浙江省金华市义乌市宾王中学2022-2023七年级下学期4月期中数学试题（含答案）

2022~2023宾王中学七年级下数学期中检测卷
一．选择题（本题共10小题，每题3分，共30分）
1．下列各式中是二元一次方程的是（　　）
A．2x+y＝z B．x（2﹣y）＝4 C．+y＝2 D．3x+4y＝10
2．已知：如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，若∠1＝70°，则∠2的度数是（　　）
A．130° B．80° C．110° D．70°
3．下列运算正确的是（　　）
A．a2 a5＝a10 B．（a﹣2）2＝a2﹣4
C．a6÷a2＝a3 D．（a2）4＝a8
4．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1
C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） D．x+2＝x（1+）
5．目前发现的新冠病毒其直径约为0.00012毫米，则这个数字用科学记数法表示正确的是（　　）
A．1.2×104 B．1.2×10﹣4 C．0.12×105 D．0.12×10﹣5
6．下列各式中，应用乘法公式计算正确的是（　　）
A．（x﹣y）（﹣y﹣x）＝y2﹣x2 B．（2x﹣y）（y﹣2x）＝﹣y2﹣4x2
C．（2a﹣1）2＝4a2﹣2a+1 D．（3﹣x）2＝9﹣x2
7．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数是（　　）
A．30° B．25° C．20° D．15°
8．在下列各式：①a﹣b＝b﹣a；②（a﹣b）2＝（b﹣a）2；③（a﹣b）2＝﹣（b﹣a）2；④（a﹣b）3＝（b﹣a）3； ⑤（a+b）（a﹣b）＝（﹣a﹣b）（﹣a+b）中，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．已知关于x，y的方程组，以下结论其中不成立是（　　）
A．不论k取什么实数，x+3y的值始终不变 B．存在实数k，使得x+y＝0
C．当y﹣x＝﹣1时，k＝1 D．当k＝0，方程组的解也是方程x﹣2y＝﹣3的解
10．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝10，其内部有边长为a的正方形AEFG与边长为b的正方形HIJK，两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为5，若S2＝4S1，则正方形AEFG与正方形HIJK的面积之和为（　　）
A．20 B．25 C． D．
二．填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
11．因式分解：m2﹣4＝　 　．
12．如果把方程3x+y＝2写成用含x的代数式表示y的形式，那么y＝　 　．
13．已知10m＝2，10n＝3，则103m+2n的值为　 　．
14．已知∠α，∠β的两条角边分别平行，∠α＝50°，则∠β的度数为　 　．
15．若关于x、y的方程组有整数解，则正整数a的值为 　 　．
16．将一条两边互相平行的纸带沿EF折叠，如图（1），AD∥BC，ED'∥FC'，设∠AED'＝x°
（1）∠EFB＝　 　．（用含x的代数式表示）
（2）若将图1继续沿BF折叠成图（2），∠EFC″＝　 　．（用含x的代数式表示）．
三．解答题（本题共8小题，共52分）
17．计算
（1）﹣12016﹣（π﹣3）0； （2）a5 a4+（﹣2a3）3．
18．把下列各式因式分解：
（1）ma+mb； （2）5y3+20y2．
19．解下列二元一次方程组：
（1）； （2）．
20．先化简，再求值：[（x+y）2+y（2x﹣y）﹣8xy]÷2x，其中x＝2，y＝﹣1．
21．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在BC边上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE．
（1）把线段AE向右平移2个单位（A点对应点为D，E点对应点为C）；
（2）在图中画出△AEF，使△AEF与△AEB关于直线AE对称，点F与点B是对称点；
（3）求△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积．
22．为了防范新型冠状病毒的传播，小唐的爸爸用1200元资金为全家在大型药店购进普通医用口罩、N95口罩两种口罩共300个，该大型药店的普通医用口罩、N95口罩成本价和销售价如表所示：
类别/单价 成本价（元/个） 销售价（元/个）
普通医用口罩 0.8 2
N95口罩 4 8
（1）小唐的爸爸在大型药店购进普通医用口罩、N95口罩各多少个？
（2）销售完这300个普通医用口罩、N95口罩，该大型药店共获得多少利润？
23．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．
