2022-2023浙江省杭州市萧山区高桥初中教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省杭州市萧山区高桥初中教育集团八年级（下）期中数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是( )
A. B. C. D.
2. 要使代数式有意义，则下列数值中字母不能取的是( )
A. B. C. D.
3. 下列计算中，正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是( )
A. B. C. D.
5. 如图，四边形的对角线、交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
6. 某班七个兴趣小组人数分别为，，，，，，已知这组数据的平均数是，则这组数据的中位数是( )
A. B. C. D.
7. 选择用反证法证明“已知：在中，求证：，中至少有一个角不大于”时，应先假设( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
8. 双减政策落地，各地学校大力提升学生核心素养，学生的综合评价分学习、体育和艺术三部分，学习成绩、体育成绩与艺术成绩按：：计入综合评价，若宸宸学习成绩为分，体育成绩为分，艺术成绩为分，则他的综合评价得分为( )
A. B. C. D.
9. 如图， 的周长是，对角线与交于点，，是中点，的周长比的周长多，则的长为( )
A. B. C. D.
10. 已知方程甲：，方程乙：都是一元二次方程，其中以下说法中错误的是( )
A. 若方程甲有两个不相等的实数解，则方程乙没有实数解
B. 若方程甲有两个相等的实数解，则方程乙也有两个相等的实数解
C. 若是方程甲的解，则也是方程乙的解
D. 若既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么可以取取
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 化简：______．
12. 一个多边形的内角和是其外角和的倍，则这个多边形的边数是______．
13. 小明用计算一组数据的方差，那么 ____ ．
14. 如图，在 中，平分交于点，连接若，，则的度数为______．
15. 若，，则代数式的值为______．
16. 如图，在 中，对角线、相交于点，点、分别是边、上的点，连结、、若，，，则
点到直线的距离是______．
周长的最小值是______．
三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：
；
18. 本小题分
圆圆与方方两位同学解方程的过程如下框：
圆圆：
两边同除以得
．
则． 方方：
移项，得．
提取公因式，得．
则或．
解得．
你认为他们的解法是否正确？若错误，请写出你认为正确的解答过程．
19. 本小题分
如图， 的对角线，交于点，点，分别是，的中点．
求证：四边形是平行四边形；
若，，，求四边形的周长．
20. 本小题分
某市举行知识大赛，校、校各派出名选手组成代表队参加比赛两校派出选手的比赛成绩如图所示．
根据图中信息，整理分析数据：
平均数分 中位数分 众数分
校
校
请你结合图表中所给信息，解答下列问题：
______ ； ______ ；
填空：填“校”或“校”
从两校比赛成绩的平均数和中位数的角度来比较，成绩较好的是______ ；
从两校比赛成绩的平均数和众数的角度来比较，成绩较好的是______ ；
计算两校比赛成绩的方差，并判断哪个学校派出的代表队选手成绩较为稳定．
21. 本小题分
某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件．为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润．据测算，每件童装每降价元，平均每天可多售出件．设每件童装降价元．
每天可销售多少件，每件盈利多少元？用含的代数式表示
每件童装降价多少元时，平均每天盈利元．
平均每天盈利能否达到元，请说明理由．
22. 本小题分
已知关于的一元二次方程．
若此方程的一个根是，求方程的另一根；
求证：这个一元二次方程一定有两个实数根；
设该一元二次方程的两根为，，且，，分别是一个直角三角形的三边长，求的值．
23. 本小题分
如图，四边形是平行四边形，，，点是的中点，点是延长线上一点．
连结，求证：．
若求证：．
在的条件下，若的延长线与交于点，试判断四边形是否为平行四边形并证明你的结论请补全图形，再解答
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：选项B、、均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2.【答案】
【解析】解：由题意可知：，
，
观察选项，只有选项D符合题意．
故选：．
根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
本题考查二次根式，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
3.【答案】
【解析】解：，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C正确，符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故选：．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，
，
则，即，
故选：．
先将常数项移到方程右边，再将两边都加上一次项系数一半的平方，据此可得答案．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：如图，
A.，，
四边形是平行四边形，
故此选项不符合题意；
B.，，
，，
，
四边形是平行四边形，
故此选项不符合题意；
C.，，
，
，
≌，
，
四边形是平行四边形，
故此选项不符合题意；
D.，不能判定四边形是平行四边形，
故此选项符合题意；
故选：．
根据题意画出图形，然后根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可．
本题主要考查了平行四边形的判定，掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：某班七个兴趣小组人数分别为，，，，，，，已知这组数据的平均数是，
，
这一组数从小到大排列为：，，，，，，，
这组数据的中位数是：．
故选：．
先根据平均数的定义计算出的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数．
本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．也考查了平均数的定义．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了反证法，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口．
用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．
【解答】
解：用反证法证明命题“，中至少有一个角不大于”时，应先假设，．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，他的综合评价得分为分．
故他的总成绩是分．
故选：．
根据加权平均数的计算方法即可求解．
本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用加权平均数的计算方法解答．
9.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，四边形的周长是，
，，，，
的周长比的周长多，
，即，
，
解得，，，
，
，是中点，
，
故选：．
根据平行四边形的性质得到，，根据三角形的周长公式得到，解方程组求出，得到的长，根据直角三角形的性质解答即可．
