2023年河北省承德市八校联考中考数学模拟试卷（含解析）

2023年河北省承德市八校联考中考数学模拟试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 嘉琪将一个正五边形纸片沿图中虚线剪掉一个小三角形后，发现剩下纸片的周长变小了，能正确解释这一现象的数学知识是( )
A. 垂线段最短 B. 两点确定一条直线
C. 两点之间，线段最短 D. 两点间距离的定义
2. 与相等的是( )
A. B. C. D.
3. 新冠病毒的直径约为，用科学记数法表示为的形式，下列有关、的说法正确的是( )
A. 为整数，为正数 B. 为整数，为负数
C. 为小数，为正数 D. 为小数，为负数
4. 若，则的值为( )
A. B. C. D.
5. 下列各式正确的是( )
A. B. C. D.
6. 如图，在 中，为对角线，下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
7. 如图，这是正方体的表面展开图，折叠成正方体后，与点重合的点为( )
A.
B.
C. 和
D. 和
8. 依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是( )
A. B.
C. D.
9. 若的运算结果为整式，则“”中的式子可能为( )
A. B. C. D.
10. 如图，在中，，，可以绕点旋转，旋转的角度为，分别得到和，则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
11. 小亮有三双颜色分别为灰色、白色、蓝色的袜子和两双颜色分别为灰色、黑色的鞋子，他随机穿上一双袜子和鞋子，则恰好都为灰色的概率是( )
A. B. C. D.
12. 能运用等式的性质说明如图事实的是( )
A. 如果，那么均不为
B. 如果，那么均不为
C. 如果，那么均不为
D. 如果，那么均不为
13. 若长度为、、的三条线段能组成一个钝角三角形，则的值可能为( )
A. B. C. D.
14. 已知在中，，在边上求作一点，使得为等腰直角三角形两位同学提供了如图所示的作图痕迹，对于作法Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是( )
A. Ⅰ、Ⅱ都可行 B. Ⅰ、Ⅱ都不可行
C. Ⅰ可行，Ⅱ不可行 D. Ⅰ不可行，Ⅱ可行
15. 如图，已知点是边的三等分点，的面积为，现从边上取一点，沿平行的方向剪下一个面积为的三角形，则点在( )
A. 线段上
B. 线段上，且靠近点
C. 线段上，且靠近点
D. 线段上
16. 如图，已知抛物线：常数与轴分别交于点和点，与轴交于点，轴交抛物线于点，作直线和甲、乙、丙三人的说法如下：
甲：若，则点的坐标为．
乙：若，则的值有两个，且互为倒数．
丙：若，点是直线上一点，点到直线的最大距离为．
下列判断正确的是( )
A. 甲对，乙和丙错 B. 乙对，甲和丙错 C. 甲和丙对，乙错 D. 甲、乙、丙都对
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）
17. 如图，这是位同学在学校举办的“文明礼仪”比赛中的得分情况，则这些成绩的众数为______ 分
18. 如图，在中，、两个顶点在轴上，点在轴的上方，以点为位似中心作的位似图形，其中点、、在轴上对应的数分别为、和．
与的位似比为______ ；
若点的纵坐标为，则点的纵坐标为______ ．
19. 在疫情防控期间，阳光学校要购买、两种型号的测温计，已知型号测温计的单价为元，型号测温计的单价比型号测温计的单价贵元．
型号测温计的单价为______ 元用含的式子表示；
若用元购买型号测温计的数量与用元购买型号测温计的数量相同，则可列方程为______ 阳光学校计划购买两种型号的测温计共个，费用不超过元，则至少购买型号测温计______ 个
三、解答题（本大题共7小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. 本小题分
已知实数，，．
当时，计算最大数与最小数的差；
当时，试判断这三个数的大小关系．
21. 本小题分
某学校有甲、乙两支踢毽子运动队每队人数相同，两队在强化训练后，张老师将这两队运动员的踢毽子成绩均为正整数制作成如图所示的统计图及不完整的统计表十分制，单位：分．
乙队运动员成绩统计表
成绩分
人数人
______ ；佳佳的成绩为分，在队里是中下游水平，则猜测佳佳可能在______ 队填“甲”或“乙”．
经计算，训练后甲队成绩的方差为，乙队成绩的方差为，综合考虑，张老师很有可能选择哪个队代表学校参加市里的比赛？并说明理由．
22. 本小题分
已知：整式，，，且整式．
若，求整式的值．
嘉淇发现：以整式、、为边长的三角形为直角三角形你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．
23. 本小题分