例如，由图①，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）如图②，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知a+b+c＝10，a2+b2+c2＝38，求ab+bc+ac的值．
（3）如图③，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一条直线上，连结BD和BF．若这两个正方形的边长满足a+b＝10，ab＝20，请求出阴影部分的面积．
24．今年除夕夜长江两岸的灯光秀璀璨夺目，照亮山城的山水桥梁城市楼阁，人民欢欣鼓舞．观看表演的小语同学发现两岸的灯光运动是有规律的，如图1所示，灯A射出的光线从AQ开始顺时针旋转至AP便立即回转，灯B射出的光线从BM开始顺时针旋转至BN便立即回转，两灯不停旋转．
假设长江两岸是平行的，即PQ∥MN，点A在PQ上，B、C、D在MN上，连接AB、AC、AD，已知AC平分∠BAP，AD平分∠CAP．
（1）如图1，若∠ABD＝40°，则∠CAQ＝　 　；
（2）如图2，在PQ上另有一点E，连接CE交AD于点F，点G在MN上，连接AG，若∠CAG＝∠CAE，∠EFD+∠DAG＝180°，试证明：EC∥AB．
（3）如图3，已知灯A射出的光线旋转的速度是每秒10°，灯B射出的光线旋转的速度是每秒30°，若灯B射出的光线从BM出发先转动2秒，灯A射出的光线才从AQ出发开始转动，设灯A转动的时间为t秒，在转动过程中，当0≤t≤12时，请直接写出灯A射出的光线与灯B射出的光线相交且互相垂直时的时间t的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（本题共10小题，每题3分，共30分）
1．下列各式中是二元一次方程的是（　　）
A．2x+y＝z B．x（2﹣y）＝4 C．+y＝2 D．3x+4y＝10
【分析】根据二元一次方程的定义求解即可．
【解答】解：A．含有三个未知数，不是二元一次方程，故A不符合题意；
B．未知数的次数是2次，不是二元一次方程，故B不合题意；
C．不是整式方程，故C不符合题意；
D．是二元一次方程，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程的定义，注意二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．
2．已知：如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，若∠1＝70°，则∠2的度数是（　　）
A．130° B．80° C．110° D．70°
【分析】由a∥b，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3的度数，又由邻补角的定义即可求得∠2的度数．
【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠3＝∠1＝70°，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝110°．
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．解题的关键是数形结合思想的应用．
3．下列运算正确的是（　　）
A．a2 a5＝a10 B．（a﹣2）2＝a2﹣4
C．a6÷a2＝a3 D．（a2）4＝a8
【分析】根据同底数幂乘除法、幂的乘方的运算法则以及完全平方公式分析判断即可．
【解答】解：A、a2 a5＝a2+5＝a7，计算错误，故选项不符合题意；
B、（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，计算错误，故选项不符合题意；
C、a6÷a2＝a6﹣2＝a4，计算错误，故选项不符合题意；
D、（a2）4＝a8，计算正确，故选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂乘除法、幂的乘方的运算法则以及完全平方公式，解题的关键是熟记相关的运算法则以及公式．
4．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1
C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） D．x+2＝x（1+）
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．
【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；
D、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的意义．严格按照因式分解的定义去验证每个选项是正确解答本题的关键．
5．目前发现的新冠病毒其直径约为0.00012毫米，则这个数字用科学记数法表示正确的是（　　）
A．1.2×104 B．1.2×10﹣4 C．0.12×105 D．0.12×10﹣5
