2023届山东省4月新高考联合模拟考试（济南二模）数学试题（含答案）

山东省新高考联合模拟考试
数学试题参考答案
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C C B A D B D
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
题号 9 10 11 12
答案 BC ACD ABD ABD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13． 3 ；14．240 ；15．(1，1) ，答案不唯一，只需满足横纵坐标相等即可；16． 3 ．
四、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．【解析】
（1）由题意及参考数据可得：
5 5 5
2 2
， 2 2x = 3 (x x)2 =10， ( xi 5x )( yi 5y ) 1564， i
i=1 i=1 i=1
5
xi yi 5xy =17081 3 6206 = 1537，
i=1
5
xi yi 5xy 1537
所以 r = i=1 0.98，
5 n
2 2 1564
( x 2i 5x )( y
2
i 5y )
i=1 i=1
因为 y 与 x 的相关系数近似为 0.98 ，说明 y 与 x 的线性相关程度相当高，从而
可以用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系.
5
xi yi 5xy
6206 i=1 1537（2）由 y = =1241.2及（1）得：b = = = 153.7，
5
5 22 10 xi 5x
i=1
a = y bx =1241.2 （ 153.7） 3=1702.3．
所以 y 关于 x 的回归方程为： y = 153.7x +1702.3．
- 1 -
将 2023 年对应的年份编号 x = 6 代入回归方程得： y = 153.7 6+1702.3= 780.1．
所以 我国 2023 年的新生儿数量约 780.1 万人．
18．【解析】
（1）因为 Sn = 2
n+1 2 ，所以 a nn = Sn Sn 1 = 2 ，n 2 ，
当 n =1时， a1 = S1 = 2 ，适合上式，所以 an = 2
n ．
所以 bn = log a = log 2
n
2 n 2 = n ．
（2）Tn = a1(b1 + b2 + + bn ) + a2 (b1 + b2 + + bn ) + + an (b1 + b2 + + bn )
= (a1 + a2 + + an )(b1 + b2 + + bn )
n2 + n
因为 Sn = 2
n+1 2 ，b1 + b2 + + bn =1+ 2 + + n = ，
2
2
所以 T = (2n+1
n + n
n 2)( ) = (2
n 1)(n2 + n)．
2
19．【解析】
（1）因为 三棱台 ABC DEF 是正三棱台，M 为棱 AB 的中点， AB = 2DE ．
所以 DE MB 且DE = MB，所以 四边形DMBE 为平行四边形，
所以 MD BE 且MD = BE ，同理 NF BE 且 NF = BE ；
所以 MD NF 且MD = NF ，所以 四边形DMNF 为平行四边形． z
取 AC 的中点为O，连接 AE，EC，OE，OB ， D F
E
因为 EA= EC，BA= BC ，
A C
所以 AC ⊥OB， AC ⊥OE ，又OB OE =O ， O y
M N
所以 直线 AC ⊥面 BOE ，又 BE 面 BOE ， B
x
所以 AC ⊥ BE ，又MN AC ，MD BE ，所以 MN ⊥ MD，
所以 四边形 DMNF 为矩形．
（2）以O为原点，OB，OC 所在直线分别为 x 轴， y 轴建立空间直角坐标系．
设正方形 DMNF 的边长为 1，则DE =1，AB = 2，BE =1．
， ， 3 1 6则 A(0 1 0)， B( 3，0，0) ，C(0，1，0)， D( ， ， ) ，
6 2 3
3 1 6
