人教A版（2019）选择性必修第三册7.2离散型随机变量及其分布列（含解析）

人教A版（2019）选择性必修第三册 7.2 离散型随机变量及其分布列
一、单选题
1．一个袋中装有除颜色外完全相同的2个黑球和6个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是（ ）
A．取到的球的个数 B．取到红球的个数
C．至少取到1个红球 D．至少取到1个红球或1个黑球
2．下表是离散型随机变量X的分布列，则常数的值是（ ）
X 3 4 5 9
P
A． B． C． D．
3．若某品种水稻杂交试验成功率是失败率的2倍，一次试验只有成功与失败两种结果，用描述一次试验的成功次数，则（ ）
A．0 B． C． D．
4．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X>4”表示试验的结果为（ ）
A．第一枚为5点，第二枚为1点
B．第一枚大于4点，第二枚也大于4点
C．第一枚为6点，第二枚为1点
D．第一枚为4点，第二枚为1点
5．甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，记事件A为“四名同学所选项目各不相同”，事件B为“只有甲同学选羽毛球”，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知随机变量的分布列如表（其中为常数），则等于（ ）
0 1 2 3 4 5
0.1 0.1 0.3 0.2 0.1
A．0.4 B．0 C．0.6 D．0.7
7．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局三次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
8．已知随机变量ξ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是（ ）
A． B． C．[－3，3] D．[0，1]
9．设随机变量的概率为分布列如下表，则（ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
10．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到次结束为止．某考生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值范围为
A． B． C． D．
11．若离散型随机变量的分布列为，则的值为
A． B． C． D．
12．已知为实数，随机变量，的分布列如下：
0 1
0 1
若，随机变量满足，其中随机变量，相互独立，则取值范围的是（ ）A． B． C． D．
二、填空题
13．设随机变量的分布列为，则___________.
14．设验血诊断某种疾病的误诊率为5%，即若用表示验血为阳性，表示受验者患病，则,若受检人群中有0.5%患此病，即，则一个验血为阳性的人确患此病的概率为______．
15．已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
则的值为________________．
16．随机变量的分布列为为常数， 则 的值为____________
三、解答题
17．抛掷一枚质地均匀的硬币2次，写出正面向上次数X的分布列．
18．下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．
（1）抛掷2枚骰子，所得点数之和；
（2）某足球队在5次点球中射进的球数；
（3）任意抽取一瓶标有1500mL的饮料，其实际含量与规定含量之差．
19．某中学有位学生申请、、三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．
（1）求恰有人申请大学的概率；
（2）求被申请大学的个数的概率分布列与数学期望．
20．年月日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人.某单位有老年员工人，中年员工人，青年员工人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如表：
专项员工人数 子女教育 继续教育 大病医疗 住房贷款利息 住房租金 赡养老人
老员工
中年员工
青年员工
（Ⅰ）在抽取的人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；
（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取人，记为选出的中年员工的人数，求的分布列和数学期望.
21．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量(件) 0 1 2 3
频数 1 5 9 5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.
（1）求当天商店不进货的概率；
（2）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
根据随机变量的定义即可判断.
【详解】
A中叙述的结果是确定的，不是随机变量，B中叙述的结果可能是0，1，2，所以是随机变量．C和D叙述的结果也是确定的，故不是随机变量．
故选：B.
2．C
由随机变量分布列中概率之和为1列出方程即可求出a.
【详解】
，解得.
故选：C
本题考查离散型随机变量分布列，属于基础题.
3．C
设失败率为，则成功率为，利用概率之和为列方程，先求得，然后求得
【详解】
据题意知，“”表示一次试验试验失败，“”表示一次试验试验成功.
设一次试验失败率为，则成功率为，所以，所以，
所以.
故选：C
本小题主要考查概率的有关概念，属于基础题.
4．C
由随机变量的可能取值求解.
【详解】
抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，
所以“X>4”即“X=5”，
表示试验的结果为第一枚为6点，第二枚为1点，
故选：C
5．B
分别求出事件、事件B的可能的种数，代入条件概率公式即可得解.
【详解】
事件：甲选羽毛球且四名同学所选项目各不相同，所以其它3名同学排列在其它3个项目，且互不相同为，
事件B：甲选羽毛球，所以其它3名同学排列在其它3个项目，可以安排在相同项目为，
.
故选：B
本题考查条件概率、排列组合，属于基础题.
6．C
由概率和为得，进而结合求解即可.
【详解】
解：由分布列的性质得，概率和为，即，解得.
所以.
故选：C
7．D
列举出ξ=3的所有可能的情况，由此可得出合适的选项.
【详解】
解：甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，
所以有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．
故选：D．
8．B
设随机变量ξ取x1，x2，x3的概率分别为a－d，a，a＋d，根据各个变量概率和为1，可求得a值，根据概率大于等于0，即可求得答案.
【详解】
设随机变量ξ取x1，x2，x3的概率分别为a－d，a，a＋d，
根据各个变量概率和为1得：(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，解得，
由，解得.
故选：B
9．A
根据概率之和等于1得出的值，再求，即可得出答案.
【详解】
由，解得或
故选：A
本题主要考查了离散型随机变量分布列的性质的应用以及求概率，属于基础题.
10．A
根据题意，分别求出再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可
【详解】
由题可知，，，则
解得，由可得，
答案选A
本题考查离散型随机变量期望的求解，易错点为第三次发球分为两种情况：三次都不成功、第三次成功
11．A
【详解】
分析：由题 则由可求的值，进而求得.
详解：由题 ，则由离散型随机变量分布列的性质可得
故
故选A.
