2023年吉林省长春市榆树市拉林河片中考九校联考第二次模拟考试数学试题（含答案）

2023中考第二次模拟考试
榆树市拉林河片九校联考数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）﹣6的相反数是（　　）
A．﹣6 B．﹣ C． D．6
2．（3分）北京时间2022年4月16日9时56分，近地点高度约384 000米的神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，圆满完成任务．384 000这个数用科学记数法表示为（　　）
A．384×103 B．0.384×105 C．38.4×104 D．3.84×105
3．（3分）一个正方体的每个面都写有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中，和“欢”相对的字是（　　）
A．英 B．雄 C．凯 D．旋
4．（3分）某厂家去年八月份的口罩产量是50万个，十月份的口罩产量是72万个．若设该厂家八月份到十月份的口罩产量的月平均增长率为x，则下面所列方程正确的是（　　）
A．50（1+x）2＝72 B．50（1﹣x）2＝72
C．50（1+x2）＝72 D．50（1﹣x2）＝72
5．（3分）在平面直角坐标系中，已知A（2，1），现将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，则A1的坐标是（　　）
A．（﹣1，2） B．（2，﹣1） C．（1，﹣2） D．（﹣2，1）
6．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CMD的大小为（　　）
A．60° B．45° C．30° D．15°
6题 7题 8题
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，大于BC的长为半径画圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，交BC于点D；③以点D为圆心，DC的长为半径画圆弧，交AB于点E，连结CE，则BE的长为（　　）
A．1.8 B．2.4 C．3.2 D．4.8
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（m﹣2，y1），B（m，y2）都在二次函数y＝（x﹣1）2+n的图象上．若y1＞y2，则m的取值范围是（　　）
A．m＜1 B．m＞1 C．m＜2 D．m＞2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x＝　 　．
10．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以是　 　（写出一个即可）．
11．（3分）正八边形一个外角的大小为 　 　度．
12．（3分）七巧板起源于我国先秦时期，19世纪传到国外，被称为“唐图”．图①是边长为4的正方形“唐图”，图②是小新同学将其分割制作的七巧板拼摆而成的“奔跑者”图，则图②中头部小正方形的面积为 　 　．
12题 13题 14题
13．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O．若⊙O的周长为12π，则该正六边形的边长是 　 　．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的负半轴上，抛物线y＝a（x+2）2+c（a＞0）的顶点为E，且经过点A、B．若△ABE为等腰直角三角形，则a的值是 　 　．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：（x+1）（x+3）+（x﹣2）2，其中．
16．（6分）有两个不透明的布袋A、B，分别装有3个小球，布袋A中的小球分别标有数字﹣1，0，2，布袋B中的小球分别标有数字﹣2，1，1，它们除数字不同外其他均相同．从布袋A、B中各随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求摸出的两个小球的数字之和是正数的概率．
17．（6分）2022北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱.2021年十二月，奥林匹克官方旗舰店上架了“冰墩墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具，当月销售“冰墩墩”的数量是“雪容融”的2倍，其中“冰墩墩”的销售单价比“雪容融”多40元，“雪容融”的销售总额是8000元，“冰墩墩”的销售总额是24000元，求“雪容融”的销售单价．
18．（7分）2022年是中国共产主义青年团建团100周年，某校举办了一次关于共青团知识的竞赛，七、八年级各有300名学生参加了本次活动，为了解两个年级的答题情况，从这两个年级各随机抽取了20名学生的成绩（单位：分）进行调查分析．下面给出了部分信息：
a．七年级学生的成绩整理如下：
57 69 72 75 76 78 79 80 81 81
83 83 83 85 86 86 88 88 92 96
b．八年级学生成绩的频数分布直方图如图．