则 AC = (0，2，0) ， AD = ( ， ， )， BC = ( 3，1，0) ，
6 2 3
设平面 ACFD的法向量为n = (x，y，z)，
- 2 -
2y = 0
n AC = 0
由 ，得 3 1 6 ，令 z = 1，得n = (2 2，0， 1)，
n AD = 0 x + y + z = 0
6 2 3
| n BC | 2 6 6
设 BC 与平面 ACFD所成的角为 ，所以 sin = = = ，
| n || BC | 4 9 3
6
所以 直线 BC 与平面 ACDF 所成角的正弦值为 ．
3
C
20．【解析】
（1）延长CG 交 AB 于点 D ，因为 G 是△ABC 的重心，
1
则 D 为线段 AB 的中点，且DG = GC ，又 AG BG = 0，
2 G
1
所以 GA⊥GB ，因此 DG = DA = c ，GC = 2DG = c ，
2 A B
D
π 3
又因为 GAD = ，所以 AG = c ，在△AGC 中，记 CAG = ，
6 2
3
c
AG CG 2 c
由正弦定理 = ，即 = ，
sin ACG sin sin
sin
6
3 1 3
所以 sin = sin = cos sin ，即 cos = 2 3sin ，
2 6 2 2
sin 3 3
所以 tan = = ，即 tan CAG = ．
cos 6 6
3 AC2 + AB2 BC2 b2 + c2 a2
（2）由（1）可知CD = c ，在△ABC 中， cos BAC = = ，
2 2 AC AB 2bc
2
c 9c2
+ b2
AD2 + AC2 DC2 b2 2c2
在△ACD中， cos DAC = = 4 4 = ，
2 AD AC c bc
2 b
2
b2 + c2 a2 b2 2c2
所以 = ，整理得 a2 + b2 = 5c2 ，
2bc bc
a2 + b2 c2 2(a2 + b2 )在 ABC 中， 4cos ACB = = ，
2ab 5ab 5
当且仅当 a = b时，等号成立；
又 ACB (0，π)，所以 cos ACB 1，
4
综上 cos ACB 的取值范围为[ ，1)．
5
- 3 -
21．【解析】
2a = 4 x2
（1）由题意可知 ，解得 ；所以 椭圆 的方程为 + y2 a = 2，b =1 E =1．
ab = 2 4
（2）由（1）可知 A(2，0)，B(0，1)，则直线 AB 的方程为 x + 2y 2 = 0，
x
设M (x ，y PQ ⊥ x 11 1)，N(x2 ，y2 )，因为 轴，所以 P(x1 ，1 )，
2
因为 P 为线段QM 的中点，所以 Q(x1 ，2 x1 y1) ，
y 2 x y y y
又因为 A，Q，N
2 1 1 1 2
三点共线，所以 = ，即 + = 1．
x2 2 x1 2 x1 2 x2 2
x2
设直线MN : y = kx +m ，代入 + y2 =1并整理得：
4
8km 4m2 4
(4k 2 +1)x2 + 8kmx + 4m2 4 = 0， 则 x1 + x2 = ，x1x2 = ；
4k 2 +1 4k 2 +1
y1 y2 kx1 + m kx2 + m 2kx1x2 + (m 2k)(x1 + x+ = + = 2
) 4m
所以
x1 2 x2 2 x1 2 x2 2 x1x2 2(x1 + x2 ) + 4
4m2 4 8km
2k + (m 2k) 4m
4k 2 +1 4k 2 +1 1= = = 1，所以 m =1 2k ，
4m2 4 8km 2k + m
2 + 4
4k 2 +1 4k 2 +1
所以 直线MN 的方程为： y = kx +1 2k = k(x 2) +1，
故直线MN 过定点 (2，1) ．
22．【解析】
ln x x 2x ln x 1 2ln x
（1）当 a = 0时， f (x) = ， x [1，e]． f (x) = = ，
x2 x4 x3
令 f (x) = 0，得 x = e ．当 x (1， e)时， f (x) 0， f (x) 单调递增；
当 x ( e ，e]时， f (x) 0， f (x) 单调递减.
