第18章平行四边形综合训练（含解析）人教版八年级数学下册-求知树

人教版八下第18章平行四边形综合训练
一、选择题（共15小题）
1. 如图，在中，，，，点，，分别是，，的中点，连接，，则四边形的周长为
A. B. C. D.
2. 如图，将一副三角板在平行四边形中作如下摆放，设，那么
A. B. C. D.
3. 如图，在直角坐标系中，菱形的顶点，，在坐标轴上，若点的坐标为，，则点的坐标为
A. B. C. D.
4. 下列说法正确的是
A. 对角线相等的四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线互相平分的四边形是矩形
D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
5. 如图，在中，点，分别是边，的中点，点是线段上的一点，连接，，，且，，则的长是
A. B. C. D.
6. 如图，把含的直角三角板放置在正方形中，，直角顶点在正方形的对角线上，点，分别在和边上，与交于点，且点为的中点，则的度数为
A. B. C. D.
7. 将个形状、大小均相同的菱形按照如图所示的方式排成一行，使得右侧菱形的顶点与左侧菱形的对角线交点重合，若这些菱形的边长均为，则阴影部分的周长总和等于
A. B. C. D.
8. 如图，点是平行四边形对角线的交点，过点分别交，于点，，下列结论成立的是
A. B.
C. D.
9. 如图，为上任意一点，分别以，为边在同侧作正方形，正方形．设，则为
A. B. C. D.
10. 如图，点，在矩形的对角线所在的直线上，，则四边形是
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
11. 如图，在正方形中，，为对角线上与，不重合的一个动点，过点作于点，于点，连接，，下列结论：① ；② ；③ ；④ 的最小值为．其中正确结论的个数有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
12. 如图，在平行四边形中，，．按以下步骤作图：①以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；②分别以点，为圆心，以长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线交于点．则的长为
A. B. C. D.
13. 如图，四边形中，，，，点，分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合），点，分别为，的中点，则长度的最大值为
A. B. C. D.
14. 如图，在正方形中，，延长到点，使，连接，动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点的运动时间为秒，当和全等时，的值为
A. B. C. D. 或
15. 如图，点，，，构成正方形，以为边作等边三角形，则的度数和点的坐标分别为
A. 和
B. 和
C. 和或和
D. 和或和
二、填空题（共3小题）
16. 四边形是平行四边形，，的平分线交直线于点，若，则平行四边形的周长为．
17. 如图，将个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点，的坐标分别为，，则顶点的坐标为．
18. 如图，在矩形中，点是边的中点，将沿折叠后得到，且点在矩形的内部，将延长交边于点．若，则．
三、解答题（共5小题）
19. 如图，点是的中点，四边形是平行四边形．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如果，求证：四边形是矩形．
20. 如图（）已知，，．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）如图（），为的中点，为的中点，．若，求的长．
21. 如图，在四边形中，，是的中点，，垂足为点，，，，，点是边上一动点，设的长为．
（1）当的值为或时，以点，，，为顶点的四边形为平行四边形．
（2）点在边上运动的过程中，以，，，为顶点的四边形能否构成菱形试说明理由．
22. 如图，正方形中，，点是对角线上的一点，连接．过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接．
（1）求证：矩形是正方形；
（2）求的值．
23. 如图，在中，点是边上一个动点，过点作直线，设交的平分线于点，交的外角的平分线于点．
（1）探究与的数量关系并加以证明；
（2）连接，，当点在边上运动时，四边形可能为菱形吗若可能，请证明；若不可能，请说明理由；
（3）连接，，当点在上运动到什么位置时，四边形是矩形请说明理由；
（4）在（）的条件下，满足什么条件时，四边形是正方形请说明理由．
答案
1. B
【解析】点，，分别是，，的中点，
，，，，
四边形的周长为．
2. C
【解析】延长交于，如图．
是等腰直角三角形，
，
．
，
．
四边形是平行四边形，
，
，
．
3. D
【解析】因为四边形为菱形，，
所以，
因为，
所以，，，
所以，
所以，
所以．
4. D
【解析】对角线互相平分的四边形是平行四边形，A选项说法错误；
