2023年江苏省中考数学复习训练卷（苏科版）（含答案）

2023年江苏省中考数学模拟测试卷（苏科版）
一、选择题(每小题3分，共24分)
1．若线段a＝2 cm，线段b＝8 cm，则a，b的比例中项c为(　　)
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．32 cm
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则sin B等于(　　)
A． B． C． D．
3．如图，一、二两组同学将本组最近5次数学平均成绩分别绘制成折线统计图．由统计图可知，成绩进步幅度大的组是(　　)
A．一组 B．二组　　　
C．一组、二组进步幅度一样大　D．无法判断
4．抛物线y＝2(x＋9)2－3的顶点坐标是(　　)
A．(9，－3) B．(－9，－3) C．(9，3) D．(－9，3)
5．如图，小明在A时测得树的影长为8 m，B时测得树的影长为2 m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为(　　)m． (　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
6．小嘉认为：将二次函数y＝x2的图像平移或翻折后经过点(2，0)有4种方法：
①向右平移2个单位长度　②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度　④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉的方法中正确的个数有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1?2，则等腰三角形顶角的度数为(　　)
A．30° B．60° C．60°或120° D．30°或150°
8．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A，D为圆心，AB的长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是(　　)
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分，共30分)
9．在△ABC中，若sin A＝，则∠A＝________°．
10．某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特意将汽车倒车镜设计在整个车身黄金分割点的位置，若车头与倒车镜的水平距离为2米，则该车车身总长约为________米．(倒车镜到车尾部分较长，结果保留根号)
11．在十字路口，汽车可直行、左转、右转，三种可能性相同，则一辆汽车经过十字路口向右转的概率为________．
12．已知实数a，b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________．
13．如图，在半径为3的⊙O中，随意向圆内投掷一个小球，经过大量重复投掷后发现，小球落在阴影部分的频率稳定在，则的长约为________．(结果保留π)
14．如图，△A′B′C′与△ABC是位似图形，点O为位似中心，若OA′＝A′A，则△A′B′C′与△ABC的面积比为________．
15．在△ABC中，∠B＝30°，AB＝4，AC＝，则BC的长为________．
16．某公司新产品上市30天全部售完，图①表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图②表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是________元．
17．如图，一艘轮船在A处观测到灯塔P位于南偏西30°方向，该轮船沿正南方向以15海里/时的速度匀速航行2小时后到达B处，观测到灯塔P位于南偏西60°方向．若该轮船继续向南航行至离灯塔P最近的位置C处，此时PC的长为________海里．
18．二次函数y＝ax2－3ax＋3的图像过点A(6，0)，且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若△ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为________．
三、解答题(19～20题每题7分，21～24题每题10分，25题12分，共66分)
19．如图，在△ABC中，BC＝2 ＋2，∠B＝30°，∠C＝45°，求△ABC的面积．
20．【2022·江西】某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，其中甲是共青团员，其余3人均是共产党员，医院决定用随机抽取的方式确定人选．
(1)“随机抽取1人，甲恰好被抽中”是________事件；
A．不可能　　　　　B．必然　　　　　C．随机
(2)若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都是共产党员的概率．
21．如图，若二次函数y＝x2－x－2的图像与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)若点P为二次函数图像上一点，且S△ABP＝6，求点P的坐标．
22．如图，大楼AN上悬挂着条幅AB，小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为48°，此时小颖距大楼底端N处20米．已知坡面DE＝20米，山坡的坡度i＝1:，且D，M，E，C，N，B，A在同一平面内，M，E，C，N在同一条直线上．(参考数据：tan 48°≈)
(1)求BN的长度；
(2)求条幅AB的长度．(结果保留根号)
23．跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分(如图中实线部分所示)，落地点在着陆坡(如图中虚线部分所示)上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66 m，基准点K到起跳台的水平距离为75 m，高度为h m(h为定值)．设运动员从起跳点A起跳后的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(1)c的值为________；
(2)①若运动员的落地点恰好到达K点，且此时a＝－，b＝，求基准点K的高度；
②若a＝－时，运动员的落地点要超过K点，则b的取值范围为________；
(3)若运动员飞行的水平距离为25 m时，恰好达到最大高度76 m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
24．如图，在矩形ABCD中，P为CD边上一点(DP≤CP)，将△ADP沿AP翻折得到△AD′P，PD′的延长线交边AB于点M，过点B作BN∥MP交DC于点N，连接PB．
(1)若AD2＝DP·PC，
①求证：∠APB＝90°；
②判断四边形PMBN的形状，并说明理由；
(2)若AM＝CN，求tan∠PAD′的值．
25．如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图像与x轴交于O(0，0)，A(4，0)两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．
(1)求二次函数的表达式；
(2)①求证：△OCD∽△A′BD；
②求的最小值；
(3)当S△OCD＝8S△A′BD时，求直线A′B与二次函数图像交点的横坐标．
答案
一、1．A　2．D　3．A　4．B　5．B　6．D　7．D　8．B
二、9．45　10．(＋3)　11．　12．6　13．π　14．1:4
15．3 或　16．1 800　17．15
18．或　点拨：如图，由题易知B(0，3)，抛物线的对称轴为直线x＝，当∠ABM＝90°时，过点B作BD垂直对称轴于点D，易得∠1＝∠2，BD＝， ∴tan∠2＝tan∠1＝＝2.∴＝2.∴DM＝3.∴M.