如图，已知山坡的坡度为：，山坡的坡度为：，山坡的坡角，已知点到水平面的距离为，山坡的长为某登山队沿山坡上山后，再沿山坡下山．
求山顶点到水平面的距离；
求山坡的长．
24. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的边垂直轴于点，反比例函数的图象经过的中点，与边相交于点已知，点的纵坐标为，且：：．
求反比例函数的解析式．
设点是线段上的动点，过点且平行轴的直线与反比例函数的图象交于点，求面积的最大值及此时点的坐标．
25. 本小题分
如图为排球运动场地示意图，球网在场地中央且高度为，球网距离球场左、右边界均为排球发出后其运动路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分，某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为，当排球运动到水平距离球网时达到最大高度，建立如图所示的平面直角坐标系．
当时，
求抛物线的表达式；
求排球过网后落地点的坐标．
若排球既能过网不触网，又不出界不接触边界，求的取值范围．
26. 本小题分
如图，在 中，，，动点由点向点运动，过点在的右侧作，连接、，使，过点、、作参考数据：，，
当与相切时．
求的长；
求的长．
当的外心在的内部时包括边界，求在点移动过程中，点经过的路径的长．
当为等腰三角形，并且线段与相交时，直接写出截线段所得的弦长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：将一个正五边形纸片沿图中虚线剪掉一个小三角形后，发现剩下纸片的周长变小了，能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短．
故选：．
根据两点之间，线段最短解答即可．
本题考查的是线段的性质，掌握两点之间，线段最短是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用有理数的相应的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3.【答案】
【解析】解：．
故是小数，是负数．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
4.【答案】
【解析】解：由题意可知：，
，
原式，
故选：．
根据负整数指数幂的意义即可求出答案．
本题考查负整数指数幂的意义，解题的关键是熟练运用负整数指数幂的意义，本题属于基础题型．
5.【答案】
【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、与不能合并，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
根据二次根式的减法，除法法则，二次根式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
即．
故选：．
直接利用平行四边形的性质结合平行线的性质得出，，进而利用三角形外角的性质得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质、平行线的性质，正确应用平行线的性质分析是解题关键．
7.【答案】
【解析】解：结合图形可知，折叠成正方体后，与点重合的点为．
故选：．
由正方体的平面展开图，与正方体的各部分对应情况，可以实际动手操作得出答案．
此题主要考查了展开图折叠成几何体，同学们可以动手叠一叠．
8.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
对角线互相平分，故A不一定是菱形；
四边形是平行四边形，
对边相等，故B不一定是菱形；
四边形是平行四边形，
对边平行，故D不一定是菱形，
图中，根据三角形的内角和定理可得：，
邻边相等，
四边形是平行四边形，
邻边相等的平行四边形的菱形，故C是菱形；
故选：．
根据菱形的判定解答即可．
此题考查菱形的判定，关键是根据菱形的判定方法解答．
9.【答案】
【解析】解：，是分式，不是整式，故本选项不符合题意；
B.，是分式，不是整式，故本选项不符合题意；
C.，是整式，故本选项符合题意；
D.，是分式，不是整式，故本选项不符合题意；
故选：．
先代入，再根据分式的运算法则进行计算，最后根据求出的结果得出选项即可．
本题考查了分式的混合运算和整式，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键．
10.【答案】
【解析】解：由题意知，，
，，，
，
扇形 的面积，扇形的面积，的面积，
阴影的面积扇形 的面积扇形的面积的面积．
故选：．
由直角三角形的性质求出，的长，由阴影的面积扇形 的面积扇形的面积的面积，应用扇形面积计算公式，三角形面积计算公式，即可求解．
本题考查扇形的面积，旋转的性质，含角的直角三角形，关键是明白：阴影的面积扇形 的面积扇形的面积的面积．
