第十七章：勾股定理练习题（含解析）2021-2022云南省八年级下学期人教版数学期末试题选编

第十七章：勾股定理
一、单选题
1．（2022春·云南昆明·八年级统考期末）斜边长是4的直角三角形，它的两条直角边可能是（ ）
A．3， B．2，3 C．3，5 D．2，2
2．（2022春·云南保山·八年级统考期末）如图，等边三角形的边长为2，则三角形的面积为（ ）
A． B． C．3 D．
3．（2022春·云南昆明·八年级统考期末）在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琪同学发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中，则当时，的值为（ ）
a 6 8 10 12 14 …
b 8 15 24 35 48 …
c 10 17 26 37 50 …
A．242 B．200 C．188 D．162
4．（2022春·云南昆明·八年级统考期末）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）
A． B． C． D．
5．（2022春·云南昆明·八年级统考期末）如图，将矩形ABCD沿直线DE折叠，顶点A落在BC边上F处，已知，，则BF的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．（2022春·云南红河·八年级统考期末）如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为（ ）
A．13 B．19 C．25 D．169
7．（2022春·云南红河·八年级统考期末）为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行人校体温检测．如图，人校学生要求沿着直线AB单向单排通过校门口，测温仪C与直线AB的距离为3m，已知测温仪的有效测温距离为5m，则学生沿直线AB行走时测温的区域长度为（ ）
A．4m B．5m C．6m D．8m
8．（2022春·云南临沧·八年级统考期末）一个杯子的底面半径为，高为，则杯内所能容下的最长木棒为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022春·云南昆明·八年级统考期末）如图，正方体的棱长为2cm，点B为一条棱的中点.蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022春·云南保山·八年级统考期末）设△ABC的三边分别为a，b，c，满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　　　 ）
A．∠A+∠B=90° B．b2=a2-c2
C．∠A：∠B：∠C=3：4：5 D．a：b：c=5：12：13
二、填空题
11．（2022春·云南普洱·八年级统考期末）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交边于点．若，，，则的长为_________．
12．（2022春·云南曲靖·八年级统考期末）在中，，高，则的周长是 _____．
13．（2022春·云南临沧·八年级统考期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=24，则BC=_______
14．（2022春·云南红河·八年级统考期末）如图，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A所代表的正方形面积是_____．
15．（2022春·云南昭通·八年级统考期末）在△ABC中，AC＝5，BC＝，AB边上的高为3，则△ABC的面积为 __________________．
16．（2022春·云南昆明·八年级统考期末）如图，在中，，，，边在数轴上，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是______．
17．（2022春·云南西双版纳·八年级统考期末）一艘帆船由于风向的原因先向正东方向航行了16km，然后向正北方向航行了12km，这时它离出发点有____________km.
三、解答题
18．（2022春·云南玉溪·八年级统考期末）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章节中记载了一道“折竹抵地”的问题：“今有竹高一尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”译文为：一根竹子，原来高一丈，后来竹子折断，其竹竿恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远，问原处还有多高的竹子？翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长．
19．（2022春·云南西双版纳·八年级统考期末）湖的两岸有A，B两棵景观树，数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离，他们在与AB垂直的BC方向上取点C，测得米，米．
求：（1）两棵景观树之间的距离；
（2）点B到直线AC的距离．
20．（2022春·云南红河·八年级统考期末）如图，亮亮在A处看护羊群吃草，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC=200m，BD=100m，CD=400m，亮亮从A处把羊群赶到河边饮水后回家，作图说明亮亮如何行走路程最短，并求出亮亮走的最短路程．
21．（2022春·云南昆明·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=13，BC=12，AC=5，点D是BC上一点，且CD=3．
(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)求AD的长．
22．（2022春·云南昭通·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝CD＝2，AD＝2，求∠ACD的度数．
23．（2022春·云南红河·八年级统考期末）如图，点E在梯形ABCD的边BC上，∠B=∠C=90°，CD=CE=1，AE=2，AD=．
(1)求∠AEC的度数．
(2)求梯形ABCD的面积．
24．（2022春·云南曲靖·八年级统考期末）如图，某开发区有一块四边形空地ABCD，现计划在空地上种植草皮．经测量，∠B＝90°，AB＝20m，BC＝15m，CD＝7m，AD＝24m．
（1）求这块四边形空地的面积；
（2）若每平方米草皮需要200元，则种植这片草皮需要多少元？
参考答案：
1．A
【分析】根据直角三角形斜边 4，逐项分析即可．
【详解】解：∵直角三角形的斜边为4，
则．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理．
2．D
【分析】如图，过点B作BC⊥OA，根据等边三角形的性质和面积公式进行计算即可．
【详解】解：如图，过点B作BC⊥OA
∵△是等边三角形
∴
∴
∴
