第十七章：勾股定理练习题（含解析）2021-2022内蒙古八年级下学期人教版数学期末试题选编

第十七章：勾股定理 练习题
一、单选题
1．（2022春·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（　　）
A．25海里 B．30海里 C．35海里 D．40海里
2．（2022春·内蒙古锡林郭勒盟·八年级统考期末）已知直角三角形一个锐角，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（ ）
A． B．3 C． D．
3．（2022春·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期末）如图，四边形ABCD是边长为10的正方形，点E在正方形内，且，又，则阴影部分的面积是（ ）
A．76 B．24 C．48 D．88
4．（2022春·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）如图，分别以直角三边为边向外作三个正方形，其面积分别用表示，若，，那么（ ）
A．9 B．5 C．53 D．45
5．（2022春·内蒙古乌兰察布·八年级统考期末）以下列三个数据为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．4，5，6 C．5，12，13 D．5，6，7
6．（2022春·内蒙古呼和浩特·八年级统考期末）在中，若，，的对边分别是a，b，c，则下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C．（k为正整数） D．
7．（2022春·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末）如图，在一块地中，已知米，米，，米，米，则这块地的面积为（ ）
A．24平方米 B．26平方米 C．28平方米 D．30平方米
二、填空题
8．（2022春·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，AD=1，点P是AB边上一动点，连接PD、PC，则PD+PC的最小值是______．
9．（2022春·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期末）已知两条线段的长分别为cm、cm，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是_____．
10．（2022春·内蒙古乌兰察布·八年级统考期末）如图，从电杆离地面C处向地面拉一条长为8m的钢缆 AC，测得地面AB与钢缆AC的夹角为（），则电线杆C到底部 B的距离为_____________m.
11．（2022春·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末）如图在三角形纸片ABC中，已知，，，过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的点P处，折痕为MN，当点P在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动，若限定端点M、N分别在AB、AC边上移动，则线段AP长度的最小值为________．
12．（2022春·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）如图，在中，直角边，斜边，现将折叠，使点与点重合，折痕为，则________．
13．（2022春·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为 _______．
14．（2022春·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）如图，一棵大树在离地面9米高的B处断裂，树顶A落在离树底BC的12米处，则大树断裂之前的高度为_____米．
三、解答题
15．（2022春·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）如图，中，，，是边上一点，且，若．求的长．
16．（2022春·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形．如果我们新定义一种三角形——两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．
(1)根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？______（填“是”或“不是”）．
(2)若某三角形的三边长分别为1、、2，则该三角形是不是奇异三角形，请做出判断并写出判断依据．
(3)探究：在中，，，，，且，若是奇异三角形，求：；；．
17．（2022春·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）如图，某游泳池长48米，小方和小杨进行游泳比赛，从同一处（A点）出发，小方平均速度为3米/秒，小杨为3.1米/秒．但小杨一心想快，不看方向沿斜线（AC方向）游，而小方直游（AB方向），两人到达终点的位置相距14米．按各人的平均速度计算，谁先到达终点，为什么？
18．（2022春·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）如图是一块四边形绿地的示意图，其中，，，，．求此绿地的面积．
19．（2022春·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，AD是BC边上的中线，且AD=4，延长AD到点E，使DE=AD，连接CE．
(1)求证：△AEC是直角三角形．