本题考查的是平行四边形的性质、直角三角形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：若方程甲有两个不相等的实数解，则，
解得，
所以，
而方程乙：中，，
所以方程乙没有实数解，故说法A正确；
若方程甲有两个相等的实数解，则，
解得，
所以，
而方程乙：中，，
所以方程乙有两相等实数解，故说法B正确；
若是方程甲的解，所以，即，
则方程乙：变为，
解得，
所以也是方程乙的解，故说法C正确；
若既是方程甲的解，又是方程乙的解，
所以，
得，
，
，
解得，
故说法D错误，
故选：．
由方程甲有两个不相等的实数解可知于，根据判别式的意义可对进行判断；
由方程甲有两个相等的实数解可知于，根据判别式的意义可对进行判断；
若是方程甲的解，则可得出，根据判别式的意义可对进行判断；
若既是方程甲的解，又是方程乙的解，则，解方程组求得，可对进行判断．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
11.【答案】
【解析】解：原式
，
故答案为．
将被开方数的分子与分母同乘以即可得出答案．
本题考查了二次根式的性质与化简，是基础知识比较简单．
12.【答案】
【解析】解：设这个多边形的边数为，则该多边形的内角和为，
依题意得：，
解得：，
这个多边形的边数是．
故答案为：．
设这个多边形的边数为，根据内角和公式以及多边形的外角和为即可列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论．
本题考查了多边形内角与外角，解题的关键是根据多边形内角和公式得出方程．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是方差的计算、平均数的概念，掌握方差的计算公式：是解题的关键．
根据方差计算公式确定这组数据的平均数，计算即可．
【解答】
解：，
这组数据的平均数是，
，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
平分，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
．
故答案为：．
根据平行四边形的性质可得，，再由平行线的性质和角平分线得出，，，根据得出，由等量代换得出，根据等边三角形的判定得到是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由可得．
本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质，角平分线的定义，等边三角形的判定和性质等知识．熟练掌握平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等边三角形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：，，
，
故答案为：．
根据完全平方公式把所求的式子变形为，然后进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：如图：过点作的垂线，交延长线于点，
，
，
，
，
，
故答案为；
如图：作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，，；
则长为周长的最小值；
由在中，，，
，
，
由对称性可知，，
是等腰三角形，
又，
，
；
故答案为；
过点作的垂线，交延长线于点，在等腰直角三角形中求；
作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，，；则长为周长的最小值；在等腰直角三角形中求；
本题考查平行四边形的性质，最短路径问题；掌握平行四边形的性质，用勾股定理求边，利用对称性求最短距离是解题的关键．
17.【答案】解：
；
．
【解析】先算二次根式的乘法，再算二次根式的加法即可；
利用二次根式的乘法的法则进行运算，再进行加减运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18.【答案】解：圆圆的解法错误，方方的解法错误；
正确的解法是：，
移项得：，
，
或，
解得：，．
【解析】先移项，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，，
点，分别是，的中点，
，分别是和的中位线，
，，
，，
四边形是平行四边形；
解：，，
，，
，
，
，
，
四边形的周长．
【解析】根据平行四边形的性质得到，，，，根据三角形中位线的性质得到，，根据平行四边形的判定可证得结论；
由勾股定理求得，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到，进而可求得结论．
本题主要考查了平行四边形的性质和判定，三角形中位线的性质，直角三角形斜边的中线的性质，勾股定理，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到是解决问题的关键．
20.【答案】解：将校名选手的成绩重新排列为：、、、、，
所以其中位数、众数，
故答案为：，；
从两校比赛成绩的平均数和中位数的角度来比较，成绩较好的是校；
从两校比赛成绩的平均数和众数的角度来比较，成绩较好的是校；
故答案为：校，校；
，
，
．
校派出的代表队选手成绩较为稳定．
【解析】根据条形图将校数据重新排列，再根据中位数和众数的概念求解即可；
从表中数据，利用平均数和中位数和众数的意义可得出答案，
计算出、两校成绩的方差，根据方差的意义可得答案．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握中位数、众数的定义及平均数、众数、中位数和方差的意义．
21.【答案】解：设每件童装降价元时，每天可销售件，每件盈利元，
故答案为：，；
根据题意，得：．
解得：，，
扩大销售量，增加利润，
，
答：每件童装降价元，平均每天盈利元；
依题意，可列方程：
，
化简，得，
．
故方程无实数根．
故平均每天销售利润不能达到元．
【解析】根据销售量原销售量因价格下降而增加的数量，每件利润实际售价进价，列式即可；
根据总利润每件利润销售数量，列方程求解可得；
根据每台的盈利销售的件数元，即可列方程，再根据根的判别式求解．
本题主要考查一元二次方程的实际应用，理解题意找到题目蕴含的等量关系是列方程求解的关键．
22.【答案】解：设方程的另一个根为，
根据根与系数的关系得，，
，
解得，
即方程的另一个根为；
证明：
，
这个一元二次方程一定有两个实数根；
解方程得，，
即，或，，
，，分别是一个直角三角形的三边长，
或，
解方程得，舍去，
解方程得，舍去．
即的值为或．
【解析】设方程的另一个根为，根据根与系数的关系得，，消去得到，然后解方程即可；
计算根的判别式的值得到，利用非负数的性质得到，然后根据根的判别式的意义得到结论；
解方程得，或，，再利用勾股定理得到或，然后分别解关于的方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式和勾股定理．
23.【答案】证明：在 中，，，
，，
连接，如图所示：
是的中点，
，，
；
证明：由知，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：四边形为平行四边形，理由如下：
由知≌，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形．
【解析】根据平行四边形的性质得到，，连接，利用直角三角形斜边上中线的性质可得结论；
根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
根据全等三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形为平行四边形．
本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
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