第十章10.2事件的相互独立性 同步练习（含解析）

第十章10.2事件的相互独立性同步练习
2022-2023学年下学期高一数学人教A版（2019）必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，且是互相独立的.若将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．在下列结论中，正确的为（ ）
A．若A与B是互斥事件，则是必然事件
B．若A与B是对立事件，则是必然事件
C．若A与B是互斥事件，则是不可能事件
D．若A与B是对立事件，则不可能是必然事件
3．一批零件共有10个，其中8个正品，2个次品，每次任取一个零件装配机器，若第二次取到合格品的概率为，第三次取到合格品的概率为，则（ ）
A． B． C． D．与的大小关系不确定
4．某射手射击一次，命中的环数可能为0，1，2，…，10共11种，设事件A：“命中环数大于8”，事件B：“命中环数大于5”，事件C：“命中环数小于4”，事件D：“命中环数小于6”，在事件A、B、C、D中，互斥事件有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
5．袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用表示第一次摸得黑球，表示第二次摸得黑球，则与是（ ）
A．相互独立事件 B．不相互独立事件
C．互斥事件 D．对立事件
6．下列说法中正确的是（ ）
A．事件A、B至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大
B．事件A、B同时发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率小
C．互斥事件一定是对立事件，对立事件也是互斥事件
D．互斥事件不一定是对立事件，而对立事件一定是互斥事件
7．某战士在打靶中，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是（ ）
A．两次都不中靶 B．两次都中靶 C．至多有一次中靶 D．只有一次中靶
8．从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
D．“至少有一个黑球”与“都是红球”
9．随机掷两个质地均匀的正方体骰子，骰子各个面分别标记有共六个数字，记事件“骰子向上的点数是和”，事件“骰子向上的点数是和”，事件“骰子向上的点数含有”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件是相互独立事件 B．事件与事件是互斥事件
C． D．
10．对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，则（ ）
A．A与B不互斥 B．A与D互斥且不对立
C．C与D互斥 D．A与C相互独立
二、填空题
11．若，为互斥事件，，，则______.
12．4粒种子种在甲坑内，每粒种子发芽的概率为．若坑内至少有2粒种子发芽，则不需要补种；否则需要补种，则甲坑不需要补种的概率为______.
13．抛掷两枚硬币，事件A：至少有一个正面朝上，事件B：两个正面朝上，则事件A、B的关系是______.
14．同一样本空间下的必然事件与任一事件都互相独立吗？说明理由．
__________________．
15．已知事件，相互独立，且，，则______．
三、解答题
16．某地区的婚姻以离婚而告终.问下面两种情况的概率各是多少：
(1)某对新婚夫妇白头偕老，永不离异；
(2)两对在集体婚礼上结婚的夫妻最终都离婚了.
17．一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同时染上红、白、黑三种颜色．现以、、分别记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件，问事件、、是否两两相互独立？
18．已知一个人血型为型的概率分别是．任意抽取一人，求下列事情的概率：
(1)抽出人为或型血；
(2)抽出人不是型血．
19．如图，A地到火车站共有两条路径和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：
时间（分钟） 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站.
(1)为了尽可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
(2)根据第（1）问中选择的路径，求甲、乙两人中恰有一人在允许的时间内能赶到火车站的概率.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．A
【分析】记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，“电路不发生故障”为事件M，由M=(A2∪A3)∩A1求解.
【详解】解：记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P(A1)=，P(A2)=，P(A3)=，
记“电路不发生故障”为事件M，则M=(A2∪A3)∩A1，
∴不发生故障的概率为P(M)=P[(A2∪A3)∩A1]=[1-P() P()] P(A1)=×=.
故选：A.
2．B
【分析】利用互斥事件与对立事件以及随机事件、必然事件、不可能事件的定义逐一判断即可.
【详解】对于A. 若A与B是互斥事件，但不一定是对立事件，所以不一定是是必然事件，错误；
对于B. 若A与B是对立事件，则A与B必然有一个发生，所以是必然事件，正确；
对于C. 若A与B是互斥事件，则A与B都可能发生也可能不发生，可能发生也可能不发生，是随机事件，不是不可能事件，错误；
对于D. 若A与B是对立事件，则A与B必然有一个发生，所以是必然事件，错误.
故选：B.
3．B
【分析】分两种情况结合独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求出，同理分四种情况求出.
【详解】第1次取到合格品，第2次也取到合格品的概率为，
第1次取到次品，第2次取到合格品的概率为，
故，
第1次，第2次和第3次均取得合格品的概率为，
第1次取得次品，第二次和第三次均取得合格品的概率为，
第1次取得合格品，第二次取得次品，第三次取得合格品的概率为，
第1次和第2次取得次品，第三次取得合格品的概率为，
故.
故选：B
4．D
【分析】根据互斥事件的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】，
所以与、与，与，与是互斥事件，
共对.
故选：D
5．A
【分析】根据相互独立事件的含义即可判断.
【详解】由题意可得表示第二次摸到的不是黑球,
即表示第二次摸到的是白球,由于采用有放回地摸球,
故每次是否摸到白球互不影响,故事件与是相互独立事件，
由于与可能同时发生，故不是互斥事件也不是对立事件.
故选：A.
6．D
【分析】对于AB，利用事件的运算方法，举反例排除即可；对于CD，根据对立事件与互斥事件的概念，对选项进行分析判断即可.