点睛：本题考查离散型随机变量分布列的性质，属基础题.
12．B
由及，可知，；又因为，可求出；由题意知，从而可求出取值范围.
【详解】
解：由知， ，即 ，又 ，所以；
因为 ，所以 ，解得.又 ，
且，相互独立，，所以.
故选:B.
本题考查了数学期望，考查了分布列的性质，考查了推理能力和计算能力.本题的关键是由条件求出 的取值范围.
13．##
由分布列的性质列式求解，再根据的含义代入概率公式求解.
【详解】
由题意，，所以，得，所以.
故答案为：
14．
结合条件概率的计算公式，得到，即可求解.
【详解】
由题意，结合条件概率的计算公式，可得：
.
故答案为：.
15．21.2
根据表中数据，可求得，再由离散型随机变量分布列的均值的性质公式即可得解.
【详解】
由表中数据可知，，
根据离散型随机变量分布列的均值公式可知，
故答案为：21.2
本题考查了离散型随机变量均值的求法，加减乘法变化后均值求法，属于基础题.
16．
【详解】
试题分析：根据所给的概率分步规律，写出四个变量对应的概率，根据分布列的性质，写出四个概率之和是1，解出a的值，要求的变量的概率包括两个变量的概率，相加得到结果
详解：∵P（X=k）=）=，k=1，2，3，4，
∴，
∴c=，
∵P（＜X＜）=P（X=1）+P（X=2）=；
故答案为．
点睛：本题考查离散型随机变量的分布列的性质，考查互斥事件的概率，是一个基础题，关键是利用概率的性质求出c．求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得.
17．答案见解析
由题意计算出正面向上的次数的概率，即可得到分布列.
【详解】
由已知，抛掷一次一枚质地均匀的硬币，
正面向上的概率为
记正面向上的次数为，则可取0，1，2，
，
，
，
所以正面向上的次数的分布列为：
0 1 2
18．(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析.
(1)抛掷两枚骰子，所得点数之和，能用离散型随机变量表示，利用列举法能求出个随机变量可能的取值和这些值所表示的随机试验的结果.
(2)某足球队在5次点球中射进的球数能用离散型随机变量表示，利用列举法能求出个随机变量可能的取值和这些值所表示的随机试验的结果.
(3)任意抽取一瓶某种标有1500mL的饮料，其实际量与规定量之差，不能用离散型随机变量表示.
【详解】
(1)抛掷两枚骰子所得点数之和，能用离散型随机变量表示，各随机变量可能的取值分别为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.
2表示抛掷两枚骰子得到的结果为11；
3表示抛掷两枚骰子得到的结果为12；21；
4表示抛掷两枚骰子得到的结果为13；22；31；
5表示抛掷两枚骰子得到的结果为14；23；32；41；
6表示抛掷两枚骰子得到的结果为15；51；24；42；33；
7表示抛掷两枚骰子得到的结果为16；61；25；52；34；43；
8表示抛掷两枚骰子得到的结果为26；62；35；53；44；
9表示抛掷两枚骰子得到的结果为36；63；45；54；
10表示抛掷两枚骰子得到的结果为46；64；55；
11表示抛掷两枚骰子得到的结果为56；65；
12表示抛掷两枚骰子得到的结果为66.
(2)某足球队在5次点球中射进的球数能用离散型随机变量表示，各随机变量可能的取值分别为0，1，2，3，4，5
0表示5次点球中射进0球；
1表示5次点球中射进1球；
2表示5次点球中射进2球；
3表示5次点球中射进3球；
4表示5次点球中射进4球；
5表示5次点球中射进5球.
(3)任意抽取一瓶某种标有1500mL的饮料，其实际量与规定量之差，不能用离散型随机变量表示.
19．（1）；（2）分布列见解析，．
（1）所有可能的方式有种，利用组合计数原理计算出恰有人申请大学的种数，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率；
（2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、，然后分别求出相应的概率，列出分布列，根据数学期望公式进行求解即可；
【详解】
（1）所有可能的方式有种，恰有人申请大学的申请方式有种，
从而恰有人申请大学的概率为；
（2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、，
则，，.
所以，随机变量的分布列如下表所示：
.
本题考查运用概率、离散型随机变量的期望知识及解决实际问题，考查计算能力，属于中档题．
20．（Ⅰ）老年员工、中年员工、青年员工分别有人、人、人；（Ⅱ）分布列见解析，.
（Ⅰ）先算出该单位的所有员工数量，再根据分层抽样的特点，逐一求解样本中老年、中年、青年员工的数量即可；
（Ⅱ）随机变量的可取值为、、，结合超几何分布计算概率的方式逐一求取每个的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望.
【详解】
（Ⅰ）该单位员工共人，
抽取的老年员工人，中年员工人，青年员工人；
（Ⅱ）的可取值为、、，
，，.
所以的分布列为：
数学期望.
本题考查利用分层抽样求抽取的人数，同时也考查了超几何分布列以及随机变量数学期望的计算，考查计算能力，属于中等题.
21．（1）；（2）答案见解析.
（1）由古典概型概率公式与互斥事件的概率公式求解即可；
（2）求出X的可能取值，再用古典概型概率公式与互斥事件的概率公式求出概率，即可求解
【详解】
（1）记“当天商品销售量为0件”为事件A，“当天商品销售量为1件”为事件B，“当天商店不进货”为事件C，
则；
（2）由题意知，X的可能取值为2，3.
P(X＝2) ＝P(当天商品销售量为1件)＝；
P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)
＝，
故X的分布列为：
X 2 3
P
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

人教A版（2019）选择性必修第三册7.2离散型随机变量及其分布列（含解析）