11.【答案】
【解析】解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中他随机穿上一双袜子和鞋子，恰好都为灰色的结果有种，
他随机穿上一双袜子和鞋子，恰好都为灰色的概率为．
故选：．
画树状图得出所有等可能的结果数以及他随机穿上一双袜子和鞋子，恰好都为灰色的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：观察图形，是等式的两边都减去均不为，利用等式性质，得到，
即如果，那么均不为．
故选：．
根据等式的性质解答即可．
本题考查了等式的性质，掌握等式两边加或减去同一个数或式子结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：由题意可得，，
解得，
，，
，，
的值可能为．
故选：．
根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边，结合勾股定理即可求解．
本题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边；运用三角形的三边关系定理是解答的关键．
14.【答案】
【解析】解：作法Ⅰ：由作图得点为的垂直平分线与的交点，则，所以，所以是等腰直角三角形，所以作法Ⅰ是正确的；
作法Ⅱ：由作图得，所以是等腰直角三角形，所以作法Ⅱ是正确的；
故选：．
作法Ⅰ根据线段的垂直平分线的性质及等边对等角证明；
作法Ⅱ根据等角对等边及三角形的内角和证明．
本题考查了复杂作图，掌握等腰直角三角形的判定方法是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：取的中点，作，与交于点，过点作，与交于点，
，∽，
，，
即，
，，
现从边一点，沿平行的方向剪下一个面积为的三角形，
点在线段上，且靠近点，
故选：．
取的中点，作，与交于点，过点作，与交于点，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得与的面积，与比较便可得出结论．
本题考查了相似三角形的性质与判定，三角形的面积，关键是作辅助线求得过中点作的平行线所得的面积．
16.【答案】
【解析】解：甲：当时，，
的坐标为，
轴，
的纵坐标为，
，
，
的坐标为，
当时，的坐标为，
故甲正确；
乙：令，则，
，
，，
，，
，
，
，
，
把点坐标代入抛物线解析式得：，
整理得，
解得，，
故乙错误；
丙：，，
四边形是平行四边形，
，
，
设直线的解析式，
，
，
直线的解析式：，
点是直线上的一点，
点到直线的最大距离为，
，，，
，
点到直线的最大距离为．
故丙正确．
故选：．
甲：先求出点坐标得出的纵坐标为，再把代入求出即可判断；
乙：先求出，的值，再根据得出的坐标，然后把点坐标代入抛物线解析式得出关于的一元二次方程，解方程求出的值，从而判断乙；
丙：根据，，得出四边形是平行四边形，从而求出坐标，然后用待定系数法求出的解析式，由点是直线上的一点，点到直线的最大距离就是时，即最大距离为，从而判断丙．
本题考查抛物线与轴的交点，二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，平行四边形的性质，关键是对二次函数性质的掌握和运用．
17.【答案】
【解析】解：观察统计图知：成绩为分的有人，
所以这些成绩的众数为分，
故答案为：．
利用众数的定义写出答案即可．
本题考查了众数的定义，解题的关键是了解众数是出现次数最多的数，难度较小．
18.【答案】
【解析】解：点、、在轴上对应的数分别为、和，
，，
，
与的位似比为．
故答案为：．
根据题意，作出如图所示，
过点作轴于点，过点作轴于点，
由可知，与的位似比为，
，
点的纵坐标为，
，
，
点在第四象限，
点的纵坐标为．
故答案为：．
由题意可得，再结合相似三角形的性质可得答案．
由题意，作出，过点作轴于点，过点作轴于点，则可得，即，再根据点的位置可得答案．
本题考查作图相似变换、点的坐标，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键．
19.【答案】
【解析】解：型号测温计的单价为元，而型号测温计的单价比型号测温计的单价贵元，所以型号测温计的单价为元．
故答案为：；
根据题意，得．
解得．
经检验是所列方程的解，且符合题意．
所以．
即型号测温计的单价为元，型号测温计的单价为元．
设购买型号测温计个，则购买型号测温计个，
依题意，得．
解得．
则至少购买型号测温计个．
故答案为：；．
根据“型号测温计的单价比型号测温计的单价贵元”填空；
根据关键描述语“用元购买型号测温计的数量与用元购买型号测温计的数量相同”列出方程；通过解方程求得、两种型号测温计的单价，然后由“费用不超过元”列一元一次不等式，求解即可．
本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，由实际问题抽象出分式方程等知识点，理解题意并根据题意建立关系式是解题的关键．
