
。 +b -2abcos!!._=16, e1 a 2+b2-ab=l6, .............……··….....................................8 分
从而 （a+b)2=1川阪 16+3（平）2
所以j叫这16, yjl］叫司，当且仅当。 ＝ b=4 时，等号成立； .10分
新建健康步道 A-D-C 的最长路程为8(km),
故新建的健康步道 A-D-C 的路程最多可比原有健康步道 A-8-C 的路程增加
8 － π － 2.fS (km). .12分
数学答案（理科〉第l页共6页
18. ( 12分）解：（ I ) I叫X～牛±），
所以 P(X 2)=P(X ＝。 ）＋ P (X=l)+P(X=2 )
6 2
= c I .!. i + c! .!. · I 土 （ + c: I .!. i · I .!. Y ＝ 土 ＋ ＋ 丘 ＝ .！..！.：………5分
" l 2 J " 2 l 2 J " l 2 J l 2 J 64 64 64 32
（川叩 ～ 牛±）.所以 E(X） 叫 D(X)=0.25n. 7分
别.4 主运0.6，则0.4n X O.仙，l'!P -0. ln钮 - 0.5n O. ln,
l'!lllX-0 5，怀O ln .... ........... ......... ...... .. .................. .... ...9 分
由切比雪夫不等式 0.25n P(IX -0.5nl 0.1n）凶－ 一一 ，
ln)2 (O.
要使得至少有98%的把援使发射信号“ ” 0.2511 ！ 的频率在0.4与0.6之间，则1－一一－－－－：；－ （）.9 8
(O. ln) '
解得 n；主1250，所以估计信号发射次数n的最小值为1250:
综上， 11 P(X,,;;2)= ’估计信号发射次数n的最小值为 1250. .......... .12分
32
19. ( 12分） ( 1 ）证明：如｜图，取A1C1的中点D ， 连接 B1D, CD,
'.'C 1C=A 1A=A 1C,
c1
二CD.lA 1C1， 。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。．．．．．．．．．．．．．．．．．。...2分
·．·底而 ！：：，.ABC 是边长为2的正三角形，
.'.AB=BC=2, A1B1=B C1=1 2,
.',B1D.lA1C，1 ………………..………………………………………...................... 4分
又 B1DnCD=D,
.',A1C1上平面 B1CD，且B1C E平商品CD,
二A1C1.lB1C. .... ... .... ... . ... . ... ....……… ……….... …. .... .6 分
( 11 ）解：法一 如图，过点D作 DE上A 1C 于点E ， 连接 B 1 E.
数学答案（理科〉第2页 共6页
·．·侧丽AA1 C,C_I_J自己I丽 ABC,
．·．侧丽AA1C,C_I_ 平丽 A 1B1C ， 又 B1D_I_A,C1，侧面’AA1C1Cn平I面A 181C1= A1C1,
二B 1 D_I_侧面AA1C1C，又 A,C 豆二平面AA 1 C1C,
.,' 81D_I_A,C ， 又 DE_I_A,C 且 B 1 D门DE=D,
.',A1 C_I_平丽B 1DE, .',8 1E_I_A 1C,
．·．ζB,ED 为所求二而角的平而角， … e ……………………··········…….......9 分
可由＝B1C1= A1C1= 2, ..' B,D= Ji,
又 ,/ 8 10 ＝二,f'l,云 ED =--CC ＝ 二二1 ， :.taoLB ED＝一」1 ＝、／I,6
2 2 ED .J2
2
‘／ ,i
·．二丽角B 1 -A1 C-C1的正弦值为主主．．．．．．．．……………......…... .... ........... 12分
法二 如图，取 AC的中点。，以0为坐标师、点，射线 OB, OC. OA 1分另lj 沟 X, Y z 输的
正方向建立空间直角坐标系 ，
则。（0, 0 ， 的， B(Ji，。，0), A1(0, 0, I), B1( jj，一L I), C1(0 ， 一2, I),
C(O ， 一J. 0). ..……………… .......…….......………………… … ……………………..... .... .7 分
:. A,B. =( jj ' -I，的， A,C =(O, -1, -1),
c,
设，，， ＝ （x, y, z）为平面A1B1C 的法向盘，
. ｛＂＇· = ..fu-y = O,
111 A,C= y+z = 0,
O C
令 y=Ji ， 衔，，，＝（I, jj, -Ji), ......... ...................... .................... 8分
又 δB =(fi, o，。）为平丽A1C1 C的一个法向量，…….....…………........9分
设二丽角B1 -A1 C-C1的大小为θ ， 显然θ为锐角，
I J 一川，， ·OBI Ji cosθ＝ lcos（川，OB)l= L「d＝ 之二－ ， … ... . ....…. . . .. . . . . . . . .. . . ........…... I l分
｜ 飞 门lmllOBI 7
半SA俨、