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00012＝1.2×10﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
6．下列各式中，应用乘法公式计算正确的是（　　）
A．（x﹣y）（﹣y﹣x）＝y2﹣x2 B．（2x﹣y）（y﹣2x）＝﹣y2﹣4x2
C．（2a﹣1）2＝4a2﹣2a+1 D．（3﹣x）2＝9﹣x2
【分析】根据完全平方公式以及平方差公式即可求出答案．
【解答】解：（B）原式＝﹣（2x﹣y）（2x﹣y）＝﹣（4x2﹣4xy+y2），故B错误；
（C）原式＝4a2﹣4a+1，故C错误；
（D）原式＝9﹣6x+x2，故D错误；
故选：A．
【点评】本题考查乘法公式，解题的关键是熟练运用乘法公式，本题属于基础题型．
7．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数是（　　）
A．30° B．25° C．20° D．15°
【分析】本题主要利用两直线平行，内错角相等作答．
【解答】解：根据题意可知，两直线平行，内错角相等，
∴∠1＝∠3，
∵∠3+∠2＝45°，
∴∠1+∠2＝45°
∵∠1＝20°，
∴∠2＝25°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了两直线平行，内错角相等的性质，需要注意隐含条件，直尺的对边平行，等腰直角三角板的锐角是45°的利用．
8．在下列各式：①a﹣b＝b﹣a；②（a﹣b）2＝（b﹣a）2；③（a﹣b）2＝﹣（b﹣a）2；④（a﹣b）3＝（b﹣a）3； ⑤（a+b）（a﹣b）＝（﹣a﹣b）（﹣a+b）中，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】各式利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断．
【解答】解：①a﹣b＝﹣（b﹣a），不符合题意；
②（a﹣b）2＝（b﹣a）2，符合题意；
③（a﹣b）2＝（b﹣a）2，不符合题意；
④（a﹣b）3＝﹣（b﹣a）3，不符合题意；
⑤（a+b）（a﹣b）＝（﹣a﹣b）（﹣a+b），符合题意，
故选：B．
【点评】此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
9．已知关于x，y的方程组，以下结论其中不成立是（　　）
A．不论k取什么实数，x+3y的值始终不变
B．存在实数k，使得x+y＝0
C．当y﹣x＝﹣1时，k＝1
D．当k＝0，方程组的解也是方程x﹣2y＝﹣3的解
【分析】解方程组可得y＝1﹣k，x＝3k﹣2，再依次对选项进行判断即可．
【解答】解：，
①×2，得2x+4y＝2k③，
③﹣②得，y＝1﹣k，
将y＝1﹣k代入①得，x＝3k﹣2，
∴x+3y＝3k﹣2+3﹣3k＝1，
故A正确；
∵x+y＝3k﹣2+1﹣k＝2k﹣1，
∴x+y＝0时，2k﹣1＝0，
∴k＝，
故B正确；
∵y﹣x＝1﹣k﹣3k+2＝3﹣4k＝﹣1，
∴k＝1，
故C正确；
当k＝0时，方程组的解为，
将代入x﹣2y＝﹣3，左边＝﹣4，
故D不正确；
故选：D．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，根据所给条件对每个选项进行判断是解题的关键．
10．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝10，其内部有边长为a的正方形AEFG与边长为b的正方形HIJK，两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为5，若S2＝4S1，则正方形AEFG与正方形HIJK的面积之和为（　　）
A．20 B．25 C． D．
【分析】先利用EB边长，推导出6﹣a＝b﹣，则可得GT＝QI，GP＝EQ，从而得到S矩形EBIQ＝S矩形GPKT，再由TD＝AD﹣AB，求出ED＝4，可求S矩形TJCD＝24，根据S矩形TJCD＝S2﹣S矩形GPKT＝S2﹣S1，求出S1＝8，再由S矩形ABCD＝a2+b2+S1+S2﹣5，求出a2+b2＝25，即为所求．
【解答】解：∵两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为5，
∴HP＝HQ＝QF＝PF＝，
∵AE＝AG＝EF＝GF＝a，HK＝HI＝IJ＝KJ＝b，
∴EB＝6﹣a，QI＝b﹣，
∴6﹣a＝b﹣，
∴PK＝EB，
∵a﹣＝6﹣b，
∴GP＝EQ，
∴TD＝AD﹣AB，
∵AB＝6，AD＝10，
∴TD＝4，
∴S矩形TJCD＝24，
延长JK交AD于点T，
∴S矩形EBIQ＝S矩形GPKT，
∴S矩形TJCD＝S2﹣S矩形GPKT＝S2﹣S1，
∵S2＝4S1，
∴S矩形TJCD＝S2﹣S矩形GPKT＝3S1＝24，
∴S1＝8，
∵S矩形ABCD＝a2+b2+S1+S2﹣5，
∴60＝a2+b2+5S1﹣5，
∴a2+b2＝25，
∴正方形AEFG与正方形HIJK的面积之和为25，
故选：B．
