浙江省杭州重点中学2022-2023高二下学期期中联考数学试题（含答案）

绝密★考试结束前
杭州重点中学2022-2023学年高二下学期期中联考
数学学科试题
考生须知：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷密封区内填写班级 学号和姓名；座位号写在指定位置；
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题卷.
第Ⅰ卷
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数满足（其中为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ）
A. B. C.2 D.-2
2.向量，若，则实数（ ）
A.1 B.2 C.-1 D.-2
3.若二项式展开式中含有常数项，则的最小值为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
4.向量对应的点在曲线上，则（ ）
A. B. C. D.
5.某班需安排甲 乙 丙 丁四位同学到三个社区参加志愿活动，每位同学必须参加一个社区活动，每个社区至少有一位同学.由于交通原因，乙不能去社区，甲和乙不能同去一个社区，则不同的安排方法数为（ ）
A.14 B.20 C.24 D.36
6.设圆柱的体积为，当其表面积最小时，圆柱的母线长为（ ）
A. B. C. D.
7.已知，则的大小顺序为（ ）
A. B.
C. D.
8.已知函数，若存在两条不同的直线与函数和图象均相切，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.已知正项等比数列，其前项和为，且成等差数列，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A.导函数的单调递减区间为
B.的图象关于点中心对称
C.过原点只能作一条直线与的图象相切
D.恰有两个零点
11.已知椭圆的左右焦点分别为，圆内切于椭圆.过椭圆上不与顶点重合的点引圆的两条切线，切点分别为，点关于原点对称，则下列结论中正确的是（ ）
A.的最小值为
B.存在点，使得
C.若直线交椭圆于两点，线段的中点为，则的值为常数
D.若在轴上的射影是，直线交椭圆于另一点，则直线与不垂直
12.如图，在一广场两侧设置6只彩灯，现有4种不同颜色的彩灯可供选择，则下列结论正确的是（ ）
A.共有种不同方案
B.若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如1 4）也不同色，且4种颜色的彩灯均要使用，则共有186种不同方案
C.若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如1 4）也不同色，且只能使用3种颜色的彩灯，则共有192种不同方案
D.若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如1 4）也不同色，且只能使用2种颜色的彩灯，则共有12种不同方案
第II卷
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.设，则__________.（用数值作答）
14.正项数列满足.则数列的前项和__________.
15.甲乙两个盒子中分别装有大小 形状完全相同的三个小球，且均各自标号为1 2 3.分别从两个盒子中随机取一个球，用X表示两球上数字之积，X的方差为，则__________.
16.定义在上的函数满足：，则不等式的解集__________.
四 解答题：本题包括6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）数列满足：，等比数列的前项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，试证明.
18.（本题满分12分）如图，四棱锥中，底面.底面为等腰梯形，.
（1）求证：平面平面；
（2）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.
19.（本题满分12分）在锐角中，角的对边分别是，且__________.
在下列两个条件中选择一个补充在横线上：
①：②
（1）求出角的大小；
（2）若角的平分线交边于点，且，求的取值范围.
20.（本题满分12分）杭州亚运会最终确定延期至2023年9月23日至10月8日举行，某校就此热点举办了一场迎亚运知识竞赛，将100人的成绩整理成下表：
分数
男 女 男 女 男 女 男 女 男 女 男 女
频率/ 组距 0.007 0.003 0.009 0.006 0.018 0.007 0.028 0.007 0.009 0.001 0.003 0.002
（1）从不低于70分的学生中选出1人，如果他是男生，求该学生成绩在80分以上（含80分）的概率；
（2）已知某生成绩低于70分，设该生成绩为，求他的成绩的分布列与期望；
（3）假设M表示事件“学校举办亚运知识培训”，N表示事件“某学生对亚运知识产生兴趣”，，一般来说在学校举办亚运知识培训的情况下学生对亚运知识产生兴趣的概率会超过不举办培训的概率.证明：.
21.（本题满分12分）在直角坐标平面内，已知，动点满足条件：直线与直线的斜率之积等于，记动点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）过点作直线交于两点，直线与交点是否在一条定直线上？若是，求出这条直线的方程；若不是，说明理由.
22.（本题满分12分）已知函数，其中，若有两个零点，且.
（1）设为函数的一个极值点，求证：；
（2）求证：.
杭州重点中学2022-2023学年高二下学期期中联考
数学学科参考答案
一 选择题：每小题5分，共40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D A B B D A C
二 多项选择题：每小题5分，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分
题号 9 10 11 12
答案 AC BC BCD ACD
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.211 14. 15. 16.
四 解答题：本题包括6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.解：
（1），
也满足上式.公比.
（2）
18.解：
（1）作，垂足为，则由余弦定理，.又平面平面平面.
（2）由（1），可以点为坐标原点建系如图.
，，
设，平
面的法向量.
则
可取
则是中点，..
是中点，
同理可求平面的法向量，即平面的法向量..
，即为所求平面夹角的余弦值...
19.解：
（1）①，
②，故
可取，
则，
，故
（2）今，则
又
在上单调递增，
20.解：
（1）不低于70分的学生人数为.设从中选出1人是男生为事件，成绩在80分以上为事件，则
（2）的分布列为：
45 55 65
0.2 0.3 0.5
期望.
（3）由题意知，即，
即，即
即，即
即
21.解：
（1）设点，则，
依题意，得，化简得的方程为，.
（2）显然直线的斜率不为0，可设直线的方程为，.
当时，由解得若，
则的方程分别为，交点的坐标为.
若，同理可求得.
若交点在一条定直线上，则该直线只能为.
以下证明当改变时，直线与交点在点直线上.事实上，由
得，
当，即时，不合题意，所以，
记，则，
的方程分别为，要证明交点在一条定直线上，只需证明，即证，
即证，因为，
所以交点在定直线上.
解法二：（2）显然直线的斜率不为0，可设直线的方程为，
由得，当，
即时，不合题意，
所以，记，
则，
的方程分别为，
联立方程，消去得，
即，
代入，
解得，
因为，
所以，
所以交点在定直线上.
22.解：
（1）
若，则在上单调递增，最多只有一解，所以.
令，则，
解得，当递增，当递减，所以为函数唯一的极值点，
因为函数有两个零点，所以，即.
今，则在上单调递增，，
所以.
（2）当时，所以
今，在上单调递减，，
所以..
令，因为，
所以在上恒成立，所以.
令两根是，所以，
因为，所以.

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