2023年人教版数学小升初专题复习06 用“类比思想”解决问题（有答案）

专题06 用“类比思想”解决问题
在解决问题时，如果发现要解决的问题与一个已经解决的问题相类似，我们就可以按照已经解决过的问题的办法，来解决所要解决的新的问题，这种思想方法叫做类比法。类比是一种非常有用的思想方法，不过因为任何两个相似的对象之间总有一定的差异，不恰当的类比也可能产生错误，因此在使用类比方法时要注意避免发生这种情况。
婷婷晚上6时整开始做作业，一直到时针与分针第二次成直角时，作业正好做完，婷婷做作业花了多长时间？
思路分析：解这类问题初看感觉无从下手，实际上运用类比的方法可以把两针在钟面上做匀速圆周运动类比为同向而行的问题。分针每分钟走6°，时针每分钟走0.5°，6时整，两针相差180°，到第二次成直角时分针追了（180＋90）°，时间为（180＋90）÷（6-0.5）=49（分钟）。 规范解答：（180＋90）÷（6-0.5）=49（分钟） 答：婷婷做作业花了49分钟。
技巧1 时钟问题
1．从6时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合？
【分析】6时整时，分针指向12，时针指向6，它们相差180°，分针每分钟走360°÷60＝6°，时针每分钟走30°÷60＝0.5°，根据追及问题公式求解即可。
【解答】解：180°÷（6°﹣0.5°）
＝180÷5.5
（分）
答：经过分钟后，时针与分针第一次重合。
【点评】本题主要考查了钟面上的追及问题，正确计算两个指针每分钟走的度数是本题解题的关键。
2．从5点整开始，再经过多少分钟，时针和分针正好重合？从5点整开始，再经过多少分钟，时针和分针第一次垂直？
【分析】（1）时钟指向5点即时针从12点走到5点共走了5个大格（一小时为一格）．所以时针和分针正好重合的时间为5÷（12﹣1）（小时）＝27（分钟）．
（2）在5点整，分针与时针之间的夹角是30°×5＝150°，当分针与时针成直角时，两针之间的角度应为（150﹣90），已知分针每分钟走：360°÷60＝6°，时针每分钟走360°÷（12×60°）＝0.5°，因此时针和分钟正好垂直经过的时间是（30×5﹣90）÷（6﹣0.5），解决问题．
【解答】解：（1）我们知道：时针1小时走1格，分针1小时走12格，所以从5点开始分针与时针重合所用时间为：
5÷（12﹣1）（小时）＝27（分钟）．
答：再经过27分钟，时针和分针正好重合
（2）分针每分钟走：360°÷60＝6°
时针每分钟走360°÷（12×60°）＝0.5°
（30×5﹣90）÷（6﹣0.5）
＝60÷5.5
＝10（分）
答：再过10分钟，时针与分针第一次垂直．
【点评】此题的解法类似于“追及问题”，追及问题的数量关系为：时间＝追及路程÷速度差．
技巧2 工程问题
3．李老师为课外兴趣小组的同学买书，他带的钱正好可以买15本语文书或24本数学书，如果李老师买了10本语文书后，剩下的钱全部买数学书，还可买几本数学书？
【分析】将全部钱数当作单位“1”，他带的钱正好可以买15本语文书或24本数学书，则每本语文书的价格占全部钱数的，每本数学书的价格占全部钱数的，所以李老师买了10本语文书后用了全部钱数的10，还剩下全部的110，则还可买（110）数学书．
【解答】解：（110）
＝（1）×24，
24，
＝8（本）．
答：还可买8本数学书．
【点评】首先根据分数的意义求出每本语文书与数学书占全部的钱数的分率是完成本题的关键．
4．甲、乙两人同时从A、B两地相向而行，甲走完全程用2小时，乙用3小时，两人相遇时甲比乙多走2千米，求相遇时乙行了多少千米？
【分析】首先根据首先根据速度×时间＝路程，可得路程一定时，速度和时间成反比，据此求出甲乙的速度之比是多少；然后求出相遇时，甲乙走的路程之比是多少，进而求出甲比乙多走了全程的几分之几；最后根据分数除法的意义，用两人相遇时甲比乙多走的路程除以它占全程的分率，求出两地之间的距离是多少，再用它乘以甲乙走的占的分率，求出相遇时乙行了多少千米即可．
【解答】解：甲乙的速度之比是3：2，
2
＝4.8（千米）
答：相遇时乙行了4.8千米．