【点评】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式，矩形的面积公式，正方形的面积公式是解题的关键．
二．填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
11．因式分解：m2﹣4＝　（m+2）（m﹣2）　．
【分析】根据平方差公式，进行因式分解．
【解答】解：m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）．
故答案为：（m+2）（m﹣2）．
【点评】本题考查公式法的因式分解，解题的关键是掌握平方差公式的因式分解法．
12．如果把方程3x+y＝2写成用含x的代数式表示y的形式，那么y＝　2﹣3x　．
【分析】把x看作已知数求出y即可．
【解答】解：方程3x+y＝2，
解得：y＝2﹣3x，
故答案为：2﹣3x
【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y．
13．已知10m＝2，10n＝3，则103m+2n的值为　72　．
【分析】先将103m+2n变形为（10m）3×（10n）2，然后结合幂的乘方与积的乘方的运算法则进行求解即可．
【解答】解：∵10m＝2，10n＝3，
∴103m+2n
＝（10m）3×（10n）2
＝23×32
＝8×9
＝72．
故答案为：72．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，解答本题的关键在于将103m+2n变形为（10m）3×（10n）2，然后结合幂的乘方与积的乘方的运算法则进行求解．
14．已知∠α，∠β的两条角边分别平行，∠α＝50°，则∠β的度数为　50°或130°　．
【分析】根据当两角的两边分别平行时，两角的关系可能可能相等也可能互补，即可得出答案．
【解答】解：∵∠α＝50°，∠α的两边分别和∠β的两边平行，
∴∠β和∠α可能相等也可能互补，
即∠β的度数是50°或130°，
故答案为：50°或130°．
【点评】本题考查了对平行线的性质的应用，解题时注意分类思想的运用．
15．若关于x、y的方程组有整数解，则正整数a的值为 　2、4、8　．
【分析】先把a当作已知数，求解二元一次方程组，再根据方程有整数解得a 3必须同时整除10与15，从而得出a﹣3＝5或a﹣3＝1或a﹣3＝﹣1或a﹣3＝﹣5，求解各方程即可得解．
【解答】解：，①﹣②得，（a﹣3）x＝10，
∴，
将代入②得，，
∵方程组有整数解，
∴a﹣3＝5或a﹣3＝1或a﹣3＝﹣1或a﹣3＝﹣5，
∴a＝8或a＝4或a＝2或a＝﹣2，
又∵a为正整数，故a＝﹣2舍去，
∴a的值为2，4，8．
故答案为：2、4、8．
【点评】本题考查解二元一次方程组，求二元一次方程组中的参数，根据消元法求出x，y是解题的关键．
16．将一条两边互相平行的纸带沿EF折叠，如图（1），AD∥BC，ED'∥FC'，设∠AED'＝x°
（1）∠EFB＝　90°﹣x°　．（用含x的代数式表示）
（2）若将图1继续沿BF折叠成图（2），∠EFC″＝　﹣90°　．（用含x的代数式表示）．
【分析】（1）由平行线的性质得∠DEF＝∠EFB，∠AEH+∠EHB＝180°，折叠和三角形的外角得∠D'EF＝∠EFB，∠EFB＝∠EHB，最后计算出∠EFB＝90°﹣x°；
（2）由折叠和平角的定义求出∠EFC'＝90°+，再次折叠经计算求出∠EFC''＝．
【解答】解：（1）如图1所示：
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB，∠AEH+∠EHB＝180°，
又∵∠DEF＝∠D'EF，
∴∠D'EF＝∠EFB，
又∵∠EHB＝∠D'EF+∠EFB，
∴∠EFB＝∠EHB，
又∵∠AED'＝x°，
∴∠EHB＝180°﹣x°
∴∠EFB＝＝90°﹣x°
（2）如图2所示：
∵∠EFB+∠EFC'＝180°，
∴∠EFC'＝180°﹣（90°﹣°）＝90°+，
又∵∠EFC'＝2∠EFB+∠EFC''，
∴∠EFC''＝∠EFC'﹣2∠EFB
＝90°+﹣2（90°﹣°）
＝，
故答案为．
【点评】本题综合考查了平行线的性质，折叠问题，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，平角的定义和角的和差等相关知识，重点掌握平行线的性质，难点是折叠前后的变及不变的问题，二次折叠角的前后大小等量关系．
三．解答题（本题共8小题，共52分）
17．计算
（1）﹣12016﹣（π﹣3）0；
（2）a5 a4+（﹣2a3）3．
【分析】（1）根据乘方的意义，零指数幂的法则，有理数的减法法则进行计算，即可得出结果；
（2）根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方法则，合并同类项法则进行计算，即可得出结果．
【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣1
＝﹣2；
（2）原式＝a9+（﹣8a9）
＝﹣7a9．
