2022-2023湖南省益阳市赫山区平高学校九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省益阳市赫山区平高学校九年级（下）期中数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 给出下列四个数：，，，，其中为无理数的是( )
A. B. C. D.
2. 如图所示的几何体是由一些小立方块搭成的，则这个几何体的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 下列运算中，结果正确的是( )
A. B. C. D.
4. 不等式的解集在数轴上表示正确是( )
A. B.
C. D.
5. 如果和都是某二元一次方程的解，则这个二元一次方程是( )
A. B. C. D.
6. 年是中国共产党建党周年，某校开展“敬建党百年，承红色基因”读书活动．为了了解某班开展学习党史情况，该校随机抽取了名学生进行调查，他们读书的本数分别是、、、、、、、、，则这组数据的众数和中位数分别是( )
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
7. 关于一次函数的图象和性质，下列结论不正确的是( )
A. 图象与直线平行 B. 图象与轴的交点坐标是
C. 图象经过第一、二、四象限 D. 随自变量的增大而增大
8. 为估计池塘两岸、间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了点，测得，，那么、间的距离不可能是( )
A.
B.
C.
D.
9. 如图，在中，直线为的垂直平分线，并交于点，连结若，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图所示是二次函数的图象，以下结论：；；的两个根是，；，其中正确的是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 的倒数的相反数是______．
12. 黄黄高铁北起黄冈，途径浠水、蕲春、武穴至终点黄梅，线路全长公里，设计时速公里，项目总投资亿元，预计年建成投入运营．其中项目总投资额用科学记数法表示为______元．
13. 已知与是同类项，那么 ______ ．
14. 一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是______．
15. 代数式有意义，则的取值范围是 ．
16. 五张分别写有，，，，的卡片，现从中任意取出一张卡片，则该卡片上的数字为奇数的概率是______．
17. 如图，是的直径，是弦，若，，则的值为______．
18. 如图，顺次连接腰长为的等腰直角三角形各边中点得到第个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第个小三角形，如此操作下去，则第个小三角形的面积为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：．
20. 本小题分
已知：如图，，，，求证：．
21. 本小题分
某校开设了丰富多彩的实践类拓展课程，分别设置了体育类、艺术类、文学类及其他类课程要求人人参与，每人只能选择一门课程为了解学生喜爱的拓展课类别，学校做了一次抽样调查根据收集到的数据，绘制成如图两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，完成下列问题：
此次共调查了多少人？
请将条形统计图补充完整；
求文学类课程在扇形统计图中所占圆心角的度数；
若该校有名学生，请估计喜欢体育类拓展课的学生人数．
22. 本小题分
在中，，是边上一点，以为直径作交于点，并且与相切于点，连接．
求证：；
若的半径为，，求的长．
23. 本小题分
年，教育部印发义务教育课程方案和课程标准年版，将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要去某菜苗基地采购，两种菜苗开展种植活动若购买捆种菜苗和捆种菜苗共需元；若购买捆种菜苗和捆种菜苗共需元．
求菜苗基地种菜苗和种菜苗每捆的单价；
学校决定用元去菜苗基地购买，两种菜苗共捆，菜苗基地为支持该校活动，对，两种菜苗均提供九折优惠求本次购买最多可购买多少捆种菜苗？
24. 本小题分
某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进如图，，测得米，米，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为，即此时点、、在同一直线上参考数据：，，
求这个车库的斜坡的长；
求斜坡改进后的起点与原起点的距离结果精确到米．
25. 本小题分
如图，在矩形中，点是边上任意一点点不与、重合，连接，作，交于点，若，．
试证明：∽；
当为多少时，最长，最长是多少？
试探究，是否存在一点，使是等腰直角三角形？
26. 本小题分
如图，抛物线与轴相交于点、点，与轴相交于点．
请直接写出点，，的坐标；
若点是抛物线段上的一点，当的面积最大时求出点的坐标，并求出面积的最大值；