【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握；解答此题的关键是求出相遇时甲比乙多走了全程的几分之几．
技巧3 按比分配问题
5．完成同一份文件，甲、乙、丙三人所需时间分别是12分、15分和20分，现在有48份文件要打，要想在同样的时间内完成，这三人各打多少份文件？
【分析】在相同的时间内，三个的工作量之比等于工作效率之比．把一份文件的工作量看作单位“1”，根据“工作效率”分别求出甲、乙、丙的工作效率，再根据比的意义求出甲、乙、丙的工作效率比，再分别求出甲、乙、丙占总工作效率的几分之几，即完成总工作量的几分之几，然后根据分数乘法的意义即可解答．
【解答】解：甲、乙、丙工作效率比是：：5：4：3
5+4+3＝12
4820（份）
4816（份）
4812（份）
答：甲打20份，乙打16份，丙打12份．
【点评】关键是求出甲、乙、丙完成总工作量的比，然后即可根据按比例分配解答．
6．A、B两种商品的价格之比是7：3．如果它们的价格分别上涨70元，它们的价格比就是7：4，这两种商品原来的价格各是多少元？
【分析】设A和B两种商品原来的价格分别为：7x，3x，根据题意：（7x+70）：（3x+70）＝7：4，据此解答即可．
【解答】解：设A和B两种商品原来的价格分别为：7x元，3x元，由题意得：
（7x+70）：（3x+70）＝7：4
4（7x+70）＝7（3x+70）
28x+280＝21x+490
28x+280﹣21x﹣280＝21x+490﹣21x﹣280
7x＝210
7x÷7＝210÷7
x＝30，
7×30＝210（元）；
3×30＝90（元）；
答：A种商品原来是210元，B种商品原来是90元．
【点评】解答本题的关键是根据已知条件设出原来两种商品的价格．
1．有一座时钟现在显示10时整．那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合？
【分析】（1）时针走1大格，分针走1圈，1分钟分针走360÷60＝6度，时针走360÷12÷60＝0.5度，所以分针每分钟追赶6﹣0.5＝5.5度，10时整时，分针和时针成的较大的角是360﹣30×2＝300度，用300度除以5.5度即可求出经过的时间．
（2）同理，第一次重合到第二次重合，分针比时针多走一圈，即360度，用360度除以5.5度即可求出经过的时间即可；
【解答】解：（1）1分钟分针走：360÷60＝6（度），
时针走：360÷12÷60＝0.5（度），
（360﹣30×2）÷（6﹣0.5）
＝300÷5.5
＝54（分钟）
（2）360÷（6﹣0.5）
＝360÷5.5
＝65（分钟）
答：经过54分钟，分针与时针第一次重合；再经过65分钟，分针与时针第二次重合．
【点评】解决本题分别求出时针和分针每分钟走的度数，把它看成追及问题，用度数差除以每分钟走的度数差，即可求出走的时间．
2．从时针指向4时开始，至少再经过多少分钟时针正好与分针重合？
【分析】钟面的一周分为60小格，分针每分钟走1小格，时针每分钟走小格，每分钟分针比时针多走（1）小格。4时整，时针在前，分针在后，两针相距20小格。分针走得快，时针走得慢，从4时开始两针同时走，两针要重合，就是分针要追赶上时针。
【解答】解：
20÷（1）
＝20
＝20
＝21（分）
答：再经过21分钟时针正好与分针重合。
【点评】解此题的关键是时针与分针在钟面上转动情况及其关系，然后再利用“行程的追及公式”即可轻松解答。
3．一个时钟现在显示的时间是1点整，经过 　5　分钟后，时针与分针第一次重合。（如果答案是假分数，请化成带分数）
【分析】1点整，时针与分针的夹角是30度，分针60分钟走360度，每分钟走6度，时针每60分走30度，每分走0.5度。把时针与分针之间的夹角作为追击路程，时针和分针每分钟走的度数为速度计算速度差，根据追击问题公式追击路程÷速度差＝追击时间解答。
【解答】解：360°÷60＝6°
30°÷60＝0.5°
30°÷（6°﹣0.5°）
＝30÷5.5
（分）
答：5分后，时针与分针第一次重合。
故答案为：5