20.【答案】解：当时，
，
最大数是，最小数是，它们的差是：；
当时，
，，，
，
．
【解析】当时，首先判断出，，的大小关系，然后用最大数减去最小数即可；
当时，根据实数大小比较的方法，判断这三个数的大小关系即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
21.【答案】 甲
【解析】解：，
甲队成绩的中位数为；
乙队成绩的中位数为；
因为甲队的中位数为，而乙队的中位数为，如果成绩是分，在队里是中下游水平，则猜测小明可能在甲队，
故答案为：；甲；
甲队成绩的平均分为，
乙队成绩的平均分为，
张老师很有可能选择甲队代表学校参加市里比赛，理由如下：
甲队的平均分大于乙队的平均分；乙的方差与甲队的方差相差不大，甲队的中位数高于乙队的中位数．
利用甲、乙两队跳远运动员人数相同计算的值；利用中位数的意义进行判断；
从平均数、方差的意义进行说明，即可得出答案．
本题考查中位数、众数、平均数、方差的意义和计算方法，理解平均数、众数、中位数、方差的意义是正确解答的前提．
22.【答案】解：若，则．
．
当，，；当，，．
综上：，或，．
正确，理由如下：
由题意得，以整式、、为边长的三角形的边长分别为、、．
，即，
这个三角形是直角三角形．
【解析】根据平方根的定义解决此题．
根据勾股定理的逆定理解决此题．
本题主要考查平方根、勾股定理逆定理，熟练掌握平方根的定义以及勾股定理的逆定理是解决本题的关键．
23.【答案】解：过点作，垂足为．
在中，
，，，
．
答：山顶点到水平面的距离为．
过点作，，垂足分别为、．
四边形是矩形．
，，
在中，
的坡度为：，
．
．
在中，
山坡的坡度为：，
．
．
山坡的长为：．
答：山坡的长为．
【解析】过点作，利用直角三角形的边角间关系可得结论；
过点作，，先判断四边形的形状，再利用坡度求出、
本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、勾股定理及坡度的相关知识是解决本题的关键．
24.【答案】解：，点的纵坐标为，：：．
，
，
点是的中点，
，
点，在双曲线上，
，
，
反比例函数解析式为；
，
，，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
如图，设点，
，，
，
轴交双曲线于，
，
，
，
，
时，最大，最大值为，
点的坐标为
【解析】先确定出点坐标，进而得出点坐标，将点，坐标代入反比例函数中即可得出结论；
由，求出点，坐标，利用待定系数法求出经过、两点的直线的解析式，设出点坐标，进而表示出点坐标，即可建立面积与的函数关系式即可得出结论．
本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，线段的中点坐标公式，解本题的关键是建立与的函数关系式．
25.【答案】解：因为排球飞行到距离球网时达到最大高度，，
抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的表达式为，
点在抛物线上，
，
解得，
；
当时，，
解得，舍去，
，
排球过网后落地点的坐标为；
设击出的排球轨迹为，
当该轨迹经过球网的顶端坐标时，
，
解得，
，
令得，即此时；
当该轨迹经过右边界的坐标时，
，
解得，
，
令得，即此时；
若排球既能过网不触网，又不出界不接触边界，的取值范围是．
【解析】由抛物线的顶点坐标为，设抛物线的表达式为，把点代入解析式求出即可；
令，解一元二次方程即可；
设击出的排球轨迹为，当该轨迹经过球网的顶端坐标时，，此时；当该轨迹经过右边界的坐标时，，此时，即可得的取值范围是．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意列出函数关系式．
26.【答案】解：与相切，
，
，，
，
，
在中，，
在中，；
，
，
，
的长为；
如图，设的中点为，当点与重合时，设的中点为，连接，
点在的垂直平分线上运动，当时图中，点在边上，当时图中时，点在上，
，
，
，
点的经过的路径长为：；
当时，截不出线段的弦，
如图，
当时，
设与交于点，作于，连接，
由知：，，
，
是的直径，
，
，
，
，
截线段所得弦的长为．
【解析】根据切线的性质得到，解直角三角形即可得到结论；
根据三角函数的定义得到，根据圆周角定理得到，根据弧长公式即可得到结论；
点在的垂直平分线上运动，当时图中，点在边上，当时图中时，点在上，点运动路径长长是的一半；
当时，截不出线段的弦；当时，解斜三角形，求得的长，进而得出结果．
本题是圆的综合题，考查了圆周角定理及其推论，弧长公式，解直角三角形，三角形的中位线定理等知识，解决问题的关键是根据条件，画出对应的图形．
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2023年河北省承德市八校联考中考数学模拟试卷（含解析）