上海市徐汇区南洋模范学校2022-2023高三下学期4月数学测试3（含答案）

上海市徐汇区南洋模范学校2022-2023学年高三下学期4月数学测试3
一、填空题
1．已知集合，，若，则实数a的取值组成的集合是______．
2．已知直线，，若，则实数a的值是______．
3．若将函数的图像向左平移个单位后，所得图像关于原点对称，则m的最小值是______．
4．若某地区60岁及以上人群的新冠疫苗全程（两针）接种率为，加强免疫接种（第三针）的接种率为，则在该地区完成新冠疫苗全程接种的60岁及以上人群中随机抽取一人，此人完成了加强免疫接种的概率为______．
5．记，则______．
6．已知正实数满足，则的最小值是______．
7．设P是曲线上任意一点，则曲线在点P处的切线的倾斜角的取值范围是______．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且斜率为的直线与双曲线的左支交于点．若，则双曲线的渐近线方程为______．
9．数列是公差不为零的等差数列，其前n项和为，若记数据的方差为，数据的方差为，则______．
10．已知，若函数图象的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间，则的取值范围是______（结果用区间表示）．
11．若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，则实数t的所有可能的值为______．
12．在棱长为1的正方体中，M为底面ABCD的中心，，，N为线段AQ的中点，则下列命题中正确的序号为______．
①CN与QM共面；
②三棱锥的体积跟的取值无关；
③当时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为；
④时，．
二、选择题
13．已知是两个不重合的平面，直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
14．在实际生活中，常常要用到如图1所示的“直角弯管”．它的制作方法如下：如图2，用一个与圆柱底面所成角为的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到“直角弯管”．在制作“直角弯管”时截得的截口是一个椭圆，若将圆柱被截开的一段（如图3）的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展开成平面图形，则截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图像（如图4）．记该正弦型函数的最小正周期为，截口椭圆的离心率为，若圆柱的底面直径为2，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
15．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则面截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
16．已知平面向量满足，，，，当时，（ ）
A． B． C． D．
三、解答题
17．如图，多面体ABCDEF中，ABCD是菱形，，平面ABCD，，且．
（1）求证：平面平面FAC；
（2）求多面体ABCDEF的体积．
18．在中，三边a，b，c所对应的角分别是A，B，C，已知a，b，c成等比数列．
（1）若，求角B的值；
（2）外接圆的面积为，求面积的取值范围．
19．某市旅游局为尽快恢复受疫情影响的旅游业，准备在本市的景区推出旅游一卡通（年卡）．为了更科学的制定一卡通的有关条例，市旅游局随机调查了2021年到本市景区旅游的1000个游客的年旅游消费支出（单位：百元），并制成如下频率分布直方图：
由频率分布直方图，可近似地认为到本市景区旅游的游客，其旅游消费支出服从正态分布，其中近似为样本平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）．
（1）若2021年到本市景区旅游游客为500万人，试估计2021年有多少游客在本市的年旅游消费支出不低于1820元；
（2）现依次抽出n个游客，假设每个游客的旅游消费支出相互独立，记事件A表示“连续3人的旅游消费支出超出”，若表示的概率，（，a，b为常数），且．
①求，及a，b；
②判断并证明数列从第三项起的单调性，试用概率统计知识解释其实际意义．
（参考数据：，，）
20．已知椭圆过点，且右焦点为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，交y轴于点P．若，，求证：为定值；
（3）在（2）的条件下，若点P不在椭圆C的内部，点Q是点P关于原点O的对称点，试求三角形QAB面积的最小值．
21．已知函数，其中．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，若在区间上的最小值为，求的取值范围；
（3）若，且，恒成立，求a的取值范围．
参考答案
一、填空题
1.； 2.0或者-1； 3.； 4.0.6；
5.； 6.； 7.； 8.
9.4； 10.； 11.； 12.①②③；
二、选择题
13.A； 14.B； 15.B； 16.A
三、解答题
17.(1) 证明: 四边形是菱形,
18.（1）由题意得，
由正弦定理有 ,
（2） 外接圆的面积为 , 的外接圆的半径 ,
由余弦定理 得
当且仅当 时取等号, 为 的内角, ,
由正弦定理 , 得
的面积
,, 。
19.(1)直方图可得
旅游费用支出不低于1820元的概率为
估计2019年有11.4万的游客在本市的年旅游费用支出不低于1820元.
②数列从第三项起单调递减.故
即从第三项起数列单调递减.由此,可知随着抽查人数的增加，事件“不连续3
人的旅游费用支出超出”的可能性会越来越小.(即最终会出现连续3人的旅游费用支出超出这一事件)。
20.(1)由题意可得,椭圆的方程;
(2)证明:设的坐标分别为,,
由知,
可得,又在椭圆上,则,
整理得,由,同理得,
由于不重合,即,故是一元二次方程的两根,
,为定值.
(3)设直线,代入椭圆方程,
可得,,
知,所以
因为不在椭圆内,故得,,故三角形面积的最小值为.
21．(1)当时,
因为 所以切线方程为.
(2)函数的定义域为.
当时,
令,即
当,即时,在上单调递增,
所以在上的最小值是
当时,在上的最小值是,不合题意；
当时,在上单调递减,
所以在上的最小值是,不合题意 综上可得.
(3)设,则,对任意,
且恒成立,等价于在上单调递增
而
当时,,此时在单调递增;
当时,只需在恒成立,因为,
只要,则需要,
对于函数,过定点,对称轴,
只需,即.综上可得.

上海市徐汇区南洋模范学校2022-2023高三下学期4月数学测试3（含答案）