【点评】把时针与分针之间的夹角作为追击路程，时针和分针每分钟走的度数为速度计算速度差，根据追击问题公式追击路程÷速度差＝追击时间解答。
4．黄老师为美术兴趣小组的同学们买书，他带的钱正好可以买15本山水画或者24本人物画．如果黄老师买了8本人物画后，剩下的钱全部买山水画，那么还可以买几本山水画？
【分析】把黄老师带的总钱数看作单位“1”，根据题意可得山水画的单价就是，人物画的单价就是；则黄老师买8本人物画用掉了：；那么剩下的钱数为：1，由此利用数量＝总价÷单价即可求得买山水画的本数．
【解答】解：把黄老师带的总钱数看作单位“1”，根据题意可得山水画的单价就是，人物画的单价就是；
（1），
，
＝10（本）；
答：还可以买10本山水画．
【点评】此题考查了利用单价、数量和总价之间的关系解决实际问题的灵活应用，根据题干把总钱数看作单位“1”，得出山水画和人物画的单价是解决本题的关键．
5．将1050毫升的橙汁倒入3个大杯和2个小杯中，正好倒满．小杯的容量是大杯的，求大、小杯子的容量各是多少毫升？
【分析】我们设出大杯子的容量是x毫升，则小杯子的容量是x毫升．分别表示出大小杯子的总共的容量，加在一起，就是1050毫升．
【解答】解：设大杯子的容量是x毫升，则小杯子的容量是x毫升．
3xx×2＝1050，
3.5x＝1050，
x＝300；
小杯子的容量各是：
x＝30075（毫升）；
答：大、小杯子的容量各是300毫升、75毫升．
【点评】本题我们把一个设为x，再用x表示出另一个数，把两个数的量加在一起，列出方程即可求出这两个杯子的容量．
6．一项工程，乙单独做20天完成．如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替做也恰好用整数天完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替做结果比上次交替做要多半天才能完成．这项工程由甲单独做需要几天可以完成？
【分析】根据两种轮流交替做的情况可得出：当甲先做时，用的时间就少，而乙先做时，用的时间就多．据此可得第一种情况甲乙的工作顺序是：甲，乙，甲，乙…甲（最后一天是甲做的，若是乙做的，则第二种情况不会出现多做半天的时间）；而第二种情况甲乙的工作顺序就是：乙，甲，乙，甲…乙，甲，乙，把两种情况对照可得：甲一天的工作效率＝乙一天的工作效率+甲半天工作效率，即甲半天工作效率＝乙一天工作效率，也就是说甲的工作效率是乙工作效率的2倍，把这项工程的量看作单位“1”，先表示出乙的工作效率，再求出甲的工作效率，最后根据工作时间＝工作总量÷工作效率即可解答．
【解答】解：依据分析可得甲的工作效率是乙工作效率的2倍
1÷（2）
＝1
＝10（天）
答：这项工程由甲单独做需要10天可以完成．
【点评】根据题干表达的意义求出甲与乙工作效率关系，是解答本题的关键．
7．单独完成某项工程，甲需要9小时，乙需要12小时，如果按照甲、乙、甲、乙…的顺序轮流工作，每次工作1小时，那么完成这项工作需要多少小时？
【分析】把某项工作的工作总量看作单位“1”，甲的工效是，乙的工作效率是，“按照甲，乙，甲，乙，…的顺序轮流工作，每次1时”，那么甲乙各做1小时，即2个小时，则完成，5个循环后
（即10个小时），则完成，还剩，1，由甲来完成，求得甲再做的时间，再加上10小时即是完成这项工作共需要的时间．
【解答】解：[1﹣（）×5]
＝[15]
＝（1）
＝0.25（小时）
甲、乙轮流做共需要：10+0.25＝10.25（小时）
答：完成这项工作需要10.25小时．
【点评】解答此题要注意：甲乙轮流各做1小时算一个循环，5个循环后剩下的只有甲独做即可，不要用“工作总量÷工效之和×2”来计算．
8．搬运一个仓库的货物，甲需要8小时，乙需要10小时，丙需要15小时，有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙起先帮助甲搬运，中途又转去帮助乙搬运，最后两个仓库的货物同时搬完．问：丙帮助甲、乙各多少小时？
