福建省福州市五校联考2022-2023高二下学期期中考试数学试题（含答案）

福州市五校2022-2023学年第二学期期中考试
高二年级数学试卷
满分150分；考试 时间120分钟
一 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.已知直线，，则下列结论正确的是（ ）
A.直线过定点 B.当时，
C.当时， D.当时，两直线之间的距离为
3.已知是等比数列的前n项和，若存在，满足，，则数列的公比为（ ）
A. B.2 C. D.3
4.四棱锥中，底面是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（ ）
A.1 B. C. D.2
5.从0，1，2，3，4，5，6七个数字中取四个不同的数组成被5整除的四位数，这样的四位数的个数有（ ）
A.260 B.240 C.220 D.200
6.已知函数的导函数是，若，则下列结论正确的是（ ）
A. B.在上单调递减
C.为函数的极大值点 D.曲线在处切线为
7.已知是双曲线的左 右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C.2 D.
8.已知函数所有极小值点从小到大排列成数列，则（ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9.等差数列中，为的前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，且，则取得最大值时，或
D.必为等差数列
10.椭圆的左右两焦点分别为，点P为椭圆上的一点，点P与原点O连线与椭圆交于Q，则下列结论正确的是（ ）
A.若轴，则 B.四边形周长为8
C.点P到点最小距离为1 D.至少存在一点P使
11.抛物线焦点为F，下列结论正确的是（ ）
A.过焦点F的直线交抛物线于A，B，若，则弦AB中点到y轴距离为4
B.A，B，C为抛物线上三点，若F是的重心，则的值为6
C.若P为抛物线上一点，，则
D.若，P为抛物线上一点，则的最小值为5
12.已知函数为定义在上的奇函数，若当时，，且，则（ ）
A.
B.当时，
C.
D.不等式解集为
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上）
13.直线的方向向量坐标可以是____________（只需写出一个满足条件的一个向量）
14.五个学生（含甲 乙 丙）排成一排，甲与乙必须相邻，甲与丙不能相邻，则不同的排法种数有______.（用数字作答）
15.直线与曲线恰有2个公共点，则实数a的取值范围为______.
16.法国数学家拉格朗日于1778年在共著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数满足如下两个条件：①其图象在闭区间上是连续不断的；②在区间上都有导数.则在区间上至少存在一个数c，使得，其中c称为拉格朗日中值.函数在区间上的拉格朗日中值______.
四 解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤）
17.（本题满分10分）已知圆C经过点，和直线相切，且圆心在直线上.
（1）求圆C的方程；
（2）已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程.
18.（本题满分12分）
（1）二项式展开式中所有二项式系数和为64，求其展开式中含项的系数.
（2）已知.分别求①；②的值.
19.（本题满分12分）已知在公差不为零的等差数列中，，是与的等比中项，数列的前n项和为，满足
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
20.（本题满分12分）在四棱锥中，侧面底面ABCD，，底面ABCD是直角梯形，，，，.
（1）求证：平面PBD；
（2）求直线AP与平面PDB所成角的正弦值；
（3）侧棱PC上是否存在异于端点的一点E，使得二面角的余弦值为，若存在，求的值，若不存在，说明理由.
21.（本题满分12分）已知函数
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求函数的单调区间和极值；
（3）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围.
22.（本小题满分12分）已知椭圆过点，分别为椭圆C的左 右焦点，且.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点M，N是椭圆C上与点P不重合的两点，且以MN为直径的圆过点P，若直线MN过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由.
2022-2023学年第二学期期中考试
高二年级数学试卷答案及解析
一 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1.【答案】D
【解析】直线斜率为，设倾斜角为，则，故选D.
2.【答案】B
【解析】不管为何值，当时，，所以直线过定点，故A错误；
当时，有，得，故B正确；当时，有，，得或，但时，与重合，舍去，当时，，故C错误；结合选项知当时，，所以直线，所以两平行线间的距离为，故D错误.故选B.
3.【答案】B
【解析】设公比为，由已知可知公比不为，
，又，得，故选B.
4.【答案】B
【解析】因.
所以，所以，
所以，
解得，所以，故选B.
5.【答案】C
【解析】被5整除，个位为0或5，①个位为；②个位为，，所以这样的四位数的个数有220个，故选C.
6.【答案】D
【解析】由，令，得，A错误；，令，得或在和上单调递减，B错误；，当，当，所以，函数的极小值点，错误；由，
曲线在处切线为，即，故选D
7.【答案】C
【解析】由题意，，设一条渐近线方程为，则到渐近线的距离为.设关于渐近线的对称点为与渐近线交于，
为的中点，又0是的中点，，
为直角三角形，由勾股定理得，
.故选C
8.【答案】D
【解析】，由且由极小值点判断知数列是首项，
公差为的等差数列，，
故，故选D.