故选D．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，勾股定理以及利用面积公式求三角形的面积，利用等边三角形的性质求出三角形的高是解题的关键．
3．D
【分析】根据表格中数据确定a、b、c的关系，然后再代入a=18求出b、c的值，进而可得答案．
【详解】解：根据表格中数据可得：a2+b2=c2，并且c=b+2，
则a2+b2=（b+2）2，
当a=18时，182+b2=（b+2）2，
解得：b=80，
则c=80+2=82，
则b+c=162．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是注意观察表格中的数据，确定a、b、c的数量关系．
4．D
【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积和差关系可求的面积，由三角形的面积法求高即可．
【详解】解：由勾股定理得：AC＝＝，
∵S△ABC＝3×3﹣＝，
∴，
∴，
∴BD＝，
故选：D．
【点睛】本题考查了网格与勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．
5．B
【分析】由折叠的性质得到，，根据勾股定理求出BF的长即可求解．
【详解】解：由折叠的性质知：，，
在中，，，
由勾股定理可得：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和折叠的性质，理解折叠的性质是解答关键．
6．C
【分析】根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面积即可求得的值，根据即可求解．
【详解】解：大正方形的面积是13，
，
，
直角三角形的面积是，
又直角三角形的面积是，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理以及完全平方公式，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键．
7．D
【分析】根据题干画出图形，即可求出答案，图形见详解
【详解】如图
根据题干条件， ， ， ，则根据勾股定理 ，则 ．
故答案选D
【点睛】本题考查勾股数的应用，需熟记常见的勾股数，利用图形更容易求出答案．
8．D
【分析】杯子能容下的最长的木棒长是杯子沿底面直径切面的长方形的对角线长，所以只要求出杯子的对角线长则可．
【详解】解：杯子最长对角线长为：20（cm），
故选：D．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目所给的信息是解题的关键．
9．C
【分析】正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求出路径长，
【详解】解：如图，
它运动的最短路程（cm），
故选：C．
【点睛】本题考查平面展开最短路径问题，掌握两点之间线段最短，找到起点终点，根据勾股定理求出是解题的关键．
10．C
【分析】根据题意运用直角三角形的判定方法，当一个角是直角时，或两边的平方和等于第三条边的平方，也可得出它是直角三角形，从而分别判定即可．
【详解】解：A. ∵∠A+∠B=90°，
∴=90°，△ABC是直角三角形；
B. ∵b2=a2-c2
∴△ABC是直角三角形；
C. ∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，
∴△ABC不是直角三角形；
D. ∵ a：b：c=5：12：13
∴，△ABC是直角三角形.
故选：C．
【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理、直角三角形的判定方法，灵活的应用此定理是解决问题的关键．
11．7
【分析】连接EC，依据垂直平分线的性质得．由已知易得，在Rt△AEC中运用勾股定理求得AE，即可求得答案．
【详解】解：由已知作图方法可得，是线段的垂直平分线，
连接EC，如图，
所以，
所以，
所以∠BEC=∠CEA=90°，
因为，，
所以，
在中，，
所以，
因此的长为7．
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查中垂线性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握中垂线上一点到线段两端点距离相等，由勾股定理求得即可．
12．或/或
【分析】分两种情况讨论：当高在的内部时，当高在的外部时，结合勾股定理，即可求解．
【详解】解：当高在的内部时，如图，
在中，，
在中，，
∴，
此时的周长是；
当高在的外部时，如图，
在中，，
在中，，
∴，
此时的周长是；
综上所述，的周长是或．
故答案为：或
【点睛】此题考查了勾股定理的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度．
13．7
【分析】根据勾股定理可以计算出BC的长．
【详解】解：∵∠C=90°，AB=25，AC=24，
∴BC==7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识解答．
14．336
【详解】设A的边长为a，直角三角形斜边的长为c，另一直角边为b，则c2=400，b2=64，
如图所示，在该直角三角形中，
由勾股定理得：a2=c2-b2=400-64=336，
所以，图中字母所代表的正方形面积是a2=336，
故答案为：336．
15．或
【分析】分两种情况考虑：如图1所示，此时△ABC为锐角三角形，在直角三角形ACD与直角三角形BCD中，利用勾股定理求出AB的长即可求出△ABC的面积；如图2所示，此时△ABC为钝角三角形，同理求出AB的长即可求出△ABC的面积．
【详解】解：分两种情况考虑：
∵AC＝5，BC＝，AB边上的高CD＝3，
如图1所示，此时△ABC为锐角三角形，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：AD＝＝4；
在Rt△CBD中，根据勾股定理得：DB＝＝5，
∴AB＝AD+BD＝4+5＝9，
∴＝＝；
如图2所示，此时△ABC为钝角三角形，
同理可得：AD＝4，DB＝5，
∴AB＝DB﹣AD＝5﹣4＝1，
∴＝＝；
故答案为：或
【点睛】本题主要考查了勾股定理和三角形面积的运算，利用分类讨论的思想构造等式是解题的关键．
16．
【分析】根据题意运用勾股定理求出的长，即可得到答案．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∴点D表示的数为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，正确运用勾股定理求出的长是解题的关键，要理解数轴上的点与实数的对应关系．
17．20
【分析】两段航行的路线正好互相垂直，构成直角三角形，利用勾股定理解答即可．
【详解】解：如图，
A为出发点，B为正东方向航行了16km的地点，C为向正北方向航行了12km的地点，
故AB＝16km，BC＝12km，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：km，
即这时它离出发点有20km，
故答案为20.
