2023年广东省汕头市龙湖区林百欣中学中考数学二模试卷(含解析）

2023年广东省汕头市龙湖区林百欣中学中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 抛物线的顶点坐标和开口方向分别是( )
A. ，开口向上 B. ，开口向下
C. ，开口向上 D. ，开口向下
3. 如图，已知是的直径，是上的点，，则的半径等于( )
A.
B.
C.
D.
4. 在下列条件中，能够判定 为矩形的是( )
A. B. C. D.
5. 若某反比例函数经过点，则这个反比例函数的解析式为( )
A. B. C. D.
6. 如图，现有一圆心角为，半径为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面接缝忽略不计，则该圆锥底面圆的半径为( )
A. B. C. D.
7. 在同一平面直角坐标系中，函数与为常数且的图象大致是( )
A. B. C. D.
8. 将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，平移后的抛物线与轴交于、两点，顶点是点，连接、，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
9. 因式分解：______．
10. 清代袁枚的一首诗苔中的诗句：“白日不到处，青春恰自来苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为______ ．
11. 一种产品年的产量是万件，计划年产量达到万件假设年到年这种产品产量的年增长率相同则年到年这种产品产量的年增长率为 ．
12. 如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点，与轴、轴分别交于、两点，点坐标为，与交于点，，则圆中阴影部分的面积为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
14. 本小题分
保护环境，人人有责，某校为培养学生“垃圾分类，从我做起”的环保意识，组织开展“游戏互动”、“趣味问答”、“模拟投放”三项活动分别以、、来依次表示这三项活动活动开始前，将，，这三个字母分别写在三张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，小南同学先从中随机抽取一张卡片放回后洗匀，小晶同学从中再随机抽取一张卡片．
求小南抽到参加“趣味问答”活动的概率；
用列表法或画树状图法，求小南和小晶都抽到参加“趣味问答”活动的概率．
15. 本小题分
如图，，，，．
求证：≌；
．
16. 本小题分
如图，在中，为的直径，直线与相切于点，割线于点且交于点，连接．
求证：平分；
求证：．
17. 本小题分
在中，，，是的角平分线．
如图，点、分别是线段、上的点，且，与的延长线交于点，则与的数量关系是 ，位置关系是 ；
如图，点、分别在和的延长线上，且，的延长线交于点．
中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明：如果不成立，请说明理由；
连接，若，，求的长．
18. 本小题分
如图，已知抛物线经过点、，与轴交于点．
求抛物线的解析式；
若点为该抛物线上一点，且点的横坐标为．
当点在直线下方时，过点作轴，交直线于点，作轴交直线于点，求的最大值；
若，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：实数的相反数是，
故选：．
根据相反数的意义，即可解答．
本题考查了实数的性质，相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的顶点式，二次函数的性质，根据，时图象开口向上，时图象开口向下，顶点坐标是进行作答即可．
【解答】
解：由，得
开口方向向上，
顶点坐标．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：是的直径，
，
，
，
，
的半径等于．
故选C．
由是的直径，是上的点，，可得，即可求得的长，继而求得答案．
此题考查了圆周角定理以及三角函数的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
4.【答案】
【解析】解：、 中，，不能判定 是矩形，故选项A不符合题意；
B、 中，，
是菱形，故选项B不符合题意；
C、 中，，
是菱形，故选项C不符合题意；
D、 中，，
是矩形，故选项D符合题意；
故选：．
由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：设反比例函数的解析式为，
反比例函数经过点，
，
，
这个反比例函数的解析式为．
故选：．
用待定系数法求反比例函数的解析式，设出含有待定系数的反比例函数解析式是为常数，，把点代入，即可求出的值．
本题考查用待定系数法求反比例函数的解析式，关键是掌握求反比例函数的解析式的方法：待定系数法．
6.【答案】
【解析】解：弧长：，
圆锥底面圆的半径：．
故选：．
本题考查了圆锥的有关计算，圆锥的表面是由一个曲面和一个圆面围成的，圆锥的侧面展开在平面上，是一个扇形，计算圆锥侧面积时，通过求侧面展开图面积求得，侧面积公式是底面周长与母线乘积的一半，先求扇形的弧长，再求圆锥底面圆的半径，弧长：，圆锥底面圆的半径：．
本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：
圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：当时，则，一次函数图象经过第一、二、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，所以选项正确，选项错误；
当时，一次函数图象经过第一、二，四象限，所以、选项错误．
故选：．
根据一次函数和反比例函数的性质即可判断．