【详解】对于A，因为事件A，B中至少有一个发生包括事件A发生B不发生，A不发生B发生和A，B都发生；
事件A，B中恰有一个发生包括事件A发生B不发生，A不发生B发生；
又当事件A，B为对立事件时，事件A，B都发生的概率为，
所以事件A、B至少有一个发生与A、B中恰有一个发生是相等事件，两者概率相等，故A错误；
对于B，若A、B是相等事件，此时A、B恰有一个发生为不可能事件，概率为0，
而事件A、B同时发生的概率必然大于或等于0，故B错误；
对于CD，由互斥事件和对立事件的概念知，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故C错误，D正确.
故选：D.
7．A
【分析】首先确定基本事件，再根据对立事件的定义即可得出对立事件.
【详解】打靶连续射击两次基本事件有：（中靶，中靶）（中靶，脱靶）（脱靶，中靶）（脱靶，脱靶）
“至少有一次中靶”是指：（中靶，中靶），（中靶，脱靶），（脱靶，中靶），
其对立事件是：（脱靶，脱靶），
即两次都不中靶.
故选：A.
8．C
【分析】根据红球和黑球的数量，结合互斥事件和对立事件的定义，逐一对题目中的各个选项进行判断，即可得到结果.
【详解】当两个球都为黑球时， “至少有一个黑球”与“都是黑球”同时发生，故A中的两个事件不互斥；
当两个球一个为黑，一个为红时，“至少有一个黑球”与 “至少有一个红球”同时发生，故B中的两个事件不互斥；
“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，但有可能同时不发生，故C中两个事件互斥而不对立；
“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，但必然有一种情况发生，故D中两个事件对立．
故选：C．
9．C
【分析】根据古典概型概率公式可计算得到，知CD正误；由独立事件概率乘法公式验证可知A错误；根据互斥事件定义可知B错误.
【详解】投掷两个质地均匀的正方体骰子，所有可能的结果有种；
满足事件的有，，共种；满足事件的有，，共种；满足事件的有，，，，，，，，，，，共种；
，C正确；，D错误；
，不是相互独立事件，A错误；
事件和事件可能同时发生，不是互斥事件，B错误.
故选：C.
10．D
【分析】由已知条件结合事件的运算判断事件间的互斥、对立关系，根据与的关系判断事件是否独立.
【详解】由，，，即，故A、B互斥，A错误；
由，A、D互斥且对立，B错误；
又，，则，C与D不互斥，C错误；
由，，，
所以，即A与C相互独立，D正确.
故选：D
11．0.3##
【分析】根据互斥事件的概率公式即可求解.
【详解】因为随机事件，是互斥事件，
所以,
又，
所以.
故答案为：0.3.
12．##
【分析】先计算4粒种子都不发芽与恰有一粒种子发芽的概率，再由对立事件求需要补种的概率.
【详解】每粒种子是否发芽相互独立，
故4粒种子都不发芽的概率为，
恰有1粒种子不发芽的概率为 ，
由对立事件知至少有2粒种子发芽的概率为，
所以甲坑不需要补种的概率为.
故答案为: .
13．
【分析】列举出事件A发生的不同结果以及事件B发生的不同结果，从而可得答案.
【详解】事件A：至少有一个正面朝上，事件A发生的不同结果是：（正，反），（反，正），（正，正）；
事件B：：两个正面朝上，事件发生的不同结果是：（正，正）；
所以，事件A、B的关系是.
故答案为：.
14．独立，理由为.
【分析】应用，判断与是否相等即可.
【详解】独立，理由如下：，
所以同一样本空间下的必然事件与任一事件都互相独立.
故答案为：独立，理由为
15．##0.75
【分析】利用独立事件乘法公式有，根据已知即可求.
【详解】由题设，则.
故答案为：
16．(1)0.7
(2)0.09
【分析】（1）利用对立事件的概率公式即可求解；
（2）利用独立事件的乘法公式即可求解.
【详解】（1）某对新婚夫妇白头偕老，永不离异.
概率为＝0.7
（2）两对在集体婚礼上结婚的夫妻最终都离婚了.
概率为＝0.09
17．事件、、两两互相独立
【分析】根据独立事件的定义判断可得出结论.
【详解】解：由题意可得，
则事件、、均为“第四面朝下”，故，
所以，，，，
所以，事件、、两两互相独立.
18．(1)0.51
(2)0.97
【分析】（1）利用互斥事件的概率加法公式求解即可；
（2）利用对立事件的概率公式求解即可.
【详解】（1）由题意可得：
（抽出人为或型血）（抽出人为型血）（抽出人为型血）
.
（2）由题意可得：
（抽出人不是型血）（抽出人是型血）.
19．(1)甲应选择路径，乙应选择路径
(2)
【分析】（1）会用频率估计概率，然后把问题转化为互斥事件的概率；
（2）用A，B分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（1）知，，即可求解.
【详解】（1）表示事件“甲选择路径时，40分钟内赶到火车站”，表示事件“甲选择路径时，50分钟内赶到火车站”，，．
用频率估计相应的概率，则有：
，；
∵，∴甲应选择路径；
，；
∵，∴乙应选择路径．
（2）用A，B分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（1）知，，又事件A，B相互独立，则甲、乙两人中恰有一人在允许的时间内能赶到火车站的概率为
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

第十章10.2事件的相互独立性 同步练习（含解析）