【分析】根据已知条件“搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时”，把一个仓库的货物总量看作单位“1”，则三人的效率和是，又因两个仓库是同样的仓库，两个仓库的货物总量是2个单位“1”即为“2”，则三人合作两个仓库的货物同时搬完需要（小时），则在这个时间内丙完成了A仓库的1，则丙在A仓库搬了小时，进而求出在B仓库搬了多少小时．
【解答】解：2÷（），
＝2，
（小时）．
（1）
＝（1），
，
（小时）．
（小时）．
答：丙帮助甲工作了小时，帮乙工作了小时．
【点评】此题根据工程问题的基本关系式：工作总量÷工作效率＝工作时间解答，解答此题的关键是先求出三人同时搬运所需要的时间．
9．甲，乙两人完成某项任务，甲4小时做完的任务，乙要5小时才能完成，现由甲单独做12小时，完成了任务的，余下的由甲、乙两人合作完成．问完成全部任务共需几小时？
【分析】根据“甲单独做12小时，完成了任务的”，求出甲单独完成任务需要的时间是1216小时，再根据“甲4小时做完的任务，乙要5小时才能完成”求出乙单独完成任务需要的时间是16÷4×5＝20小时，把这件工作的总量看作单位“1”，要求两人合作还需几小时才能完成，要先求出还剩下的工作量，然后用剩下的工作量除以甲乙的工效和，即可列式解答，最后再加上甲单独做的12小时，即可得解．
【解答】解：1216（小时）
16÷4×5＝20（小时）
（1）÷（）
＝2（小时）
12小时+2小时＝14小时
答：完成全部任务共需14小时．
【点评】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，解答时把工作总量看作单位“1”，先求出剩下的工作量，再利用它们的数量关系解答即可．
10．一辆汽车从甲地开往乙地，已经行了2小时，这时距乙地还有30千米才到达．已知第一时行的路程是第二小时与剩下路程和的，第二小时行的恰好是第一小时行的与剩下路程之和．甲乙两地全程多少千米？
【分析】根据题意，把全程的长看作单位“1”，由“第一时行的路程是第二小时与剩下路程和的”可知，第一小时行了全程的，又由第二小时行的恰好是第一小时行的与剩下路程之和，所以30×2千米对应的分率是（1），根据已知一个数的几分之几是多少用除法计算，据此列式解答即可．
【解答】解：30×2÷（1）
＝60÷（1）
＝60
＝60
＝240（千米）
答：甲乙两地全程240千米．
【点评】解答本题的关键是把全程的长看作单位“1”，把单位“1”不同的分率转化为单位“1”相同的分率，然后根据分数除法的意义进一步解答即可．
11．一辆汽车从甲地开往乙地，1.5小时行驶84千米，照这样的速度，这辆汽车往返两地共用7.5小时，求甲乙两地相距多少千米？
【分析】1.5小时行驶84千米，根据除法的意义，汽车每小时行84÷1.5千米，这辆汽车往返两地共用7.5小时，根据乘法的意义，往返两地共行了84÷1.5×7.5千米，又往返一次共行两个全程，根据除法的意义，全程是84÷1.5×7.5÷2千米．
【解答】解：84÷1.5×7.5÷2
＝56×7.5÷2
＝420÷2
＝210（千米）
答：两地相距210千米．
【点评】首先根据路程÷时间＝速度求出这辆汽车每小时行多少千米是完成本题的关键．
12．服装厂接到一批订单，A车间单独做需要25天完成，B车间单独做需要20天完成．如果两个车间同时做这批订单，多少天可以完成这批订单的一半？
【分析】首先根据工作效率＝工作量÷工作时间，根据工作时间＝工作量÷工作效率，用除以甲、乙的工作效率和，即可求出时间．
【解答】解：（）
＝5（天）
答：5天可以完成这批订单的一半．
【点评】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率，由此进行解答即可．
13．一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成．现在甲先做了3天，余下的工作由甲乙合作完成．余下的工作需要几天可以完成？
【分析】首先根据：工作量＝工作效率×工作时间，用甲的工作效率乘3，求出甲先做了这件工作的几分之几；然后用1减去甲3天完成的工作量，求出剩下这件工作的几分之几，再用它除以甲乙的工作效率之和，求出余下的工作需要几天可以完成即可．