（数据分成四组：60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100），其中成绩在80≤x＜90的数据如下：
80 82 83 85 85 85 87 88 88 89
c．两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 80.9 82 m
八年级 81.2 n 85
根据所给信息，解答下列问题：
（1）m＝　 　；n＝　 　．
（2）根据统计数据，你认为七、八两个年级哪个年级的成绩更好些，请说明理由．（至少从一个角度进行说明）
（3）成绩达到85分及以上为优秀，估计参加本次活动的七年级和八年级学生中，此次测试成绩达到优秀的总人数．
19．（7分）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按照要求作图（保留作图痕迹）．
（1）在图①中作△ABC的中线BD．
（2）在图②中作△ABC的高BE．
（3）在图③中作△ABC的角平分线BF．
20．（7分）3月23日下午，“天宫课堂”第二课如约举行，某校组织师生全员观看．为了解同学们对“天宫课堂”讲授知识的掌握情况，学生会组织了线上知识测试．现从初中三个年级各随机抽取10人的成绩（单位：分）进行了整理、描述和分析．下面给出了相关信息．
a.30名同学“天宫课堂”知识测试成绩的统计图如下．
b.30名同学“天宫课堂”知识测试成绩的频数分布直方图如下．（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）
c．测试成绩在70≤x＜80这一组的是70，73，74，74，75，75，77，78．
d．小夏同学的“天宫课堂”知识测试成绩为88分．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）小夏同学的测试成绩在抽取的30名同学的成绩中从高到低排名第 　 　．
（2）抽取的30名同学的成绩的中位数为 　 　．
（3）序号为1～10的学生是七年级的，序号为11～20的学生是八年级的，序号为21～30的学生是九年级的．若七年级学生成绩的方差记为s12，九年级学生成绩的方差记为s22，则s12　 　s22.（填“＞”、“＝”或“＜”）
（4）成绩80分及以上记为优秀，该校初中三个年级720名同学都参加测试，估计成绩优秀的同学约为 　 　人．
21．（8分）缂丝，是中国传统丝绸艺术品中的精华．缂丝织造技艺主要是使用古老的木机（如图①）及若干竹制的梭子和拨子，经过“通经断纬”的织造方法，将五彩的蚕丝线缂织成一幅色彩丰富的织物．缂丝工匠现要完成一件织品，工作一段时间后，记录了工作时间和织品长度的数据变化，并从函数角度进行了如下实验探究．
【数据观察】记录的工作时间x（时）和织品长度y（厘米）的数据变化，如下表：
工作时间x（时） 0 2 4 6 8
织品长度y（厘米） 3 3.6 4.2 4.8 5.4
【探索发现】（1）建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示记录的工作时间x，纵轴表示织品长度y，描出以表格中数据为坐标的各点．
（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．
【结论应用】（1）记录的工作时间达到5小时，求织品的长度．
（2）如果每天工作10小时，要完成长为240厘米的织品，共需要多少天？
22．（9分）如图，AD是△ABC的中线，点E是AD上一点，过点E作AC的平行线，过点B作AD的平行线，两平行线交于点F，连结AF．
【方法感知】如图①，当点E与点D重合时，易证：△AEC≌△FBE．（不需证明）
【探究证明】如图②，当点E与点D不重合时，求证：四边形ACEF是平行四边形．
小新同学受到【方法感知】中的启发，经过思考后延长CE交BF于点M．
请完成小新同学的证明过程．
【结论应用】如图③，当CA⊥AB，∠ABC＝30°时，CE的延长线交AB于点N，且点N为AB中点．
（1）＝　 　．
（2）当AC＝2时，BF的长为 　 　．
23．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2．点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿AB﹣BA运动，到点A停止．在点P运动的同时，点Q从点A出发以每秒1个单位的速度沿AD﹣DC运动．当点P回到点A停止时，点Q也随之停止运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）用含t的代数式表示线段AP的长．
（2）以PQ为边作矩形PQMN，使点M与点A在PQ所在直线的两侧，且PQ＝2MQ．
①当点Q在边AD上，且点M落在CD上时，求t的值．
②当点M在矩形ABCD内部时，直接写出t的取值范围．
（3）点E在边AB上，且AE＝2，在线段PQ上只存在一点F，使∠AFE＝90°，直接写出t的取值范围．
24．（12分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0）．
（1）此二次函数的图象与y轴的交点的纵坐标为 　 　．
（2）求此二次函数的关系式．
（3）当﹣2≤x≤3时，求二次函数y＝ax2+bx+2的最大值和最小值．