【点评】本题考查了零指数幂，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握零指数幂的法则，同底数幂乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键．
18．把下列各式因式分解：
（1）ma+mb；（2）5y3+20y2．
【分析】（1）提取公因式m进行因式分解．
（2）提取公因式5y2进行因式分解．
【解答】解：（1）ma+mb＝m（a+b）．
（2）5y3+20y2＝5y2（y+4）．
【点评】本题主要考查运用提公因式法进行因式分解，熟练掌握提公因式法是解决本题的关键．
19．解下列二元一次方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据加减消元法①+②，解方程即可；
（2）先将①变形为3x﹣2y＝8③，再根据加减消元法解方程即可．
【解答】解：（1），
①+②，得2x＝4，
解得x＝2，
将x＝2代入①，得2+y＝3，
解得y＝1，
∴原方程组的解为；
（2），
由①得3x﹣2y＝8③，
③+①，得6x＝18，
解得x＝3，
将x＝3代入②，得9+2y＝10，
解得y＝0.5，
∴原方程组的解为．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
20．先化简，再求值：[（x+y）2+y（2x﹣y）﹣8xy]÷2x，其中x＝2，y＝﹣1．
【分析】原式括号中利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝（x2+2xy+y2+2xy﹣y2﹣8xy）÷2x
＝（x2﹣4xy）÷2x
＝x﹣2y，
当x＝2，y＝﹣1时，原式＝1+2＝3．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在BC边上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE．
（1）把线段AE向右平移2个单位（A点对应点为D，E点对应点为C）；
（2）在图中画出△AEF，使△AEF与△AEB关于直线AE对称，点F与点B是对称点；
（3）求△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积．
【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A点对应点D，E点对应点C即可；
（2）作出B点关于AE的对称点F即可；
（3）用一个平行四边形的面积减去一个三角形的面积去计算△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积．
【解答】解：（1）如图，DC为所作；
（2）△AEF为所作；
（3）如图，
△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积＝S平行四边形ADCE﹣S△CEM＝2×4﹣×2×2＝6．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
22．为了防范新型冠状病毒的传播，小唐的爸爸用1200元资金为全家在大型药店购进普通医用口罩、N95口罩两种口罩共300个，该大型药店的普通医用口罩、N95口罩成本价和销售价如表所示：
类别/单价 成本价（元/个） 销售价（元/个）
普通医用口罩 0.8 2
N95口罩 4 8
（1）小唐的爸爸在大型药店购进普通医用口罩、N95口罩各多少个？
（2）销售完这300个普通医用口罩、N95口罩，该大型药店共获得多少利润？
【分析】（1）设小唐的爸爸在大型药店购进普通医用口罩x个，N95口罩y个，根据“用1200元资金为全家在大型药店购进普通医用口罩、N95口罩两种口罩共300个”求得答案即可；
（2）用总的售价减去总的成本即可求得利润．
【解答】解：（1）设小唐的爸爸在大型药店购进普通医用口罩x个，N95口罩y个，
依题意，得：，
解得：．
答：小唐的爸爸在大型药店购进普通医用口罩200个，N95口罩100个；
（2）200×（2﹣0.8）+100×（8﹣4）＝640（元），
答：该超市共获利润640元．
【点评】考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找到两个等量关系，难度不大．
23．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．
例如，由图①，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）如图②，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知a+b+c＝10，a2+b2+c2＝38，求ab+bc+ac的值．
（3）如图③，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一条直线上，连结BD和BF．若这两个正方形的边长满足a+b＝10，ab＝20，请求出阴影部分的面积．