当∠M′AB＝90°时，易得∠1＝∠3，
设对称轴与x轴的交点为N，
∴tan∠3＝＝tan∠1＝＝2.
∵AN＝6－＝， ∴M′N＝9.∴M′.
综上所述，点M的坐标为或.
三、19.解：作AD⊥BC于点D，设AD＝x，在Rt△ABD中，∠B＝30°，∴BD＝AD＝x. 在Rt△ADC中，∠C＝45°，∴CD＝AD＝x. ∵BD＋CD＝BC，∴x＋x＝2 ＋2，解得x＝2，即AD＝2. ∴S△ABC＝×2×(2 ＋2)＝2 ＋2.
20．解：(1)C
(2)设甲是共青团员用T表示，其余3人均是共产党员用G表示，画树状图如下：
共有12种等可能的结果，被抽到的两名护士都是共产党员(记为事件A)的结果有6种，则P(A)＝＝.
21．解：(1)令y＝0，则x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2，
∵点A在点B的左侧，∴A(－1，0)，B(2，0)．
(2)∵A(－1，0)，B(2，0)，∴AB＝3，设点P的坐标为(x，y)，∵S△ABP＝6，∴×AB×|y|＝6，∴|y|＝4，则y＝±4，当x2－x－2＝4时，解得x＝3或x＝－2，当x2－x－2＝－4时，易得方程没有实数根．∴所求点P的坐标为(3，4)或(－2，4)．
22．解：(1)∵在Rt△BCN中，∠BCN＝48°，∴tan 48°＝.
又∵CN＝20米，∴BN＝tan 48°×20≈×20＝22(米)．
(2)如图，过点D作DH⊥AN于点H，过点E作EF⊥DH于点F. 易得FH＝EC＋CN＝10＋20＝30(米)，EF＝HN，∠EDF＝∠DEM.
易得tan∠DEM＝，
∴∠DEM＝∠EDF＝30°.
在Rt△DEF中，
设EF＝k米，则DF＝k米．
∵DF2＋EF2＝DE2，DE＝20米，∴k2＋(k)2＝202.
∴k＝10(负值舍去)．
∴EF＝10米，DF＝10 米. ∴DH＝DF＋FH＝(10 ＋30)米．
在Rt△ADH中，tan∠ADH＝，∠ADH＝30°，
∴AH＝tan 30°×DH＝×(10 ＋30)＝(10＋10 )米．
∴AN＝AH＋HN＝AH＋EF＝(20＋10 )米．
∴AB＝AN－BN≈(10 －2)米．
∴条幅AB的长度约是(10 －2)米．
23．解：(1)66
(2)①∵a＝－，b＝，∴y＝－x2＋x＋66，
∵基准点K到起跳台的水平距离为75 m，∴y＝－×752＋×75＋66＝21，∴基准点K的高度为21 m；
②b＞
(3)他的落地点能超过K点，理由如下：∵运动员飞行的水平距离为25 m时，恰好达到最大高度76 m，
∴抛物线的顶点坐标为(25，76)，
设抛物线的函数表达式为y＝a(x－25)2＋76，把点A的坐标(0，66)代入得66＝a(0－25)2＋76，解得a＝－，
∴抛物线的函数表达式为y＝－(x－25)2＋76.