（4）点P为二次函数y＝ax2+bx+2（﹣3＜x＜）图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为﹣2m﹣4．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．直接写出线段PQ与二次函数y＝ax2+bx+2（﹣3＜x＜）的图象只有1个公共点时，m的取值范围．
数学参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1． D．2． D．3． C．4． A．5． A．6．C．7． C．8． C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．． 10． 0． 11． 45． 12． 2． 13． 6． 14． ．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）
解：原式＝x2+3x+x+3+x2﹣4x+4
＝2x2+7，
当x＝时，
原式＝2×（）2+7
＝2×5+7
＝10+7
＝17．
16．（6分）
解：列表如下：
﹣1 0 2
﹣2 ﹣3 ﹣2 0
1 0 1 3
1 0 1 3
由表知，共有9种等可能结果，其中摸出的两个小球的数字之和是正数的有4种结果，
所以摸出的两个小球的数字之和是正数的概率为．
17．（6分）
解：设“雪容融”的销售单价为x元，
根据题意，得，
解得x＝80，
经检验，x＝80是原方程的根，且符合题意，
答：“雪容融”的销售单价是80元．
18．（7分）
解：（1）根据七年级的成绩可知，83分出现次数最多，故m＝83；
由题意知，八年级学生的成绩中第10、第11位分别是80分，82分，
∴n＝＝81，
故答案为：83；81；
（2）八年级的成绩更好些，理由：
八年级的成绩的平均数和众数高于七年级；
（3）由题意知，七年级成绩优秀的人数占比为，八年级成绩优秀的人数占比为，
∴估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数为300×+300×＝225（人）．
答：估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数约为225人．
19．（7分）
解：（1）如图①中，线段BD即为所求；
（2）如图②中，线段BE即为所求；
（3）如图③中，线段BF即为所求．
20．（7分）
解：（1）由频数分布直方图可知，成绩在80≤x＜90的有7人，成绩在90≤x＜100的有3人，结合70≤x＜80这组的数据可得，
成绩为78分处在第11名，
故答案为：11；
（2）将这30名学生的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是74分，因此中位数是74分，
故答案为：74；
（3）从图1中，1～10号，11～20号学生成绩分布的离散程度可以直观看出，1～10号学生的成绩分布的离散程度较小，比较整齐，即它的方差较小，
因此九年级的方差s12较小，
故答案为：＜；
（4）720×＝240（名），
故答案为：240．
21．（8分）
解：【探索发现】
（1）描出以表格中数据为坐标的各点，如图：
（2）上述各点在同一条直线上，设这条直线所对应的函数表达式为y＝kx+b，
将（0，3），（2，3.6）代入得：
，
解得，
∴这条直线所对应的函数表达式为y＝0.3x+3；
【结论应用】
（1）当x＝5时，y＝0.3×5+3＝4.5，
答：织品的长度是4.5厘米；
（2）当y＝240时，0.3x+3＝240，
解得x＝790，
∴要完成长为240厘米的织品，需要790÷10＝79（天），
答：要完成长为240厘米的织品，需要79天．
22．（9分）
证明：如图②，延长CE交BF于点M．
∵D是BC的中点，AD∥BF，
∴CE＝EM，∠AEC＝∠FME，
∵AC∥EF，
∴∠ACE＝∠FEM，
在△AEC和△FME中，
，
∴△AEC≌△FME（ASA），
∴AC＝EF，
∵AC∥EF，
∴四边形ACEF是平行四边形；
【结论应用】解：（1）如图③中，连接DN．
∵BD＝DC，BN＝AN，
∴DN∥AC，DN＝AC，
∴NE：EC＝DN：AC＝1：2，
∵四边形ACEF是平行四边形，
∴AF＝EC，
∴NG：GA＝NE：AF＝NE：EC＝1：2，
故答案为：；
（2）如图③﹣1中，连接DN，延长CN交EB于点M．
在Rt△ABC中，AC＝2，∠ABC＝30°，
∴BC＝2AC＝4，
∵BD＝CD，
∴AD＝BC＝2，
∵DN∥AC，
∴DE：EA＝DN：AC＝1：2，
∴DE＝，AE＝，
∵DE∥BM，BD＝DC，
∴CE＝EM，
∴BM＝2DE＝，
∵△ACE≌△FEM，
∴FM＝AE＝，
∴F＝BM+FM＝．
故答案为：．
23．（10分）
解：（1）∵点P从点A出发以每秒2个单位的速度运动，
∴当点P与点B重合时，则2t＝6，解得t＝3；
当点P返回到点A时，则2t＝6×2，解得t＝6，
当0＜t≤3时，AP＝2t，
当3＜t＜6时，AP＝12﹣2t．
（2）①点Q在边AD上，且点M落在CD上，如图1，
∵四边形ABCD和四边形PQMN都是矩形，DQ＝2﹣t，PQ＝2M，
∴∠D＝∠A＝∠PQM＝90°，
∴∠DQM＝∠APQ＝90°﹣∠AQP，
∴△DQM∽△APQ，
∴＝＝＝，，
∴DQ＝AP，
∴2﹣t＝×2t，
解得t＝1.