(2)求BC边的长．
20．（2022春·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，米，米，米，米，
（1）求出空地ABCD的面积．
（2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？
参考答案：
1．D
【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了32，24．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．
【详解】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠BAC=90°，
两小时后，两艘船分别行驶了16×2=32海里，12×2=24海里，
根据勾股定理得：（海里）．
故选：D
【点睛】本题考查了勾股定理，方位角问题，解题的关键是熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．
2．D
【分析】根据直角三角形的性质：直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半求得30°所对的直角边，然后利用勾股定理求得另一条直角边，即可解答．
【详解】解：如图所示，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴此三角形的周长是．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理和含30°角的直角三角形，熟悉直角三角形的性质：直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半．熟练运用勾股定理是关键．
3．A
【分析】利用勾股定理求出AE，根据S阴影＝S正方形ABCD S△ABE计算即可．
【详解】解：由题意得：在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，AB＝10，BE＝8，
∴AE＝，
∴S阴影＝S正方形ABCD S△ABE＝10×10 ×8×6＝76，
故选：A．
【点睛】本题主要考查勾股定理，解题的关键是灵活运用知识解决问题，学会利用分割法求面积，属于中考常考题型．
4．A
【分析】根据勾股定理与正方形的性质解答．
【详解】解：在Rt△ABC中，AB2=BC2+AC2，
∵S1=AB2，S2=BC2，S3=AC2，
∴S1=S2+S3．
∵S2=7，S3=2，
∴S1=7+2=9．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
5．C
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定即可．
【详解】解：A、22+32≠42，故不能构成直角三角形；
B、42+52≠62，故不能构成直角三角形；
C、52+122＝132，故能构成直角三角形；
D、52+62≠72，故不能构成直角三角形．
故选C．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
6．D
【分析】能够满足一个角为90度或两边的平方和等于另外一个边的平方，即可证明是直角三角形，由此逐项分析即可．
【详解】解：选项A：由可得，能够判定是直角三角形，故选项不符合题意；
选项B：根据勾股定理的逆定理可知：能够判定是直角三角形，故选项不符合题意；
选项C：，k为正整数，∵，满足两边的平方和等于另外一个边的平方，故能判定是直角三角形，故选项不符合题意；
选项D：，∵，∴不能够判定是直角三角形，故选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形的判定，掌握直角三角形的一个角为90度以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
7．A
【分析】连接AC，利用勾股定理及其逆定理可以得出三角形ACD和ABC是直角三角形，△ABC的面积减去△ACD的面积就是所求的面积．
【详解】解：连接AC，
∵∠ADC=90°，AD=4，CD=3，
∴AC2=AD2+CD2=42+32=25，
又∵AC＞0，
∴AC=5，
又∵BC=12，AB=13，
∴AC2+BC2=52+122=169，
又∵AB2=169，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABC-S△ADC=30-6=24（平方米）．
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
8．
【分析】作点D关于AB的对称点E，连接AE，PE，则AD=AE=1，DP=EP，当E、P、C在同一直线上时，PE+PC的最小值等于线段CE的长，依据勾股定理即可得到PD+PC的最小值．
【详解】解：如图所示，作点D关于AB的对称点E，连接AE，PE，则AD=AE=1，DP=EP，
∴PD+PC=PE+PC，
当E、P、C在同一直线上时，PE+PC的最小值等于线段CE的长，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
∴由轴对称可得∠CAE=90°，
∴Rt△ACE中，CE=，
∴PD+PC的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
9．cm或1cm
【分析】根据勾股定理的逆定理列出方程解即可，有第三边是斜边或者是直角边两种情况．
【详解】根据勾股定理的逆定理列出方程解即可，有第三边是斜边或者是直角边两种情况．
当第三边是斜边时，第三边=（cm）；
当第三边是直角边时，第三边==1（cm），
综上所述，第三条线段的长是cm或1cm，
故答案为cm或1cm．