【点睛】本题考查勾股定理的应用，关键是要根据题意画出图形进行解答．
18．AC=4.55
【分析】由题意可设AC长为x，则AB=10﹣x，由勾股定理得　32+x2=（10﹣x）2，然后问题可求解．
【详解】解：设AC长为x，则AB=10﹣x，由勾股定理得：
　32+x2=（10﹣x）2，
解得：x=4.55，
∴AC=4.55．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
19．（1）A，B两点间的 距离是40米；（2）点B到直线AC的距离是24米．
【分析】（1）根据勾股定理解答即可；
（2）根据三角形面积公式解答即可．
【详解】（1）因为是直角三角形，
所以由勾股定理，得．
因为米，，所以．
因为，所以米．
即A，B两点间的 距离是40米．
（2）过点B作于点D．
因为，
所以．
所以（米），
即点B到直线AC的距离是24米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，属于基础题，关键是掌握勾股定理在直角三角形中的表达式．
20．图见解析，亮亮走的最短路程为
【分析】作点B关于河岸的对称点E，连接AE交CD于点P，过点E作EF⊥AC，垂足为F，由轴对称的性质和两点之间线段最短可知AE的长度即为最短路程．
【详解】解：作点B关于河岸的对称点E，连接AE交CD于点P，如图所示：
由轴对称的性质可知：PB=PE，DE=DB，
∴PA+PB=AP+PE，
由两点之间线段最短可知，当点A、P、E在一条直线上时，PA+PB最短，故亮亮的行走路线为A P B时，路程最短；
过点E作EF⊥AC，垂足为F，如图所示，故四边形EDCF为矩形，
∴EF=CD=400m，CF=ED=BD=100m，
最短路程为：
PA+PB=AE
答：亮亮走的最短路程为．
【点睛】本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理的应用，明确当点A、P、E在一条直线上时PA+PB最短是解题的关键．
21．(1)△ABC是直角三角形；理由见解析
(2)
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行求解判断即可；
（2）根据勾股定理进行计算即可．
（1）
在△ABC中，AB=13，BC=12，AC=5
∵
△ABC是直角三角形
（2）
△ABC是直角三角形，
AC=5， CD=3
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握知识点并能够进行区分是解题的关键．
22．∠ACD＝90°
【分析】先根据勾股定理求出AC，进而利用勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】解：∵∠B＝90°，AB＝2，BC＝CD＝2，AD＝2，
∴
在△ACD中，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD＝90°．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
23．(1)130°
(2)4.5
【分析】（1）连接DE，根据等腰直角三角形的性质求出∠DEC=45°，根据勾股定理求出DE，根据勾股定理的逆定理求出∠AED=90°，计算即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质求出AB、BE，根据梯形的面积公式计算，得到答案．
（1）
解：如图，连接，
，，
是等腰直角三角形，
，
由勾股定理，得．
，，
，，
，
是直角三角形，
，
．
（2）
由（1）得，
．
，
，
．
在中，，
，
，
．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理求出∠AED=90°是解题的关键．
24．（1）234m2；（2）46800元
【分析】(1)连接AC，由AD、CD、AC的长度关系可得△ACD为一直角三角形，AC为斜边；由此看，四边形ABCD由Rt△ACD和Rt△ABC构成，则容易求解．
（2）结合（1）中的面积和题目条件信息即可求解.
【详解】（1）如图，连接AC，如图所示:
∵∠B＝90°，AB＝20m，BC＝15m，
∴AC＝＝25m．
∵AC＝25m，CD＝7m，AD＝24m，
∴AD2+DC2＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠ADC＝90°，
∴S△ABC＝×AB×BC＝×20×15＝150m2，S△ACD＝×CD×AD＝×7×24＝84m2，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝234m2．
（2）种植这片草皮需要234×200＝46800元．
答：种植这片草皮需要46800元．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键在于根据题目信息判断△ACD是直角三角形，即可作答.

第十七章：勾股定理练习题（含解析）2021-2022云南省八年级下学期人教版数学期末试题选编