二 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9.【答案】AD
【解析】由数列为等差数列.若，则，
A正确；，B错误；，且，
则，则取得最大值时，或，C错误；由，则，可证是等差数列，D正确；故选AD.
10.【答案】BC
【解析】由已知，，若轴，可得，，错误；四边形为平行四边形，周长为，B正确；
点到点.最小距离为正确；当点为短轴端点时，最大，
在中，，则，故，所以椭圆上不存在点使，D错误.故选BC.
11.【答案】BC
【解析】A：分别过点作抛物线准线垂线，垂足分别为，则，
中点到准线的距离为中点到轴距离为
，错误；B：三点坐标为，由是的重心，
则，又，由抛物线焦半径公式得：，正确；
：设，
，正确；过作抛物线准线垂线，当点为垂线与抛物线交点时，取最小值，最小值为.错误.故选..
12.【答案】CD
【解析】设.，由函数为奇函数，则为偶函数，
又，由已知可知，当.为增函数，结合.为偶函数，
则当为减函数.由，则，
则，故A错误；只有当.时，才有，当时，.不恒成立，B错误；.为偶函数，，.正确.由.得，
，故由，有或，结合图象，得其解集为正确.故选CD.
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.【答案】或与其共线的非零向量均可.
14.【答案】36
【解析】①甲 乙相邻，与丙都不相邻，甲 乙捆绑，除甲 乙 丙其余两人排列，
两人旁边空档3个，由甲 乙捆绑看成一体与丙插空，甲 乙两人排列，故；
②甲 乙相邻，乙与丙相邻，甲 乙 丙三人可以“甲乙丙”及“丙乙甲”看成整体，与其余两人排列，，则不同排法为.
15.【答案】
【解析】由曲线得，当时；
当时；直线恒过点，
所以直线与曲线的图象如图所示.
当直线与相切时，
此时，得，解得，当直线与平行时，，
直线与曲线要恰有2个公共点，
可得，故答案为：.
16.【答案】
【解析】，则由拉格朗日中值的定义可知，函数.
在区间上的拉格朗日中值满足，，
所以，所以，则，
故答案为：
四 解答题（本大题共6小题，共70分）
17.【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）设圆心的坐标为，则
化简，得，解得
，半径.
圆的方程为.
（2）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时直线被圆截得的弦长为2，满足条件.
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由题意得，
解得直线的方程为..
综上所述，所求的直线方程为或
18.【答案】（1）-2500；（2）①-2；②40.
【解析】（1）由，
所有二项式系数和为，
，
，展开式中含项的系数是-2500.
（2）①令，得…①
令，得…②，
①+②，得，
令，得，则，
②求即求展开式中含项的系数，
，
所以展开式中含.项的系数是，即，
19.【答案】（1）.（2）
【解析】（1）设等差数列的公差为，由是与的等比中项，
得，
当时，.当时，，两式相减，
得，
数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
（2）由，则
，①
，②
①-②得，-
所以
20.【答案】（1）见解答；（2）（3）.
【解答】（1）证明：因为侧面底面，
平面平面平面，
所以底面，所以.，
又因为，即，
证法一：以为原点，为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
所以
所以，所以.
由底面，可得，又因为，且，
所以平面.
证法二：取中点，易证四边形为正方形，，
则.
由底面，可得，又因为，且，
所以平面.
（2）由（1）知平面的一个法向量
，设直线.与平面所成的角为，
所以.
（3）假设满足条件点存在，设，因为，
设，则，得，
即
设平面的一个法向量为，
，令，得
即平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为二面角，其角为锐角，
得或（舍去）
所以侧棱上是否存在异于端点的一点，使得二面角的余弦值为，
此时.
21.【答案】（1）；
（2）函数在和上单调递增，在上单调递减，
当时，，当时，
（3）
【解析】（1），切线斜率，切点，
切线方程为，即；
（2），定义域为，
由，
令，得或，
1 2
+ 0 - 0 +
函数在和上单调递增，在上单调递减，
当时，，当时，分
（3），即，
即在上恒成立，则
记，令
当时，单调递增，
当时，单调递减，
则，
故，所以的取值范围是-
22.【答案】（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线恒过定点.
【解答】（1）由，可得，所以，
由点在椭圆上，可得，故，
所以椭圆的标准方程为.-
（2）设，若直线与轴不垂直，
设直线的方程为.
将直线的方程代入，消去得.
由，得，
所以，
因为以为直径的圆过点，
所以
整理得..
因为点不在直线上，所以，所以，
所以，于是直线的方程为，
所以直线恒过点
若直线与轴垂直，设直线的方程为，则，
所以
所以，此时直线经过点.
综上可得，直线恒过定点.

福建省福州市五校联考2022-2023高二下学期期中考试数学试题（含答案）