等式与不等式-广东省广州市高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编(含解析)

等式与不等式-广东省广州市高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编
一、单选题
1．（2023·广东广州·统考一模）已知集合，则集合的子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．16
2．（2023·广东广州·统考二模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广东广州·统考一模）已知，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2022·广东广州·统考一模）设集合，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·广东广州·统考三模）已知命题，命题，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2022·广东广州·统考一模）若正实数a，b满足，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·广东广州·统考二模）已知双曲线的左 右顶点分别是，，右焦点为，点在过且垂直于轴的直线上，当的外接圆面积达到最小时，点恰好在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·广东广州·统考一模）已知集合，则（ ）
A． B． C．或 D．或
二、多选题
9．（2022·广东广州·统考二模）已知，直线与曲线相切，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、解答题
10．（2023·广东广州·统考二模）如图，在直三棱柱中，，点D是的中点，点E在上，平面.
(1)求证：平面平面；
(2)当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值.
11．（2021·广东广州·统考二模）如图，在四边形中，，，.
(1)求；
(2)若，求周长的最大值.
参考答案：
1．C
【分析】解一元二次不等式，并结合已知用列举法表示集合A作答.
【详解】解不等式，得，因此，
所以集合的子集个数为.
故选：C
2．B
【分析】求出集合后可求.
【详解】由题可知：，
所以．
故选：B．
3．B
【分析】分别求出命题，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案.
【详解】因为；，
所以，推不出，所以是的必要不充分条件.
故选：B.
4．A
【分析】利用集合交集的定义计算即可．
【详解】，则
故选：A
5．A
【分析】先由和解出的范围，再由充分必要的定义判断即可.
【详解】由解得，由解得或，显然，故是的充分不必要条件.
故选：A.
6．D
【分析】根据函数单调性及得到或，分别讨论两种情况下四个选项是否正确，A选项可以用对数函数单调性得到，B选项可以用作差法，C选项用作差法及指数函数单调性进行求解，D选项，需要构造函数进行求解.
【详解】因为，为单调递增函数，故，由于，故，或，
当时，，此时；
，故；
，；
当时，，此时，，故；
，；
故ABC均错误；
D选项，，两边取自然对数，，因为不管，还是，均有，所以，故只需证即可，
设（且），则，令（且），则，当时，，当时，，所以，所以在且上恒成立，故（且）单调递减，因为，所以，结论得证，D正确
故选：D
7．C
【分析】设点的坐标为，由于 为定值，由正弦定理可知当取得最大值时，的外接圆面积取得最小值，也等价于 取得最大值，利用两角的正切公式知，再利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案.
【详解】根据双曲线的对称性不妨设点的坐标为，由于 为定值，由正弦定理可知当取得最大值时，的外接圆面积取得最小值，也等价于 取得最大值，
， ，
，
当且仅当，即当 时，等号成立，此时最大，此时的外接圆面积取最小值，
点的坐标为，代入，可得 ，即，即 ．
所以双曲线的渐近线方程为：．
故选：C
【点睛】方法点睛：本题考查了求双曲线渐近线方程，及利用基本不等式求最值，解题时先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c及渐近线之间的关系，求出的值即可，考查学生的计算能力和转化化归能力，属于中档题
8．C
【分析】先化简集合A，再求得补集即可．
【详解】由得，所以
则或
故选：C
9．AC
【分析】利用导数的几何意义，求出a，b的关系，再结合均值不等式逐项分析、计算并判断作答.
【详解】设直线与曲线相切的切点为，
由求导得：，则有，解得，
因此，，即，而，
对于A，，当且仅当时取“=”，A正确；
对于B，，当且仅当，即时取“=”，B不正确；
对于C，因，则有，即，
当且仅当，即时取“=”，由得，所以当时，，C正确；
对于D，由，得，，，而函数在R上单调递增，
因此，，D不正确.
故选：AC
10．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点，连接、，由三角形的中位线定理可得，进而由直三棱柱可得，所以平面，再由平面，得，再由线面垂直的性质可得平面，从而推出平面，再由面面垂直的性质即可证明；
（2）由（1）知平面，当三棱锥的体积最大时，设出，结合立体几何的体积公式，和基本不等式可求出，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出直线的方向向量与平面的法向量，利用向量的夹角公式，结合向量的夹角与线面角的关系，即可求解.
【详解】（1）取中点，连接、，如图所示：
，点是的中点，
，
又是的中点，
，
又在直三棱柱中，有， 平面
，
平面，
平面，且面，平面平面，
，
平面，且平面，
，
又，且、平面，
平面，
又，
平面，
平面，
面平面.
（2）由（1）知平面，则，
设，则，，，
，
由基本不等式知，当且仅当时等号成立，即三棱锥的体积最大，
此时，
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则有，，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则有，取，解得，
设直线与平面所成的角为，
，
故直线与平面所成角的正弦值为.
11．(1)
(2)12
【分析】（1）在中，利用正弦定理可求得结果；
（2）在中，由余弦定理可求得，在中，，设，由余弦定理得，即，利用基本不等式求得，进而求出周长的最大值.
【详解】（1）在中，，且
利用正弦定理得：，
又为钝角，为锐角，
（2）在中，由余弦定理得
故
解得：或（舍去）
在中，，设
由余弦定理得，即
整理得：，又
利用基本不等式得：，即，
即，当且仅当时，等号成立，即，
所以
所以周长的最大值为12
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