本题考查了反比例函数图象：反比例函数为双曲线，当时，图象分布在第一、三象限；当时，图象分布在第二、四象限．也考查了一次函数图象．
8.【答案】
【解析】解：抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，
平移后的解析式为，
顶点的坐标为，
令，得，
解得：或，
点，，
，
，
故选：．
先求得平移后的抛物线解析式，然后求得点、、的坐标，进而求得的值．
本题考查了二次函数的平移变换，二次函数图象上点的特征，解直角三角形解题的关键是能够求得平移后的函数解析式．
9.【答案】
【解析】解：原式
，
故答案为：．
先提公因式，再利用平方差公式即可．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．
10.【答案】
【解析】绝对值小于的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
解：．
故答案为：．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
11.【答案】
【解析】解：设年到年这种产品产量的年增长率为，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去，
年到年这种产品产量的年增长率为．
故答案为：．
设年到年这种产品产量的年增长率为，利用计划年的产量年的产量年到年这种产品产量的年增长率，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：连接，
，
是直径，
根据同弧对的圆周角相等得，
，
，，即圆的半径为，
．
故答案为：．
连接，根据可知是直径，再由圆周角定理求出，由锐角三角函数的定义得出及的长，根据即可得出结论．
本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
13.【答案】解：原式
，
当时，原式．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14.【答案】解依题意知抽到参加“趣味问答”的概率为；
树状图如下：
共有种等可能的结果，其中小南和小晶都抽到参加“趣味问答”活动的结果有种，
小南和小晶都抽到参加“趣味问答”活动的概率为．
【解析】直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小南和小晶都抽到参加“趣味问答”活动的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查了用树状图法求概率．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
15.【答案】证明：，，
，
，
即，
在和中，
，
≌；
证明：如图，与相交于点，与相交于点，
由知，≌，
，
，，
，
，
．
【解析】由垂直的定义得到，即得出，即可利用证明≌；
由得到，由，推出，可得，即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
16.【答案】证明：连接，如右图所示，
直线与相切于点，，
，
，
，
，
，
，
平分；
证明：连接，，如右图所示，
，垂足为，是的直径，
，
，，
，
∽，
，
，
由知，平分，
，
，
．
【解析】连接，然后根据切线的性质和平行线的性质，可以得到，再根据，可以得到，从而可以得到，结论得证；
根据相似三角形的判定和性质，可以得到，再根据等弧所对的弦相等，即可证明结论成立．
本题考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、角平分线的定义、平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
17.【答案】
【解析】解：，，是的角平分线，
是等腰直角三角形，，，
，，
，是等腰直角三角形，
，
在，中，
，
≌，
，
又，
，
即，
故答案为：，；
同可得≌
，
，
，
；
如图，过点作，，垂足分别为，，
，，，
≌，
，
平分，
，则是等腰直角三角形，
，
，
在中，，
．
证明≌，根据全等三角形的性质得出，，根据得出，进而得出；
根据的方法证明≌，进而得出结论；
过点作，，垂足分别为，，证明≌得出，则平分，得出是等腰直角三角形，勾股定理得出，进而在中，勾股定理求得，即可求解．
本题考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
18.【答案】解：抛物线经过点、，与轴交于点．
，
解得：，
抛物线的解析式为；
在中，令，得，
，
设直线解析式，、，
，
解得：，
直线解析式，
，，
，
，
点为该抛物线上一点，且点的横坐标为，
，
轴，轴，
，，，
，
，
，
，
当时，的最大值；
作点关于轴的对称点，连接，过点作交于，过点作轴于，
，
，
，，
，，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，，
，
，
设直线解析式为，
则：，解得：，
直线解析式为，
联立方程组：，解得：舍去，；
．
【解析】把点、的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
运用待定系数法求得直线解析式，应用平行线性质及三角函数定义可求得，再根据点的横坐标为，表示出，运用二次函数最值即可得到答案；
作点关于轴的对称点，连接，过点作交于，过点作轴于，通过构造等角，运用三角函数定义求得点坐标，再应用待定系数法求得直线解析式，联立方程组求解即可求得点的坐标，即可求得．
本题是一道二次函数的综合运用的试题，考查了运用待定系数法求函数的解析式．直角三角形的性质，三角函数定义的应用，函数的最值，二次函数顶点式的运用，解题关键是正确添加辅助线构造全等三角形或相似三角形或等角．
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2023年广东省汕头市龙湖区林百欣中学中考数学二模试卷(含解析）