1 1
因为 f (1) = 0， f ( e) = ， f (e) = ，
2e e2
1
所以 f (x) 的值域为[0， ] ．
2e
1 2 a(x a) 2(x a) ln x 1 2ln x
（2） f (x) = x = x ，
(x a)4 (x a)3
a
f (x) 的极值点等价于 f (x)的变号零点．设 g(x) =1 2ln x．
x
①若 a 0， f (x) 的定义域为 3(0，+ ) ， (x a) 0 ．
- 4 -
显然 g(x)在 x (0，+ )上单调递减；
a
因为 g(1) =1 a 0， g(e a) =1 2ln(e a) 0 ，
e a
所以 存在唯一的 x (1，e a) ，使得0 g(x ，即 0 ) = 0 f (x0 ) = 0，
当 x (0，x ) 时， f (x) 0，当0 x (x0 ，+ )时， f (x) 0；
所以 f (x) 存在唯一极大值点，符合题意．
②若 a 0， f (x) 定义域为 (0，a) (a，+ )
a a 2 a 2x
当 3x (a，+ ) 时， (x a) 0 ． g(x) =1 2ln x， g (x) = = 0，
x x2 x x2
所以 g(x)单调递减，注意到 g(a) = 2ln a．
（i） a 1时， g(a) 0，所以 g(x) 0 ，所以 f (x) 0，
所以 f (x) 在 x (a，+ ) 上无极值点；
（ii） a =1时， g(a) = 0，所以 g(x) 0 ，所以 f (x) 0，
所以 f (x) 在 x (a，+ ) 上无极值点；
（iii） 0 a 1时， g(a) 0， g(2) 0，
所以 存在唯一的 x1 (a，2)， g(x1) = 0 ，即 f (x ． 1) = 0
当 x (a，x )时，g(x) 0，1 f (x) 0，当 x (x1 ，+ )时，g(x) 0 ，f (x) 0；
所以 x = x 为 f (x) 在1 x (a,+ )的极大值点，
此时 f (x) 在 x (a，+ ) 有一个极值点．
当 3x (0，a)时， (x a) 0 .
a a 2 a 2x a
g(x) =1 2ln x， g (x) = = ，令 g (x) = 0，得 x = ．
x x2 x x2 2
a
当 x (0， ) 时， g (x) 0， g(x)单调递增；
2
a
当 x ( ，a)时， g (x) 0， g(x)单调递减．
2
a a 2
令 g( ) = 1 2ln = 0，得 a = ．
2 2 e
2 a
（i） a 1时，若 a (1， ) ， g( ) 0 ， g(a) = 2lna 0 ，
e 2
- 5 -
a2a 16 a
2 16 4
当 x (0， ) 时， g( ) =1 2ln 1 + 4 = 3 0，
2 16 a 16 a a2
16
a2 a a
所以 存在 x2 ( ， )， x3 ( ，a) ， g(x2 ) = g(x ． 3) = 0
16 2 2
当 x (0，x 时，2 ) g(x) 0 ， f (x) 0，
当 x (x ，x ) 时，2 3 g(x) 0， f (x) 0，
当 x (x ，a) 时，3 g(x) 0 ， f (x) 0；
所以 x = x 为 f (x) 的极大值点， x = x 为 f (x) 的极小值点； 2 3
此时 f (x) 在 (0，a) 上有两个极值点．
2 a
若 a ( ，+ )，则 g( ) 0， g(x) 0， f (x) 0，
e 2
此时 f (x) 在 (0，a) 上无极值点；
故 a 1不符合题意．
1 1
（ii）当 a =1时， g( ) 0， g( ) 0， g(1) = 0 ；
2 16
1 1
所以 存在唯一 x ( ， )，使得 g(x ) = 0 ， 4 4
16 2
当 x (0，x ) 时，4 g(x) 0 ， f (x) 0，
当 x (x4 ，1)时， g(x) 0， f (x) 0；
所以 x = x 为 f (x) 的极大值点；此时 f (x) 在4 (0，a) 有一个极值点，
故 a =1符合题意．
2
a a a
（iii）当 0 a 1时， g 0 ，g(a) = 2lna 0，当 x (0， ) 时，g( ) 0，
2 2 16
a2 a
所以 存在唯一 x5 ( ， )，使得 g(x5 ) = 0，
16 2