点是抛物线上的动点，作交轴于点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：在所列实数中，无理数是，
故选：．
根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
找到从左面看所得到的图形即可．
【解答】
解：从左面可看到从左往右列小正方形的个数依次为：，．
故选A．
3.【答案】
【解析】解：、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、与不属于同类项，不能合并，不符合题意；
D、，符合题意．
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4.【答案】
【解析】解：的解集表示在数轴上右边的数构成的集合，在数轴上表示为：
故应选D．
根据不等式组解集在数轴上的表示方法就可得到．
不等式组解集在数轴上的表示方法：
把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
5.【答案】
【解析】解：、不适合方程，故该选项错误；
B、不适合方程，故该选项错误；
C、两个解都适合方程，故该选项正确；
D、不适合方程，故该选项错误．
故选：．
此题只需把两个解代入下列各个方程，都能够使方程成立的即为所求作的方程．
此题只需根据方程的解的定义，运用代入排除法即可解答．
6.【答案】
【解析】解：根据数据可知：出现的次数最多，因而众数是；
一共是个数，从小到大排列是、、、、、、，，，处在第位的数是，因此中位数是．
故选：．
根据众数是一组数据中出现次数最多的数据；中位数就是把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数进行解答即可求出答案．
考查众数、中位数的意义及求法，一组数据出现次数最多的数就是众数，将一组数据从小到大排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数是中位数．
7.【答案】
【解析】解：、函数的图象与直线平行，故本选项说法正确；
B、把代入，所以它的图象与轴的交点坐标是，故本选项说法正确；
C、，，函数图象经过第一、二、四象限，故本选项说法正确；
D、，所以随自变量的增大而减小，故本选项说法不正确；
故选：．
根据一次函数的性质对、、进行判断；根据一次函数图象上点的坐标特征对进行判断．
本题考查了一次函数的性质：，随的增大而增大，函数从左到右上升；，随的增大而减小，函数从左到右下降．由于与轴交于，当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴．
8.【答案】
【解析】解：在中，，，
则，即，
、间的距离不可能是，
故选：．
根据三角形的三边关系列出不等式，通过解不等式判断即可．
本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：直线为的垂直平分线，
，
，
，
故选：．
根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：由图象可知：，，
由对称轴可知：，
，
，故错误；
由对称轴可知：，
，
抛物线过点，
，
，
，故正确；
由对称轴为直线，抛物线过点，
抛物线与轴的另一个交点为，
的两个根是，，故正确；
由图象可知，当时，，
，故错误；
故选：．
根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
本题考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
11.【答案】
【解析】解：的倒数为，则的相反数为．
故答案为：．
直接利用倒数以及相反数的定义分别分析得出答案．
此题主要考查了倒数以及相反数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值是易错点，由于亿有位，所以可以确定．
此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定与值是关键．
13.【答案】
【解析】解：与是同类项，
，
解得，，
则，
故答案为：．
根据同类项的概念列出方程组，解方程组求出、，计算即可．
本题考查的是同类项的概念，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了多边形的内角和定理，关键是根据边形的内角和为解答．
根据内角和定理即可求得．
【解答】
解：多边形的内角和公式为，
，
解得，
这个多边形的边数是．
故答案为：．
15.【答案】且
【解析】解：有意义，
且，
且，
故答案为：且．
根据题意可得且，求出的取值范围即可．
本题考查二次根式的有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
先找出分别写有，，，，的五张卡片中奇数的个数，再根据概率公式解答即可．
【解答】
解：分别写有，，，，的五张卡片中，有三张标有奇数；
任意抽取一张，数字为奇数的概率是．
故答案为．
17.【答案】
【解析】解：是的直径，
，，，
由勾股定理得，，