当x＝75时，y＝－×(75－25)2＋76＝36.
∵36＞21，∴他的落地点能超过K点．
24．(1)①证明：如图，作PE⊥AB于点E，
则∠PEA＝∠PEB＝90°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠DAE＝∠CBE＝∠C＝90°，
∴四边形AEPD和四边形BEPC都是矩形，
∴AD＝PE，DP＝AE，PC＝EB.
∵AD2＝DP·PC，∴PE2＝AE·EB，∴＝.
又∵∠AEP＝∠PEB＝90°，∴△AEP∽△PEB，
∴∠APE＝∠PBE，
∴∠APB＝∠APE＋∠BPE＝∠PBE＋∠BPE＝90°.
②解：四边形PMBN是菱形．理由如下：∵PN∥MB，BN∥MP，∴四边形PMBN是平行四边形. 由翻折得∠DPA＝∠D′PA. ∵CD∥AB，∴∠DPA＝∠MAP，∴∠D′PA＝∠MAP，∴PM＝AM，∵∠MPB＋∠D′PA＝90°，∠MBP＋∠MAP＝90°，∴∠MPB＝∠MBP，∴PM＝BM，∴四边形PMBN是菱形．
(2)解：∵∠C＝∠PEM＝90°，BC＝PE，BN＝PM，
∴Rt△BCN≌Rt△PEM(HL)，∴CN＝EM，
∴AM＝CN＝EM，
由(1)②得PM＝AM，∠D′PA＝∠EAP，
∵∠AD′P＝∠D＝90°，∠PEA＝90°，∴∠PAD′＝∠APE.
设EM＝a(a＞0)，则PM＝AM＝a，
∴AE＝AM－EM＝a－a.
易得PE＝＝＝2a，
∴tan∠PAD′＝tan∠APE＝＝＝.
25．(1)解：∵二次函数y＝x2＋bx＋c的图像与x轴交于O(0，0)，A(4，0)两点，∴易得二次函数的表达式为y＝x2－2x.
(2)①证明：
易得∠OAC＝∠A′，OC＝AC，∴∠AOC＝∠OAC，
∴∠AOC＝∠A′. ∵∠A′DB＝∠ODC，∴△OCD∽△A′BD.
②解：∵△OCD∽△A′BD，∴＝.
∵AB＝A′B，
∴＝，∴的最小值就是的最小值.
易得当CD⊥OA时，CD最小，此时的值最小，
∵y＝x2－2x＝(x－2)2－2，∴C(2，－2)，∴OC＝2 ，当CD⊥OA时，CD＝2，∴＝＝，即的最小值为＝.
(3)解：∵S△OCD＝8S△A′BD，∴S△OCD：S△A′BD＝8.
∵△OCD∽△A′BD，∴＝＝8，∴＝2 .
∵OC＝2 ，∴A′B＝AB＝1，∴OB＝3，即点B的坐标为(3，0). 连接AA′，过点A′作A′G⊥OA于点G，延长CB交AA′于点H，延长BA′交y轴于点Q，设抛物线的对称轴与x轴交于点F. 易得AF＝CF＝2，∵AB＝1，∴BF＝2－1＝1.
易得AA′⊥CH，∴∠AHB＝∠BFC＝90°.
∵∠ABH＝∠CBD，∴∠BCF＝∠BAH，
即tan∠BCF＝tan∠GAA′，∴＝＝.
设A′G＝a，则AG＝2a，BG＝2a－1，在Rt△A′GB中，由勾股定理得A′G2＋BG2＝A′B2，
∴a2＋(2a－1)2＝12，解得a1＝0(舍去)，a2＝，
∴A′G＝，BG＝2a－1＝－1＝.
易得A′G∥OQ，∴△A′GB∽△QOB，
∴＝，即＝，∴OQ＝4，∴Q(0，4).
设直线A′B的函数表达式为y＝kx＋m，把Q(0，4)，B(3，0)的坐标代入，得　解得　∴直线A′B的函数表达式为y＝－x＋4. 令－x＋4＝x2－2x，即3x2－4x－24＝0，解得x＝，
∴直线A′B与二次函数图像交点的横坐标是.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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