当 x (0，x ) 时，5 g(x) 0 ， f (x) 0，
当 x (x 时，5 ，a) g(x) 0， f (x) 0；
所以 x = x 为 f (x) 的极大值点； 5
此时 f (x) 在 x (0，a)有一个极值点，不合题意．
综上 a的取值范围为 a 0或 a =1．
- 6 -绝密★启用并使用完毕前
2023年4月山东省新高考联合模拟考试
数学试题
本试卷共4页，22题，全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在
本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1已知复数2=一立+，则十=
A.-1
B-司
c
D.1
2.已知集合A={(x,y)|y=x},B=(x,y)|！x|+1y|=1},则A∩B中元素的个数为
A.0
B.1
C.2
D.3
3.已知抛物线y2=2px（p>0)的焦点在圆x2十y2=4上，则该抛物线的焦点到准线的距离为
A.1
B.2
C.4
D.8
4.某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一
的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为
A.7.6
B.7.8
C.8
D.8.2
5.已知直线y=x一1与曲线y=e+a相切，则实数a的值为
A.-2
B.-1
C.0
D.2
6.17世纪30年代，意大利数学家卡瓦列利在《不可分量几何学》一书中介绍了利用平面图形旋
转计算球体体积的方法.如图，AEB是一个半圆，圆心为O,ABCD是
半圆的外切矩形.以直线OE为轴将该平面图形旋转一周，记△OCD,
阴影部分，半圆AEB所形成的几何体的体积分别为V1,V2,V3,则下列
说法正确的是
A.V1+V2<V3
B.V1+V2>V3
C.V>V2
D.V1=V2
高三数学试题第1页（共4页）
已知函数fz)三3十数列a,}满足a1=1,a+,=a,(a∈N+,fa,)+fa中
fa,）=0,则2。，=
i 1
A.0
B.1
C.675
D.2023
8.已知函数fx)=asin2x十6cos2x(ab≠0)的图象关于直线x=誓对称，则下列说法正
确的是
Af(x-)是偶函数
B.f(x)的最小正周期为2π
Cf(x)在区间[-行，]上单调递增
D.方程f(x)=2b在区间[0,2m]上有2个实根
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知实数a,b,c满足a>b>c,且a十b十c=0,则下列说法正确的是
1
B.a-c>26
C.a2>62
D:ab+bc>0
10.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示
事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件
“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则
A.乙发生的概率为2
B丙发生的概率为司
C.甲与丁相互独立
D.丙与丁互为对立事件
1.如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=号，E,F,G分别是线段AD,CD,BC的中点，将
△ABD沿直线BD折起得到三棱锥A一BCD,则在该三棱锥中，下列说法正确的是
A.直线EF∥平面ABC
B.直线BE与DG是异面直线
C.直线BE与DG可能垂直
D若EG-牙AB,则二面角A-BD-C的大小为号
12.若定义在[0,1]上的函数f(x)同时满足：①f(1)=1;②对x∈[0,1]，f(x)≥0成
立；③对Vx1,x2,x1+x2∈[0,1]，f(x1)十f(x2）≤f(x1十x2)成立；则称f(x)为“正
方和谐函数”.下列说法正确的是
A.f(x)=x2,x∈[0,1]是“正方和谐函数”
B.若f(x)为“正方和谐函数”，则f(0)=0
C.若f(x)为“正方和谐函数”，则f(x)在[0,1]上是增函数
D.若f(x)为“正方和谐函数”，则对Hx∈[0,1]，f(x)≤2x成立
高三数学试题第2页（共4页）

2023届山东省4月新高考联合模拟考试（济南二模）数学试题（含答案）