【分析】（1）图2大正方形的面积通过两种不同的方法计算，即可解答；
（2）利用（1）的结论，进行计算即可解答；
（3）根据题意可得阴影部分的面积＝△BCD的面积+正方形ECGF的面积﹣△BGF的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）图2大正方形的面积＝（a+b+c）2，
图2大正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）由（1）可得：
ab+bc+ac＝[（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2）]
∵a+b+c＝10，a2+b2+c2＝38，
∴ab+bc+ac＝×（102﹣38）
＝×62
＝31；
（3）∵a+b＝10，ab＝20，
∴阴影部分的面积＝a2+b2﹣b（a+b）
＝a2+b2﹣ab﹣b2
＝a2+b2﹣ab
＝（a2+b2）﹣ab
＝[（a+b）2﹣2ab]﹣ab
＝×（102﹣2×20）﹣×20
＝×60﹣10
＝30﹣10
＝20．
【点评】本题考查了因式分解的应用，多项式乘多项式，完全平方公式的几何背景，完全平方式，熟练掌握因式分解是解题的关键．
24．今年除夕夜长江两岸的灯光秀璀璨夺目，照亮山城的山水桥梁城市楼阁，人民欢欣鼓舞．观看表演的小语同学发现两岸的灯光运动是有规律的，如图1所示，灯A射出的光线从AQ开始顺时针旋转至AP便立即回转，灯B射出的光线从BM开始顺时针旋转至BN便立即回转，两灯不停旋转．
假设长江两岸是平行的，即PQ∥MN，点A在PQ上，B、C、D在MN上，连接AB、AC、AD，已知AC平分∠BAP，AD平分∠CAP．
（1）如图1，若∠ABD＝40°，则∠CAQ＝　110°　；
（2）如图2，在PQ上另有一点E，连接CE交AD于点F，点G在MN上，连接AG，若∠CAG＝∠CAE，∠EFD+∠DAG＝180°，试证明：EC∥AB．
（3）如图3，已知灯A射出的光线旋转的速度是每秒10°，灯B射出的光线旋转的速度是每秒30°，若灯B射出的光线从BM出发先转动2秒，灯A射出的光线才从AQ出发开始转动，设灯A转动的时间为t秒，在转动过程中，当0≤t≤12时，请直接写出灯A射出的光线与灯B射出的光线相交且互相垂直时的时间t的值．
【分析】（1）根据两直线平行内错角相等，得出∠QAB＝∠ABD＝40°，再根据平角的定义，得出∠BAP＝140°，再根据角平分线的定义，得出∠BAC＝70°，再根据角之间的数量关系，计算即可得出答案；
（2）根据角平分线的定义，得出∠CAE＝2∠CAF，进而得出，再根据对顶角相等和三角形的内角和定理，得出∠EFD＝∠AFC，∠AFC+∠ACE+∠CAF＝180°，进而得出，再根据等量代换，得出∠ACE＝∠CAE，即∠ACE＝∠CAP，再根据角平分线的定义，得出∠CAP＝∠CAB，再根据等量代换，得出∠ACE＝∠CAB，再根据内错角相等两直线平行，即可得出结论；
（3）根据题意，分三种情况：当0≤t≤4时、当4＜t≤10时、当10＜t≤12时，分别画出图形，根据角之间的数量关系，列出方程进行计算即可．
【解答】解：（1）∵PQ∥MN，∠ABD＝40°，
∴∠QAB＝∠ABD＝40°，
∴∠BAP＝180°﹣∠QAB＝180°﹣40°＝140°，
∵AC平分∠BAP，
∴，
∴∠CAQ＝∠BAC+∠QAB＝70°+40°＝110°；
故答案为：110°；
（2）∵AD平分∠CAP，
∴∠CAE＝2∠CAF，
∵，
∴，
∵∠EFD＝∠AFC，∠AFC+∠ACE+∠CAF＝180°，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴3∠CAF＝∠ACE+∠CAF，即∠ACE＝2∠CAF，
∴∠ACE＝∠CAE，即∠ACE＝∠CAP，
∵AC平分∠BAP，
∴∠CAP＝∠CAB，
∴∠ACE＝∠CAB，
∴EC∥AB；
（3）当0≤t≤4时，如下图，
∵∠M'AC＝10°t，∠MBM'＝30°（2+t），
∵AQ'⊥BM'，
∴∠BM'A＝90°﹣10°t，
∵PQ∥MN，
∴∠MBM'+∠AM'B＝180°，
即30°（2+t）+（90°﹣10°t）＝180°，
解得：；
当4＜t≤10时，如下图，
∵∠N'AC＝10°t，
∵AQ'⊥BN'，
∴∠BN'A＝90°﹣10°t，
∵∠NBN'＝30°（t﹣4），
∴90°﹣10°t＝30°（t﹣4），
解得：；
当10＜t≤12时，如下图，
∵∠MBM'＝30（t﹣10），AQ'⊥BM'，
∴∠AQ'M＝90+30（t﹣10），
∵∠QAQ'＝10t，PQ∥MN，
∴90+30（t﹣10）＝10t，
解得：，
在图形的左边垂直，10t+20t﹣120+30（t﹣10）＝90，
综上所述，t的值秒或秒或秒．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质、对顶角相等、三角形的内角和定理、一元一次方程的应用，解本题的关键在充分利用数形结合和分类讨论思想进行解答．
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