则sin 8＝ 豆豆，二丽角B1-A1C-C1 正弦的立二 ... ...... .. ........ 12 5t
数学答案（理科〉第 3 页 共 6 页
20. C 12分）解：C I ）直线BF方程为 y=x-1 ， 与椭圆联立可解得 c ci _ ),
3 ) 3
2· /
阴阳叫酬＝SMOB +SMOC ＝÷ 4分
( 11 ）设M（码，只）， N(x 2，灿由kOM 儿，，v ＝且 ＝斗有 x1x2 + 2y1y2 = 0X1X2 a」
又 M, N 在椭圆上 ， 有 x「 ÷ 2y =2，过＋2y; =2 ....... .......... ..................................6 分
设点 P(x, y），由!IE意可得（x, y）＝（头， y.)+2（儿，Y2 ) = (x1 + 2x , Yi+ i 2y2 )
Ix= r. +2x‘
nlY ＝；，＋乌
2 y 2＝ x 、 ．．
2 2
句
vh ＋气，＆ ＋句，＆ ＋ J 句，＆
、
X · ＋ ．．
，，．‘、 2J ，，．‘、 y ‘J2，
= (x/ + 2y/ )+ 4(x/ + 2y/ )+ 4(x1x2 + 2y,y2 )= 10 · ..... ... ... .. . ...”... .JO分
所以点 P 的轨迹在椭圆三10 ＋
丘
5 ＝I 上 ，
所以存在两个定点 G(-.,/5,0), H（币，0） ， 使得IPGl+IPHI为定值2.Jto .................. 12分
21. ( 12分） ( l ）解：令 y=e" -x-1, y’ ＝ e' -1，由y’ ＝0，解得＇X=O
当 x<O时， y' O时， y’＞ 0;
所以 y=e" -x-1 在（－∞，。l递减，［O，切）递增 ，
flPy e0 -0-1=0 ， 即 f(x）二主x+l .......... ..... ............ ....................... ........3 分
xe·' 1-(In x + I) e "' · e' n ）由 f(x g(x 可得： － m,;:::_ ＝ -(I x +
1) e1nx+x ＝ -(In x + I)(II ） ） 飞
x x x
由（ 1 ）知 elnx+x l n x +x + 1 （当且仅当 lnx+x=O 取等号），
eln川 －（lnx+1）去 （lnx+x+l)-(lnx+1) =l ， 所以－ 111白，即m注－1…….........7分
x x
CTTI）由（ I ）知e字x+I 令x=.!.-l(keN. ） 可得）·－I 注＿！.＿I+I=_.!.. ，
k
H
所以（ liJ e -k =(;) . JQ分
数学答案（理科〉第4页 共6页
时咐k-1 ｝是制为1叫：叫数列
吨（H＂ ＜ ＝古 击
22. ( 10 分〉解：＜ I ）幽 C的参数方程为j cosα （ α 为参数， α －＃ kn ＋ 主〉，
] ./Js 2 1 y＝－一一i
n一a一
l cosα ，
所以泛＝ ‘丘＝旦：丘，所以 i _L = I.
cos＇ α ’ 3 cos＇ α x 3
线
即曲 C的普通方程为x2 _L=J. ... ... ... ... ... ... ... . .. 3分
服l的极坐标方程加叶钊＝I，则←s叫叫 s叫＝I'
转换为直角坐标方程jg x-./Jy-2 = 0. .. .................................................................... 5分
线
2＋ 一户也va
直 过 fLE白山P句，＆ AU 直 的参数方 2t口a正为 － 为 参数 A品J 」rJ1 飞 川 A B对 应 huu l
，lltIII－〈Ill－－ll、vd
t
2
参数分别为民，马，
rx=2＋线主t 线
由J 2代入 xi _L= I, 得 2t2 +6..J3t 州＝0，则川斗占， 1,12 号，I
即 t1, ti 为负，
故 I_J__ _J_I = I土」＝｜国斗＝!.i..:!J = 」（ t, + t户的＝三
I PAI IPBII llt1I l t2II I lt1t2I I I的｜ ｜的｜
23. (IO分〉解：＜ I ）当α＝I时， f(x) =Ix+ JI+ 2lx-ll,
当x主三－！. f(x)=-3x+I, f(x）刷。＝f(-1)=4:
当－ l<x<I. f(x)=-x+3, f(x)e(2,4):
数学答案（理科〉第5页 共6页
当 x;:e:J, f(x)=3x-L. f(x） ＝／（1)=2:
川
二当。＝I 时， f(x） 的最小值为2. . ............................................................................. 5分
(ll)。＞0, b>O ，当1，；：二x:e:三2肘，
lx+al+2lx-LI> x2 -b+ I 可化为α ＋b> x2 -3x+3,
令 h(x)=x2 -3x 刊 ， xe[l,2], h(x) . ., =h(l)=h(2)=l, :. a+b>I ... ... .7分
（什）飞机 J ＝川 ＋ a＋吟半＋ a+b+i
当旦仅当α ＝b时取得等号：
(a+b)2 又当。＋b>I时， 一一一一 ＋ a+b+->2,2 2
故（什J +(b+tJ 2. 时>
数学答案（理科〉第6 页 共6页

2023届陕西省渭南市高三教学质量检测（II）（二模）理科数学试题（含答案）