②当0＜t≤2时，如图1，由①得，当点M在矩形ABCD内部时，0＜t＜1，
当2＜t≤3时，如图2，此时点M不在矩形ABCD内部，
当3＜t≤6时，如图3，点M在CD上，则t﹣2＝12﹣2t，解得t＝；
如图4，点P与点A重合，则t＝6，QD＝6﹣2＝4，
作MG⊥CD于点G，则∠QGM＝∠D＝∠AQM＝90°，
∴∠MQG＝∠QAD＝90°﹣∠AQD，
∴△MQG∽△QAD，
∴＝＝，
∴MG＝QD＝×4＝2，
∴点M恰好落在AB边上，
∴当点M在矩形ABCD内部时，＜t＜6，
综上所述，当点M在矩形ABCD内部时，0＜t＜1或＜t＜6．
（3）以AE为直径作⊙O，则点Q在⊙O外，
当0＜t≤2时，如图5，点P在⊙内或点P与点E重合，则线段PQ上只存在一点F，使∠AFE＝90°，
∴0＜2t≤2，解得0＜t≤1；
如图6，PQ与⊙O相切于F，此时线段PQ上只存在一点F，使∠AFE＝90°，
连接OF，则PQ⊥OF，OF＝OA＝OE＝1，
∵∠BAD＝90°，AQ＝t，AP＝2t，
∴PQ＝＝＝t，
∵∠OFP＝90°，
∴＝＝tan∠APQ＝＝，
∴OP＝OF，
∴2t﹣1＝，
解得t＝，
当2＜t≤3时，如图2，PQ与⊙O没有公共点，此时线段PQ上不存在一点F，使∠AFE＝90°；
当3＜t≤6时，如图7，点P在⊙O内或点P与点A重合，则线段PQ上只存在一点F，使∠AFE＝90°，
∴0≤12﹣2t＜2，解得5＜t≤6，
综上所述，t的取值范围是0＜t≤1或t＝或5＜t≤6．
24．（12分）
解：（1）在y＝ax2+bx+2中，令x＝0得y＝2，
∴二次函数的图象与y轴的交点的纵坐标为2，
故答案为：2；
（2）将A（﹣3，0）和B（1，0）代入y＝ax2+bx+2得：
，解得，
∴二次函数的关系式为y＝﹣x2﹣x+2；
（3）∵y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+1）2+，
∴抛物线顶点为：（﹣1，），对称轴为直线x＝﹣1，
∵﹣2＜﹣1＜3，且﹣1＜0，
∴当﹣2≤x≤3时，二次函数y＝﹣x2﹣x+2在x＝﹣1时取得最大值，最大值是，
而|﹣2﹣（﹣1）|＜|3﹣（﹣1）|，
∴x＝3时，二次函数y＝﹣x2﹣x+2在x＝3时取得最小值，最小值是﹣8，
∴当﹣2≤x≤3时，二次函数y＝﹣x2﹣x+2最大值是，最小值是﹣8，
（4）PQ＝|﹣2m﹣4﹣m|＝|﹣3m﹣4|，
当﹣3m﹣4＞0时，PQ＝﹣3m﹣4，PQ的长度随m的增大而减小，
当﹣3m﹣4＜0时，PQ＝3m+4，PQ的长度随m增大而增大，
∴﹣3m﹣4＞0满足题意，解得m＜﹣，
①P到对称轴直线x＝﹣1的距离为﹣1﹣m，当PQ＜2（﹣1﹣m）时，线段PQ与二次函数y＝ax2+bx+2（﹣3＜x＜）的图象只有1个公共点，如图：
∴﹣3m﹣4＜2（﹣1﹣m），
解得m＞﹣2，
∴﹣2＜m＜﹣，
②如图：
x＝时，y＝﹣x2﹣x+2＝，
在y＝﹣x2﹣x+2中，令y＝得﹣x2﹣x+2＝，
解得x＝或x＝﹣，
∴当﹣3＜m＜﹣时，线段PQ与二次函数y＝ax2+bx+2（﹣3＜x＜）的图象只有1个公共点．
综上所述，线段PQ与二次函数y＝ax2+bx+2（﹣3＜x＜）的图象只有1个公共点，m的范围是﹣2＜m＜﹣或﹣3＜m≤﹣．

2023年吉林省长春市榆树市拉林河片中考九校联考第二次模拟考试数学试题（含答案）