【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
10．
【分析】利用含30度角的直角三角形的性质可求出m，再利用勾股定理即可求解．
【详解】由题意可知，AC=8m，
∴，
∴m，
∴m．
故答案为：．
【点睛】本题考查含30度角的直角三角形的性质和勾股定理．掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键．
11．
【分析】P点往左运动，则M点向下运，N点就向右运动，则AP的值就变小．当N点与C点重合时，P点停止运动，此时AP的值最小．作PE⊥BC于E点，先根据勾股定理求出EC的长，再求出BE的长，则可知AP的长．
【详解】解：如图，
P点往左运动，则M点向下运，N点就向右运动，则AP的值就变小．当N点与C点重合时，P点停止运动，此时AP的值最小．
作PE⊥BC于E点，
∵△ABC中，，AC=5，BC=4
∴AB=3
∴PE=3
根据折叠的性质PC=BC=4
∴EC=
∴BE=BC-EC=
∴AP=BE=
故答案为
【点睛】本题是一道动点问题，主要考查了折叠的性质和勾股定理，关键是分析出N点与C点重合时AP的值最小．
12．
【分析】利用翻折变换的性质得出，再利用在中运用勾股定理就可以求出的长．
【详解】解：∵直角边，斜边，
∴BC==8，
设，则．
将一张直角纸片折叠，使点与点重合，折痕为，
，在中，
，
则，
，
整理得：，
解得：，
即的长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质以及勾股定理，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注意折叠中的对应关系．
13．
【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可求解．
【详解】解：如图：
由图可知：，
∵数轴上点A所表示的数为a，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了数轴和实数，勾股定理的应用，能读懂图是解此题的关键．
14．24
【详解】由题意得BC=9，在RtABC中，
根据勾股定理得：AB==15米．
所以大树的高度是15+9=24米．
故答案为：24．
15．2
【分析】过点作于点，则，，结合可得出，进而可得出，在中，利用勾股定理可求出的长，即，结合可求出的长．
【详解】解：过点作于点，如图所示．
，，
，．
，
，
．
在中，∵，
，即，
，
．
又，
，
．
【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，在中，利用勾股定理求出的长是解题的关键．
16．(1)是
(2)是奇异三角形，判断依据见解析
(3)
【分析】（1）根据题中所给的奇异三角形的定义、等边三角形的性质判断；
（2）根据奇异三角形的定义判断；
（3）根据勾股定理、奇异三角形的定义计算即可．
（1）
解：设等边三角形的边长为，
∵，
∴等边三角形一定是奇异三角形；
故答案为：是；
（2）
是，理由如下：
∵，，
∵，
∴
∴若某三角形的三边长分别为1、、2，则该三角形是奇异三角形．
（3）
中，，，
∵，
∴，，
∵是奇异三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了奇异三角形的定义、等边三角形的性质、勾股定理；熟练掌握等边三角形的性质和勾股定理，在解答（2）时要注意分类讨论．
17．小方先到达终点．理由见解析
【分析】根据题中已知条件，利用勾股定理将AC边的长求出来，然后将两人所游的距离除以各自的游泳速度，计算出到达中点所需的时间，进行比较即可．
【详解】如图，AB表示小方的路线，AC表示小杨的路线，
由题意可知，AB=48，BC=14，
在直角三角形ABC中，AC==50，
小方用时：=16秒，小杨用时秒，
因为16，所以小方用时少，即小方先到达终点．
18．234
【分析】连接，先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判定为直角三角形，则四边形的面积直角的面积直角的面积．
【详解】解：连接如图所示：
，，，
；
在中，
，，，
，即，
是直角三角形．
；
即绿地的面积为234．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的相关知识，通过勾股定理的逆定理由边与边的关系可证明直角三角形，正确分割四边形的面积是解题关键．
19．(1)证明见解析；(2)BC=．
【分析】（1）首先证明△ABD≌△ECD，推出EC=AB=6，由AE2+EC2=AC2，推出△AEC是直角三角形．
（2）在Rt△CDE中，求出CD，根据BC=2CD即可解决问题．
【详解】(1)∵AD是BC边上的中线
∴BD=CD
又∵DE=AD， ∠ADB=∠CDE
∴△ABD≌△ECD，
∴EC=AB=6，
∵AE=8 ，AC=10
∴△AEC 中，AE2+EC2=AC2
∴△AEC是直角三角形．
(2)在Rt△CDE中，CD2=CE2+DE2=62+42=52
∴CD=
∴BC=2CD=．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题
20．（1）24平方米；（2）4800元
【分析】（1）连接，在直角三角形中可求得的长，由、、的长度关系可得三角形为一直角三角形，为斜边；由此看，四边形的面积等于面积减的面积解答即可；
（2）根据题意列式计算即可．
【详解】解：（1）连接，
在中，，
在中，，，
而，
即，
，
．
（2）需费用（元），
答：总共需投入4800元．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单．

第十七章：勾股定理练习题（含解析）2021-2022内蒙古八年级下学期人教版数学期末试题选编