，
，
故答案为：．
根据是的直径，求出，根据勾股定理，求出的长，根据，运用锐角三角函数的概念求出答案．
本题考查的是圆周角定理的应用和勾股定理、锐角三角函数的应用，掌握直角所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：记原来三角形的面积为，第一个小三角形的面积为，第二个小三角形的面积为，，
，
，
，
，
故答案为．
记原来三角形的面积为，第一个小三角形的面积为，第二个小三角形的面积为，，求出，，，探究规律后即可解决问题．
本题考查三角形的中位线定理，三角形的面积等知识，解题的关键是循环从特殊到一般的探究方法，寻找规律，利用规律即可解决问题．
19.【答案】解：原式
．
【解析】分别根据指数幂及负整数指数幂的计算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
本题考查的是实数的运算，熟知指数幂及负整数指数幂的计算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
20.【答案】证明：，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
为等边三角形，
．
【解析】易证即可求证≌，可得，即可判定为等边三角形，即可解题．
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了等边三角形的判定，本题中求证≌是解题的关键．
21.【答案】解：人，
即此次共调查了人；
选择艺术类的学生有：人，
选择其它类的学生有：人，
补全的条形统计图如图所示：
，
即文学类课程在扇形统计图中所占圆心角的度数是；
人，
答：估计喜欢体育类拓展课的学生有人．
【解析】根据体育类学生人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数；
根据中的结果和统计图中的数据可以求得艺术类和其它类的学生数，从而可以将条形统计图补充完整；
先求出文学类课程所占的百分比，再乘以，即可求出在扇形统计图中所占圆心角的度数；
利用样本估计总体，用乘以乘以样本中喜欢体育类拓展课的学生所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22.【答案】证明：是的切线，
，
，
，
；
解：在中，，，
，
，
在中，，
．
【解析】根据切线的性质得到，进而证明；
根据含角的直角三角形的性质求出，再求出．
本题考查的是切线的性质、含角的直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
23.【答案】解：设菜苗基地种菜苗每捆的单价为元，种菜苗每捆的单价为元，
根据题意得：，
解得：．
答：菜苗基地种菜苗每捆的单价为元，种菜苗每捆的单价为元；
设本次可购买捆种菜苗，则可购买捆种菜苗，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为．
答：本次购买最多可购买捆种菜苗．
【解析】设菜苗基地种菜苗每捆的单价为元，种菜苗每捆的单价为元，根据“购买捆种菜苗和捆种菜苗共需元；购买捆种菜苗和捆种菜苗共需元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设本次可购买捆种菜苗，则可购买捆种菜苗，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】解：，，，
米．
答：这个车库的斜坡的长米；
在中，，，
米，
米，
答：斜坡改进后的起点与原起点距离约为米．
【解析】在中，勾股定理即可求解；
在中，根据，求得，进而根据，即可求解．
本题考查了直角三角形的应用，掌握三角函数的定义是解题的关键．
25.【答案】解：，
，
而，
，
，
∽；
设，
∽，
，即，
则，
故当时，的最大值为，
即为时，最长，最长是；
是等腰直角三角形，则，
而∽，
则≌，
，
则，
即时，是等腰直角三角形．
【解析】证明，即可求解；
由∽，可得，则，进而求解；
是等腰直角三角形，则，故≌，进而求解．
本题是三角形相似综合题，涉及到等腰三角形的性质、三角形全等等，有一定综合性，难度适中．
26.【答案】解：当时，，
，
当时，，
，，
，；
方法一：如图，
连接，
设点，
，
，
，
，
当时，，此时；
方法二：如图，
作于，交于点，
，，
直线的解析式为：，
，
，
，
当时，，此时，
如图，
当 时，，
抛物线对称轴为直线：，
点的坐标：，
如图，
当 时，
作于，
，
当时，，
，，
，，
综上所述：或或．
【解析】将及代入抛物线的解析式，进而求得结果；
连接，设点，分别表示出，，计算出，根据，从而得出的函数关系式，进一步求得结果；
可分为 和 的情形．当 时，点和点关于抛物线对称轴对称，从而得出点坐标；当 时，可推出点的纵坐标为，进一步求得结果．
本题考查了二次函数及其图象性质，平行四边形的分类等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，转化条件．
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