【解答】解：（13）÷（）
＝（1）
＝2（天）
答：余下的工作需要2天可以完成．
【点评】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率．
14．张师傅加工一批零件，第一天完成的个数与零件的总个数的比是1：3．如果再加工15个，就可以完成这批零件的一半．这批零件共有多少个？
【分析】第一天完成的个数与零件的总个数的比是1：3，即第一天加工的个数是总个数，再加工15个就完成总量一半，即总量的，那么这15个零件就占这批零件的，所以这批零件的总量为15÷（）；计算解答即可．
【解答】解：15÷（）
＝15
＝90（个）；
答：这批零件共有90个．
【点评】解答此题关键是找出15对应的分数是，求单位“1”用除法，即15÷（）．
15．用48厘米的铁丝做一个长方体的框架，长、宽、高的比是3：2：1，这个长方体的长、宽、高分别是多少厘米？
【分析】根据长方体的特征，12条棱分为互相平行（相对）的3组，每组4条棱的长度相等，已知棱长总和，除以4求出1组长、宽、高的和，再根据长、宽、高的比，运用按比例分配的方法求出长、宽、高．
【解答】解：3+2+1＝6
48÷46（厘米）
48÷44（厘米）
96÷42（厘米）
答：这个长方体的长、宽、高分别是6厘米、4厘米、2厘米．
【点评】此题的关键是考查利用按比例分配的方法求出长、宽、高．
16．运一批货物，运走的与剩下的比为3：7，如果再运走30吨，那么剩下的货物只占原有货物的，这批货物原有多少吨？
【分析】本题货物的总吨数不变，所以把总吨数看作单位“1”，根据“运走的与剩下的比为3：7，”可得：这时剩下的吨数占总吨数，那么再运走的30吨对应的分率是：，然后根据分数除法的意义用30除以这个分率即可得出这批货物原有多少吨．
【解答】解：30÷（）
＝30
＝100（吨）
答：这批货物原有100吨．
【点评】这种类型的应用题一般情况下要把不变的量看作单位“1”，有时要把“和”看作单位“1”，有时要把“差”看作单位“1”（如年龄问题），这样便于统一单位“1”，进而找到数量对应的分率，再根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法列式计算．
17．甲、乙两种商品的价格比是9：5，如果它们的价格分别上涨250元，价格比是7：5．甲、乙两种商品原价各是多少元？
【分析】首先根据甲乙两种商品的价格比是9：5，设甲乙两种商品的价格分别是9x元、5x元，如果它们的价格分别上涨250元，那么它们的价格分别变成9x+250元、5x+250元，然后根据甲乙的价格比是7：5，列出比例，求出x的值，进而求出甲商品原来的价格是多少元即可．
【解答】解：设甲乙两种商品的价格分别是9x元、5x元，
那么后来它们的价格分别变成9x+250元、5x+250元，
所以（9x+250）：（5x+2500）＝7：5
（9x+250）×5＝（5x+250）×7
45x+1250＝35x+1750
10x＝500
10x÷10＝500÷10
x＝50
50×9＝450（元）
50×5＝250（元）
答：甲商品原来的价格是450元，乙种商品原价是250元．
故答案为：210．
【点评】此题主要考查了比的应用，解答此题的关键是熟练掌握解比例的方法．
18．加工一批零件，王师傅每小时加工36个，与李师傅每小时加工个数的比是4：5，两人共同加工5小时，可以加工多少个零件？
【分析】已知王师傅每小时加工36个，要求两人共同加工5小时，可以加工多少个零件，必须知道李师傅每小时加工的零件个数，由“王师傅每小时加工36个，与李师傅每小时加工个数的比是4：5”可求出李师傅每小时加工的零件个数，进而解决问题．
【解答】解：（36+36）×5
＝（36+45）×5
＝81×5
＝405（个）
答：两人共同加工5小时，可以加工405个零件．
【点评】本题考查了比的应用，求出李师傅每小时加工的零件个数，是解答此题的关键．
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2023年人教版数学小升初专题复习06 用“类比思想”解决问题（有答案）