对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，B选项说法错误；
对角线互相平分且相等的四边形是矩形，C选项说法错误；
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，D选项说法正确．
5. B
【解析】因为点，分别是边，的中点，
所以是的中位线，
因为，
所以，
因为，，
所以，
所以．
6. C
【解析】在中，．
为的中点，
．
，
，
．
在正方形中，
，，，
．
7. B
【解析】根据题意知，将个形状、大小均相同的菱形按照如图所示的方式排成一行，可得到个阴影菱形，且这些阴影菱形的大小完全一致．
如图，
由题意知，，，
由菱形的对角线平分一组对角可知，
，
是的中位线，
，
一个阴影菱形的周长为，
个阴影菱形的周长和为．
故选B．
8. A
【解析】平行四边形的对角线，交于点，
，，，，
，
在和中，
，
，，，
选项A正确，选项B，C，D不正确，故选A．
9. B
【解析】四边形为正方形，
．
，
．
四边形和四边形是正方形，
，，．
在和中，
，
．
10. A
【解析】A选项，四边形是矩形，
，．
，
，
四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
B选项，四边形是矩形，
，
，
四边形不是矩形，故本选项不符合题意；
C选项，四边形是矩形，
不能证明，
不能证明，故本选项不符合题意；
D选项，四边形是矩形，
，
，
四边形不是正方形，故本选项不符合题意．
11. C
【解析】①连接，交于点，如图．
，，
．
，
四边形为矩形，
，．
四边形为正方形，
，．
在和中，
，
，
，
①正确；
②延长交于点，交于点，如图．
，
．
由①知，
，
．
，
，
，即，
，
②正确；
③由②知，即，
③正确；
④ 点为上一动点，
根据垂线段最短，当时，最小．
，，
，
．
由①知，
的最小值为，
④错误．
综上，正确的结论为①②③．
12. D
【解析】四边形是平行四边形，
，，
．
由题意可得，
，由勾股定理得．
13. D
【解析】连接，，如图．
在中，，，，
所以．
因为点，分别为，的中点，
所以．由题意得，当点与点重合时最大，最大值为，
所以长度的最大值为．
14. D
【解析】当点在边上时，
在与中，
．
由题意得，
．
当点在上时，
在与中，
．
由题意得，解得．
当点在或上时，不满足条件．
当的值为或时，和全等．
15. D
【解析】分为两种情况：
① 在正方形外时，如图，过作于，连接．
是等边三角形，
，
．
由勾股定理得，即，
解得．
，
点的坐标是．
，，，
．
②同理，当在正方形内时，
求得点的坐标是．
，，
，
的度数和点的坐标分别为和或和．
故选D．
16. 或
【解析】当点在线段上时，如图．
四边形为平行四边形，
，
．
平分，
，
，
．
，
．
，
，
平行四边形的周长为．
当点在线段延长线上时，如图．
同理可得．
，
．
，
，
平行四边形的周长为．
综上，平行四边形的周长为或．
故答案为或．
17.
【解析】设点的位置如图所示．
顶点，的坐标分别为，，
轴，，轴，
正方形的边长为，
，
点．
，
轴，
点．
18.
【解析】如图，连接．
点是边的中点，
将沿折叠后得到，
，，，
，在和中，
，
，设．
，
，
．在矩形中，，
，，在中，，
．
19. （1）四边形是平行四边形，
，且，
点是的中点，
，
．
又，
四边形是平行四边形．
（2）四边形是平行四边形，
．
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形．
20. （1），，
四边形是平行四边形．
，
．
又，
，
四边形为矩形．
（2）如图，延长，交于点．
为的中点，为中点，，
，，
．
，
．
在和中，
，
．
，
，
，
．
21. （1）；
【解析】若以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，则，有两种情况：
①当在的左边，
是的中点，
，
；
②当在的右边，．
故当的值为或时，以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，
故答案为，．
（2）能．
理由：由（）知时四边形是平行四边形，此时在的右边．
在中，
，
．
又，
．
在中，，
，
平行四边形是菱形．
22. （1）如图，作于，于．
四边形是正方形，
．
于，于，
．
，
四边形是矩形．
，
，
．
，
，
．
四边形是矩形，，
四边形是正方形．
（2）四边形是正方形，四边形是正方形，
，，，
，
，
，
．
23. （1）．
证明：，
，．
又平分，平分，
，，
，，
，，
．
（2）四边形不可能为菱形，
理由：设交于点．
平分，平分，
．
若四边形是菱形，则，在中，不可能存在两个角为，
四边形不可能为菱形．
（3）当点运动到的中点时，四边形是矩形．
理由：当点运动到的中点时，．
又，
四边形是平行四边形，
，
，
，
即，
四边形是矩形．
（4）当点运动到的中点，且是以为直角的直角三角形时，四边形是正方形．
理由：由（）知，当点运动到的中点时，四边形是矩形．
已知，当时，，
，
四边形是正方形．

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